Grundlagen: Folgen & Reihen

Wechsle den Folgentyp, verändere die Parameter und verfolge, wie sich die Glieder summieren.

Rechenbeispiel — Grundlagen: Folgen & Reihen

Glieder	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Grundlagen: Folgen & Reihen

Eine Folge ist die Liste; eine Reihe entsteht, wenn man die Liste aufsummiert. Diese Seite zeigt beides gleichzeitig — a_n ist das n-te Glied der Liste, S_n ist die fortlaufende Summe der ersten n Glieder — und die beiden zu verwechseln, ist der häufigste Fehler bei diesem Thema.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

d: die konstante Differenz einer arithmetischen Folge — was in jedem Schritt addiert wird. Hier 2, was 3, 5, 7, 9, … ergibt.
r: der konstante Quotient einer geometrischen Folge — womit in jedem Schritt multipliziert wird. Wechselt man den Modus, ergibt r = 1.5 3, 4,5, 6,75, …
Sₙ: die Summe der ersten n Glieder. Für die arithmetischen Standardwerte ist S₈ = 80, während a₈ nur 17 ist.

Woher die Formel kommt

Schreibe die arithmetische Summe vorwärts und dann rückwärts untereinander: a₁ + (a₁+d) + ⋯ + a_n über a_n + (a_n−d) + ⋯ + a₁.
Addiere die zwei Zeilen Spalte für Spalte. Jede Spalte ergibt dieselbe Summe, a₁ + a_n, weil jeder Schritt nach oben in der einen Zeile durch einen Schritt nach unten in der anderen ausgeglichen wird — und es gibt n Spalten.
Das Doppelte der Summe ist also n(a₁ + a_n), was S_n = (n/2)(a₁ + a_n) ergibt. Bei den Standardwerten ist das (8/2)(3 + 17) = 80 — die Formel in der Tabelle oben und der Trick, den der junge Gauß angeblich für die Zahlen 1 bis 100 verwendet hat.
Schalte nun die Modusauswahl auf geometrisch um: Die Glieder werden zu 3, 4,5, 6,75, … und beide Formeln in der Tabelle ändern sich. Diese Summe erfordert einen anderen Trick, da sich ihre Glieder nicht paarweise zusammenfassen lassen — jedes ist ein Vielfaches des vorherigen, nicht ein fester Schritt davon entfernt. Schreibe die Summe auf und darunter das r-Fache derselben Summe: S_n = a₁ + a₁r + ⋯ + a₁rⁿ⁻¹ über r·S_n = a₁r + a₁r² + ⋯ + a₁rⁿ.
Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten. Jedes Glied in der Mitte kommt in beiden vor und hebt sich auf, sodass nur die Enden übrig bleiben: S_n − r·S_n = a₁ − a₁rⁿ. Klammere auf beiden Seiten aus und dividiere durch (1 − r): S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) — der Ausdruck, den die Tabelle im geometrischen Modus anzeigt und der bei a₁ = 3, r = 1.5, n = 8 den Wert 147.773438 ergibt.

Setzt voraus: Eine konstante Differenz oder ein konstanter Quotient, für immer. Jede reale Folge, die nur für einige Glieder arithmetisch erscheint, wird von diesen Formeln sofort abweichen.
Versagt, wenn: Die arithmetische Formel kennt ein solches Versagen nicht: S_n = (n/2)(a₁ + a_n) dividiert nur durch 2, und 2 ist niemals null. Die geometrische Formel dividiert durch (1 − r), was genau der Grund ist, warum sie oft zur Falle wird. Wechsle in den geometrischen Modus und setze r = 1: Die Folge wird zu 3, 3, 3, … und die angezeigte Formel ändert sich zu S_n = n·a₁, was 8 × 3 = 24 ergibt. Das ist kein Notbehelf, sondern der korrekte Grenzwert — wenn nichts wächst, ist die Summe einfach das wiederholte Glied.

