Endwert einer Annuität

Vermögensaufbau durch wiederholte Einzahlungen.

Rechenbeispiel — Endwert einer Annuität

Endwert	6.1×10⁵
Gesamteinzahlungen	1.8×10⁵
Anlagewachstum	4.3×10⁵
Wachstumsanteil	70.491%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Endwert einer Annuität

Unter einer Rente versteht man hier eine Abfolge gleich hoher Einzahlungen in gleichen Zeitabständen, und ihr Endwert ist das, was diese Zahlungsreihe am Ende wert ist: jede Einzahlung plus der gesamte Wertzuwachs, den sie in der verbliebenen Zeit erzielt hat. Eine Warnung vor der Algebra, weil hier fast jeder hineintappt — r und n in der Formel unten sind nicht die Zahlen aus den Feldern oben. Sie stehen für den Zinssatz pro Periode und die Anzahl der Perioden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

d: die Einzahlung pro Periode. Konstant: Diese Formel lässt keine veränderlichen Zahlungen zu.
r: der Zinssatz pro Periode, und genau hier entstehen oft Fehler. Das Eingabefeld oben fragt nach jährlichen 7 %, aber die Formel verwendet 0.0058333 — das entspricht 0.07 / 12, da die Einzahlungen monatlich erfolgen.
n: die Anzahl der Perioden, nicht der Jahre. Dreißig Jahre monatlicher Einzahlungen entsprechen n = 360 — das ist der Wert, der in den Rechenschritten oben eingesetzt wird.

Woher die Formel kommt

Ordnet man die Einzahlungen nach ihrer Verzinsungsdauer an, verbleiben für die erste noch n − 1 Perioden, für die letzte keine mehr. Die Gesamtsumme ist somit d·(1+r)ⁿ⁻¹ + d·(1+r)ⁿ⁻² + ⋯ + d.
Das ist eine geometrische Reihe: Jedes Glied entsteht aus dem nächsten durch Multiplikation mit (1+r). Ihre geschlossene Form wird in Schritt 5 von Sequences & series hergeleitet — der ersten Station dieses Lernpfads: Mit dem Anfangsglied d, dem Quotienten (1+r) und n Gliedern summiert sie sich zu d·((1+r)ⁿ − 1) / ((1+r) − 1). Falls diese Formel noch nicht vertraut ist, am besten dort beginnen und danach hierher zurückkehren.
Der Nenner (1+r) − 1 ist schlicht r, womit FV = d·((1+r)ⁿ − 1) / r bleibt — genau die oben angezeigte Formel. Setzt man die Werte pro Periode ein, erhält man 500·((1+0.0058333)³⁶⁰ − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵ — 360 einzelne Einzahlungen, zusammengefasst in einer einzigen Zeile.

Setzt voraus: Vorausgesetzt werden ein konstanter Zinssatz und eine konstante Einzahlung, wobei jede Einzahlung am Ende der jeweiligen Periode erfolgt und mit genau derselben Häufigkeit verzinst wird. Reale Renditen sind nicht konstant, und ein Fonds, der täglich zinst, während die Einzahlungen monatlich erfolgen, passt nicht zu dieser Formel.
Versagt, wenn: Nichts hier ist inflationsbereinigt, sodass die 6.1 × 10⁵ dem Geldwert des letzten Jahres entsprechen und nicht dem heutigen. Zudem wird davon ausgegangen, dass keine Einzahlung ausfällt und keine Abhebungen getätigt werden. Der Fall eines Zinssatzes von null ist einen Versuch wert, da Anzeige und Ergebnis hier auseinandergehen: Setzt man den Zinssatz auf 0, gibt der Rechenweg FV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0 mit einer Null im Nenner aus — das Ergebnis lautet dennoch korrekt 1.8 × 10⁵, da sich der gesamte Bruch für r gegen 0 dem Wert n annähert und genau d × n stehen bleibt.

