Lektion
Die Theorie — Einfache vs. Zinseszins-Verzinsung
Einfache Verzinsung wird nur auf den ursprünglichen Betrag gezahlt, sodass jedes Jahr derselbe Betrag hinzukommt — eine gerade Linie. Zinseszins wird auf das Gesamtguthaben gezahlt, das bereits erwirtschaftete Zinsen enthält, sodass der Zinsertrag jedes Jahr größer ist als im Vorjahr. Das eine ist lineares Wachstum, das andere exponentielles.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
r- der Jahreszinssatz, hier 7 %, eingegeben als Prozentsatz und verwendet als
0.07. n- die Zinsperioden pro Jahr,
12. Sie kommt nur in der Zinseszins-Formel vor — die einfache Verzinsung hat keinen solchen Regler, was den Unterschied bereits im Kleinen zeigt.
Woher die Formel kommt
- Einfache Verzinsung greift nie wieder auf ihre Basis zurück: Nach t Jahren hat man das Anfangskapital plus t-mal
P·r, alsoA = P(1 + r·t). Bei den Standardwerten ergibt sich10000 × (1 + 0.07 × 20) = 24,000. - Beim Zinseszins wird multipliziert statt addiert. In jeder Periode wird das Guthaben mit
(1 + r/n)multipliziert, und über t Jahre hinweg gibt esn·tsolche Perioden — alsoA = P(1 + r/n)n·t. - Mit
n = 12undt = 20sind das 240 Multiplikationen, was40,387.39ergibt. Die Differenz zwischen beiden,16,387.39, ist größer als der gesamte Gewinn der einfachen Verzinsung von 14.000 — die Zinsen auf Zinsen haben den Zinsertrag des Anfangskapitals übertroffen.
- Setzt voraus
- Ein konstanter Zinssatz, keine Einzahlungen oder Abhebungen nach dem Start, keine Steuern und keine Gebühren. Alles ist nominal, daher ist keine dieser Zahlen um die Inflation bereinigt.
- Versagt, wenn
- Stellt man die Zeit auf ein einzelnes Jahr ein, sind beide nahezu gleich — der gesamte Vorteil des Zinseszinses dreht sich um die Dauer, nicht um den Zinssatz. Der Vergleich ist strukturell auch etwas unfair: Die einfache Verzinsung wird hier nie verzinst, während ihr Rivale monatlich verzinst wird, sodass ein Teil des Abstands auf die Häufigkeit und nicht auf das Grundprinzip zurückzuführen ist. Stellt man die Zinsperioden pro Jahr auf 1 ein, fällt der ehrliche Direktvergleich-Abstand kleiner aus.
Übung
Prüfe dich selbst
Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.
-
Lass die Standardwerte stehen — 10.000 zu 7 %, monatlich verzinst. Schätze, wie viele Jahre der Zinseszinswert bis 20.000 braucht, und suche die Zahl dann mit dem Jahresfeld.
Antwort anzeigen
Knapp über9.93Jahre: bei genau 9,93 zeigt die Zinseszins-Zeile19998.67, um Haaresbreite zu wenig. Die Faustregel 72 sagt72 / 7 = 10.3Jahre voraus, und bei10.3stehst du bereits bei20521.85. Die Regel unterstellt einmal jährlich zugeschlagene Zinsen; diese Seite schlägt sie zwölfmal zu, also fällt die Verdopplung früher. Häufigeres Verzinsen ändert nie den Zinssatz — es verkürzt das Warten. -
Zwanzig Jahre zu 7 % mit monatlichem Zinseszins machen aus 10.000 den Betrag
40387.39. Welcher einfache Zinssatz käme über dieselben zwanzig Jahre auf denselben Wert? Verstelle das Zinsfeld und lies die Zeile der einfachen Verzinsung.Antwort anzeigen
Etwa15.19%, dort zeigt die einfache Verzinsung40380.00— und40400.00, sobald du auf15.2%gehst. Sieben Prozent, zwanzig Jahre lang auf sich selbst verzinst, sind mehr wert als der doppelte Satz auf die ursprüngliche Summe allein. Die beiden Zeilen sind allerdings nur bei dem Satz vergleichbar, bei dem du stehen geblieben bist: Der Zinseszins ist bis dahin auf205099.01davongelaufen.
Aufgabe vollständig gelöst
-
10.000 für 20 Jahre zu 7% mit monatlicher Verzinsung 5 Schritte
10 000 für 20 Jahre zu 7%. Berechne beide Zinsmodelle und leite dann ab, woher die „72er-Regel“ stammt. Monatliche Verzinsung.
-
Einfache Zinsen werden nur auf das ursprüngliche Kapital gezahlt, sodass das Guthaben entlang einer geraden Linie wächst. Zwanzig Jahre zu 7% bringen 140% Zuwachs und nicht mehr.
-
Zinseszins wird auf das jeweilige Guthaben gezahlt, einschließlich zuvor gezahlter Zinsen. Das lässt das Wachstum exponentiell werden, und der Exponent zählt Perioden, nicht Jahre — monatliche Verzinsung über 20 Jahre entspricht 240 davon.
-
Werte aus. Der Vergleich oben gibt beide Werte aus, und der zweite ist nicht zufällig um 40% größer als der erste.
-
Die Differenz sind die Zinsen, die selbst wieder Zinsen eingebracht haben. Über 20 Jahre hinweg übersteigt sie das gesamte ursprüngliche Kapital.
-
Leite nun die Abkürzung ab, die alle zitieren. Verdopplung bedeutet, dass der Wachstumsfaktor 2 erreicht, also nimm den Logarithmus.
Antwort
24 000 gegenüber 40 387.39 — eine Differenz von 16 387.39, mehr als das Startkapital. Die Verdopplungszeit beträgt 9.93 Jahre, und die 72er-Regel ergibt 10.3: Die Regel ist lediglich ln 2 ≈ 0.693, umgeschrieben als 69.3 und aufgerundet auf 72, weil 72 glatt durch 2, 3, 4, 6, 8, 9 und 12 teilbar ist. Sie ist eine Erleichterung für das Kopfrechnen, hinter der sich ein Logarithmus verbirgt, und ist für Zinssätze zwischen 5 und 10% auf etwa 1% genau.
-
Lernpfad
Geld im Zeitverlauf
Quellen (1)
- On compounding conventions and why the frequency has to be stated with the rate: C. Attwood, "Compound Interest Functions," in Compound Interest Functions, 1–165. Pergamon, 1967.