Unendlich viel zu addieren kann trotzdem eine ganze Zahl ergeben 🖖

Es klingt widersprüchlich, dass die Addition unendlich vieler positiver Terme eine endliche Summe liefern könnte, doch eine geometrische Reihe mit |r| < 1 tut genau das, und die Summe ist a/(1 − r). Das bekannteste Beispiel liegt offen vor uns: 0,999… ist die Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, also a = 0,9 und r = 0,1, und damit 0,9/(1 − 0,1) = 1. Nicht gegen 1 strebend, nicht fast 1 — die Summe ist 1, und 0,999… ist eine andere Schreibweise für die Zahl Eins. Zenons Läufer, der endlos die Hälfte der Reststrecke zurücklegt, ist dieselbe Reihe mit a = r = 1/2 und der Summe genau 1: er kommt tatsächlich ins Ziel.

Addieren versus Multiplizieren 🖖

Beide Folgentypen beginnen mit einem ersten Glied, wachsen aber nach verschiedenen Regeln. Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt denselben Betrag (wie 50 $ jeden Monat sparen), während eine geometrische Folge mit demselben Faktor multipliziert (wie ein Guthaben mit 5 % Zinsen pro Jahr). Die Formel für das n-te Glied liefert jeden einzelnen Wert, ohne alle aufzulisten, und die Partialsumme addiert die ersten n Glieder. Beobachte, wie ein Startwert je nach gewählter Regel völlig unterschiedlich verläuft.

Die einzige Folge, die beides ist 🖖

Versuche, eine Folge zu bilden, die gleichzeitig arithmetisch und geometrisch ist. Es zeigt sich, dass nur eine Familie funktioniert: eine konstante Folge wie 7, 7, 7, …, bei der die Differenz d = 0 und das Verhältnis r = 1 ist. Jede echte Änderung verletzt die eine oder andere Regel, denn gleichmäßiges Addieren weicht stets von gleichmäßigem Multiplizieren ab. Ein seltener Fall, in dem zwei scheinbar unabhängige Wachstumsgesetze zu einem einzigen, unbeweglichen Wert zusammenfallen.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Drücke geometrischer Zerfall, setze dann den Quotienten auf 0.99 und danach auf 1.01. Die acht Glieder unterscheiden sich kaum. Welche der beiden Reihen hat eine endliche unendliche Summe — und kannst du das den Gliedern auf dem Bildschirm ansehen?

Einstellen:

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0.99 konvergiert und 1.01 nicht, und weder die Glieder noch die Achtersumme verraten es: achte Glieder von 18.641307 gegen 21.442707, Summen von 154.510611 gegen 165.713411. Nur die Zeile der unendlichen Summe kippt, von S∞ = 2000 auf Divergiert. Über Konvergenz entscheidet allein der Quotient, und kein endliches Stück einer Folge kann sie offenbaren.
Bleib bei r = 0.99, wo die unendliche Summe 2000 beträgt und acht Glieder 154.510611 erreicht haben. Schätze, welcher Anteil des Weges das ist.

Einstellen:

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Etwa 7,7 % — weniger als ein Dreizehntel. Vergleiche r = 0.7, wo dieselben acht Glieder 62.823466 von unendlichen 66.666667 erreichen, also 94 %. Beide Reihen konvergieren. Die eine ist nach acht Gliedern im Wesentlichen fertig, die andere hat kaum begonnen — Konvergenz verspricht ein Ziel und sagt überhaupt nichts über das Tempo der Ankunft.
Drücke geometrisches Wachstum und schiebe n auf 30. Das dreißigste Glied allein beträgt 255668.078977. Sage die Summe aller dreißig voraus.

Einstellen:

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767000.236932 — fast genau das Dreifache dieses einen letzten Glieds, sodass die neunundzwanzig Glieder Vorgeschichte zusammen nur doppelt so viel wert sind wie das neueste. Lies die Summe rückwärts, dann siehst du warum: Bei r = 1.5 ist jedes Glied zwei Drittel des nachfolgenden, also ist das Ganze a₃₀·(1 + 2/3 + 4/9 + ⋯) = 3a₃₀ — selbst wieder eine geometrische Reihe.