warum die letzten 10 Jahre die meiste Arbeit leisten 🖖

Zinseszins wächst exponentiell, nicht linear. Bei einem 30-jährigen Sparplan für die Altersvorsorge entsteht etwa die Hälfte des Gesamtguthabens in den letzten 10 Jahren. Deshalb ist ein früher Start viel wichtiger als spätere Zusatzeinzahlungen — die Basis, auf der sich die Zinsen aufzinsen, ist nach 20 Jahren Wachstum deutlich größer. Die Einzahlung in Jahr 25 zu verdoppeln bringt viel weniger, als 5 Jahre früher angefangen zu haben.

was eine Rente wirklich ist 🖖

Eine Rente ist einfach eine Folge gleich hoher Einzahlungen in regelmäßigen Abständen — monatlich, vierteljährlich oder jährlich. Dieses Tool summiert sie auf, während jede frühere Einzahlung weiter für sich verzinst wird, und teilt den Endwert dann in zwei Teile: das eingezahlte Geld (blaue Linie) und den erzeugten Zuwachs (grüne Fläche). Die Erkenntnis: Sobald sich die grüne Kontostandslinie deutlich von der blauen Einzahlungslinie löst, stammt das meiste neue Geld aus Erträgen, nicht aus deinem Portemonnaie.

dieselbe Formel dosiert dein Medikament 🖖

Der Motor hier ist eine geometrische Reihe: FV = d·((1+r)ⁿ − 1)/r. Ersetze den Wachstumsfaktor (1+r) durch einen schrumpfenden, und du erhältst genau die Gleichung, die Pharmakologen für wiederholte Arzneimittelgaben verwenden. Weil jede Einzahlung wächst, während jede Dosis zwischen den Intervallen abklingt, steigt eine Rente grenzenlos, während sich der Blutspiegel auf einem stationären Plateau einpendelt — dieselbe Gleichung, entgegengesetztes Schicksal, entschieden nur dadurch, ob der Faktor über oder unter 1 liegt.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Standardwerte sparen 500 im Monat, 30 Jahre lang, zu 7 % — also 6.000 im Jahr. Setze Einzahlungen pro Jahr auf 1 und Einzahlung pro Periode auf 6000: dasselbe Geld, einmal jährlich als Summe eingezahlt. Sage voraus, was der Endwert tut.

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Er fällt von 6.1 × 10⁵ auf 5.668 × 10⁵, bei Gesamteinzahlungen, die unverändert 1.8 × 10⁵ betragen. Die Zeile darunter beziffert den Unterschied: 429,985 Wachstum gegen 386,765, also rund 43.000 für nichts als den Zeitpunkt. Geld, das im Januar eingezahlt wird, verzinst sich elf Monate länger als Geld vom Dezember — und genau das hast du gerade dreißigmal getan.
Dasselbe Experiment, aber beobachte den Wendepunkt — das Jahr, in dem das Wachstum die eingezahlte Summe überholt. Probiere eine Einzahlung von 6000 pro Jahr, dann 500 zwölfmal, dann 16.438356 täglich. Sage voraus, wie sich der Wendepunkt verschiebt.

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Er verschiebt sich nicht: Jahr 11 in allen drei Fällen. Die Frequenz ändert das Ziel — 5.668 × 10⁵ jährlich, 6.1 × 10⁵ monatlich, 6.141 × 10⁵ täglich — aber der Wendepunkt ist ein Wettlauf zwischen einer exponentiell wachsenden und einer geradlinig wachsenden Summe, und ein paar Wochen frühere Einzahlungen verschieben kaum, wann die eine die andere überholt. Beachte auch, wie wenig der letzte Schritt einbringt: monatlich zu täglich bringt etwa 4.000, jährlich zu monatlich brachte 43.000.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Endwert von monatlich 500 über 30 Jahre bei 7 % 6 Schritte
500 im Monat über 30 Jahre bei 7 %. Leiten Sie den Endwert aus der Reihe statt aus einer Tabellenkalkulation ab und berechnen Sie anschließend, was dieser tatsächlich wert ist.
1. Jede Einzahlung ist ein einzelner Pauschalbetrag, der über die verbleibende Laufzeit verzinst wird. Ihre Aufsummierung ergibt eine geometrische Reihe mit dem Quotienten (1+i), und die geschlossene Form ist die einzige Formel in der gesamten Altersvorsorgearithmetik.
  
