Grundlagen: Folgen & Reihen

Folgen bilden natürliche Zahlen auf reelle Werte ab. Während arithmetische Reihen unbegrenzte lineare Divergenz zeigen, offenbaren geometrische Reihen bedingte Konvergenzgrenzen. Ein absolutes Verhältnis strikt unter eins ist die Voraussetzung für endliche Summierbarkeit.

Beide Folgentypen beginnen mit einem ersten Glied, wachsen aber nach verschiedenen Regeln. Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt denselben Betrag (wie 50 $ jeden Monat sparen), während eine geometrische Folge mit demselben Faktor multipliziert (wie ein Guthaben mit 5 % Zinsen pro Jahr). Die Formel für das n-te Glied liefert jeden einzelnen Wert, ohne alle aufzulisten, und die Partialsumme addiert die ersten n Glieder. Beobachte, wie ein Startwert je nach gewählter Regel völlig unterschiedlich verläuft.

Versuche, eine Folge zu bilden, die gleichzeitig arithmetisch und geometrisch ist. Es zeigt sich, dass nur eine Familie funktioniert: eine konstante Folge wie 7, 7, 7, …, bei der die Differenz d = 0 und das Verhältnis r = 1 ist. Jede echte Änderung verletzt die eine oder andere Regel, denn gleichmäßiges Addieren weicht stets von gleichmäßigem Multiplizieren ab. Ein seltener Fall, in dem zwei scheinbar unabhängige Wachstumsgesetze zu einem einzigen, unbeweglichen Wert zusammenfallen.