Aufgaben vollständig gelöst

Die 8 Glieder, die 80 ergeben, ohne 8 Zahlen zu addieren 5 Schritte
Die 8 Glieder 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ergeben zusammen 80. Gelangen Sie dorthin, ohne 8 Zahlen zu addieren, und berechnen Sie anschließend, wie sich die Summe verändert, wenn die Liste doppelt so lang ist.
1. Die Formel für das Glied zählt Schritte, nicht Glieder. Der Weg von a₁ zu a₈ erfordert 7 Schritte der Länge 2, nicht 8, und diese Abweichung um eins ist die einzige Tücke des gesamten Themas.
  
  $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1 ⟹ a_{8} = 17$
2. Paaren Sie die Liste von außen nach innen. 3 und 17 ergeben 20, ebenso 5 und 15, 7 und 13, 9 und 11. Das müssen sie auch: Ein Schritt nach rechts addiert 2 und ein Schritt nach links zieht 2 ab, sodass jedes Paar genau das verliert, was die andere Seite gewinnt.
  
  $3 + 17 = 20, 5 + 15 = 20, 7 + 13 = 20, 9 + 11 = 20$
3. 8 Glieder ergeben 4 Paare, und jedes Paar hat den Wert 20. Niemand hat 8 Zahlen addiert.
  
  $S_{8} = 4 \times 20 = 80$
4. Nichts an diesem Argument verwendete speziell 3 oder 2. Jede arithmetische Liste aus n Gliedern lässt sich in n/2 Paare mit jeweils dem Wert a₁ + a_n zerlegen, und für diese Liste vereinfacht sich die Algebra zu n(n + 2).
  
  $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 n + 4) = n (n + 2)$
5. Testen Sie die geschlossene Formel an einer Stelle, an der es darauf ankommt. Das Verdoppeln der Liste auf 16 Glieder ergibt 16 × 18 = 288, was dem 3,6-Fachen der Summe von 8 Gliedern entspricht und nicht dem Doppelten.
  
  $S_{16} = 16 \times 18 = 288 = 3.6 \times S_{8}$
Antwort

Das Bedienfeld zeigt a₈ = 17 und S₈ = 80 an, und die 4 Paare mit dem Wert 20 sind der Grund dafür. Eine Verdopplung der Länge vervielfacht die Summe mit 4(n + 1)/(n + 2), was hier 3,6 ergibt und sich mit wachsender Liste der 4 annähert – eine arithmetische Summe wächst quadratisch mit der Anzahl der Glieder, da eine längere Liste zugleich eine Liste größerer Glieder ist. Wendet man die geschlossene Formel über die Inhalte dieser Seite hinaus an, bleibt sie exakt: n(n + 2) erreicht 9999 genau bei n = 99 und übersteigt 10000 erstmals bei n = 100. Diese Seite akzeptiert nicht mehr als 30 Glieder, bei denen die Summe lediglich 960 beträgt; fast alles, was diese Folge tut, geschieht also jenseits des letzten Werts, den die Eingabe akzeptiert.

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 4, 99 \times 101 = 9999$
Wo das Paaren der Enden bei einer Folge versagte, die 86,588344 ergibt 6 Schritte
Das Paaren der Enden hat bei einer arithmetischen Liste funktioniert. Wenden Sie es auf 20, 14, 9,8, 6,86, 4,802, 3,3614, 2,35298, 1,647086 an, ergibt sich 86,588344 – mehr, als diese Folge je erreichen kann, selbst wenn man sie unendlich weiterlaufen lässt. Bestimmen Sie die tatsächliche Summe und finden Sie heraus, an welcher Stelle die Paarung versagt hat.
1. Überprüfen Sie die Paare, anstatt sie vorauszusetzen. Das äußere Paar ergibt 21,647086 und das darauffolgende innere 16,35298. Ein Schritt nach innen multipliziert die eine Seite mit 0,7 und dividiert die andere durch 0,7, und ein hinzugewonnener Faktor hebt einen verlorenen nicht auf – dieses Kürzen funktioniert nur beim Addieren und Subtrahieren.
  