  $FV = k = 0 \sum n - 1 d (1 + i)^{k} = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$
2. Rechnen Sie vor allem anderen in den Verzinsungszeitraum um. Sowohl der Zinssatz als auch die Anzahl der Perioden sind monatlich — das Mischen eines Jahreszinses mit einer monatlichen Periodenzahl ist der Klassiker, um um einen Faktor zwölf danebenzuliegen.
  
  $i = \frac{0.07}{12} = 0.0058333, n = 30 \times 12 = 360$
3. Setze ein. Hier liegt die Hebelwirkung: Der Zähler ist über die Laufzeit um den Faktor 8,1 gewachsen, und die Division durch ein kleines i verstärkt sie noch einmal.
  
  $(1 + i)^{360} = 8.1165 ⟹ FV = 500 \cdot \frac{8.1165 - 1}{i} = 609985$
4. Die Einzahlungen ergeben sich trivialerweise aus Einzahlungsbetrag mal Anzahl. Alles darüber hinaus ist Zinseszins, und hier macht er 70 % der Gesamtsumme aus — das Konto erwirtschaftet mehr, als der Sparer einzahlt.
  
  $contributions = 500 \times 360 = 180000, growth = 429985 = 70.491%$
5. Die Einzahlungen sind in ihrer Wirkung nicht gleich. Die erste hat 359 Monate Zeit zu wachsen, die letzte gar keine.
  
  $first deposit \to 500 (1.0058333)^{359} = 4035; last \to 500$
6. Schließlich inflationsbereinigen. Das Guthaben ist nominal und die Einzahlungen waren nominal fixiert; die ehrliche Frage lautet also, was man sich von 609.985 in dreißig Jahren kaufen kann.
  
  $\frac{609 985}{1.02 5 ^{30}} = \frac{609 985}{2.0976} = 290806$
Antwort

609.985 nominal — und etwa 291.000 nach heutiger Kaufkraft. Eine Inflation von 2,5 % teilt das Guthaben über dreißig Jahre durch 2,10, was aus einem Gewinn von 430.000 einen realen Gewinn von ungefähr 111.000 bei 180.000 Einzahlung macht. Nichts in der Anzeige ist falsch; sie antwortet lediglich in der Währung des Jahres 2056. Was sich ebenfalls in der geometrischen Reihe verbirgt, ist die Ungleichheit der Einzahlungen: Die ersten 500 werden zu 4.035 und die letzten zu 500, sodass das erste Jahr achtmal mehr wiegt als das letzte. Ein Jahrzehnt früher zu beginnen bringt mehr als ein Drittel mehr zu sparen.

$FV = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i} = 609985 nominal; 290806 in today’s money$

Lernpfad

Geld im Zeitverlauf

Führt zu Kreditrate den aufsummierten Wert einer Folge gleich hoher Zahlungen.

Quellen (1)

Rate per period versus quoted annual rate — the distinction the lesson opens with: R. J. Wilders, "Measuring Interest," in Financial Mathematics for Actuarial Science: The Theory of Interest, 19–66. Chapman and Hall/CRC, 2020.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Altersvorsorge - Simuliert das Sparen von $500/Monat über 30 Jahre bei einem Jahreszins von 7%. Zeigt, wie ein langer Zeithorizont dem Zinseszinseffekt erlaubt, am Ende über 60% des Endvermögens auszumachen.
Studienfonds - Simuliert das Sparen von $300/Monat über 18 Jahre bei einem Jahreszins von 5%. Ideal für Bildungssparen von der Geburt bis zum Schulabschluss und veranschaulicht risikoärmeren Vermögensaufbau.
Quartalsplan - Simuliert das Sparen von $2,000/Quartal über 12 Jahre bei einem Jahreszins von 6%. Zeigt, wie sich vierteljährliche Zinseszinsen bei mittelfristigen Kapitalanlagen aufsummieren.