  $a_{1} + a_{8} = 20 + 1.647086 = 21.647086, a_{2} + a_{7} = 14 + 2.35298 = 16.35298$
2. Was hingegen funktioniert, ist ein Versatz. Schreiben Sie die Summe auf und darunter das 0,7-Fache der Summe, um eine Stelle nach rechts versetzt. Jedes Glied in der zweiten Zeile steht bereits in der ersten.
  
  $S_{8} = 20 + 14 + \dots + 20 \times 0. 7^{7}, 0.7 S_{8} = 14 + 9.8 + \dots + 20 \times 0. 7^{8}$
3. Subtrahiert man die Zeilen, hebt sich in der Mitte alles auf. Nur die beiden überstehenden Enden bleiben übrig: die führende 20 aus der oberen Zeile und die nachstehende 20 × 0,7⁸ aus der unteren. Dividiert man durch 1 − r, erhält man eine geschlossene Formel für jedes beliebige Anfangsglied und jeden beliebigen Quotienten.
  
  $S_{8} - 0.7 S_{8} = 20 - 20 \times 0. 7^{8} ⟹ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$
4. Setzen Sie die Werte ein. 0,7⁸ = 0,05764801; der Zähler lautet also 20 × 0,94235199 und der Divisor ist 1 − 0,7 = 0,3.
  
  $S_{8} = 20 \times \frac{1 - 0.05764801}{0.3} = \frac{18.8470398}{0.3} = 62.823466$
5. Lassen Sie die Liste nun weiterlaufen. Jedes zusätzliche Glied multipliziert rⁿ mit 0,7, sodass dieser Wert gegen 0 strebt und sich der Zähler bei 1 einpendelt. Die Summe besitzt eine Obergrenze – das Einzige, was einer arithmetischen Reihe niemals zusteht.
  
  $r^{n} \to 0 ⟹ S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{20}{0.3} = 66.666667$
6. Der Abstand zwischen der Summe aus 8 Gliedern und dieser Obergrenze beträgt 3,843201 und entspricht exakt 66,666667 × 0,7⁸. Der noch fehlende Anteil am Gesamtwert nach n Gliedern beträgt somit rⁿ – dieselbe Zahl, die misst, wie schnell die Glieder schrumpfen, misst auch, wie viel noch fehlt.
  
  $S_{\infty} - S_{8} = 3.843201 = 66.666667 \times 0. 7^{8}$
Antwort

Das Bedienfeld zeigt a₈ = 1,647086, S₈ = 62,823466 und eine Obergrenze von S_∞ = 66,666667 an. Das Ergebnis zum fehlenden Anteil ist das Entscheidende, denn es macht aus „konvergiert“ statt eines Versprechens einen Zeitplan: 0,7ⁿ ≤ 0,01 erfordert n ≥ 12,9114, sodass 13 Glieder bereits auf 1 % an alles heranreichen, was diese Reihe jemals werden wird. Ändert man den Quotienten, verschiebt sich der Zeitplan drastisch, während die Obergrenze endlich bleibt – bei r = 0,9 kostet dasselbe 1 % 44 Glieder, bei r = 0,99 sind es 459. Und der Wert 86,588344, den die Paarung lieferte, war schon vor all dem widerlegbar: Eine Partialsumme positiver Glieder kann die Gesamtsumme aller Glieder nicht übertreffen; eine Methode, die etwas anderes behauptet, ist daher auf den ersten Blick falsch.

$0. 7^{n} \leq 0.01 ⟺ n \geq \frac{ln 0.01}{ln 0.7} = 12.9114 ⟹ n = 13$

Lernpfad

Geld im Zeitverlauf

Führt zu Einfach vs. Zinseszins die geschlossene Formel für eine geometrische Summe.

Quellen (1)

On the Gauss schoolroom story, which the derivation deliberately hedges: B. Hayes, "Gauss's Day of Reckoning." American Scientist 94(3), 200, 2006.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

arithmetisches Wachstum - Arithmetische Folge mit konstanter Differenz d=2.
geometrisches Wachstum - Geometrisch wachsende Folge mit Quotient r>1.
geometrischer Zerfall - Geometrisch fallende Folge mit Quotient zwischen 0 und 1.