Hyperbelfunktionen-Explorer

Hyperbel- versus Kreisfunktionen, Identitätsprüfungen und geometrische Anschauung.

Rechenbeispiel — Hyperbelfunktionen-Explorer

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Hyperbelfunktionen-Explorer

Die Hyperbelfunktionen sind nach einer Kurve benannt, und dieser Name ist die ganze Idee. Wo (cos t, sin t) den Kreis x² + y² = 1 durchläuft, durchläuft das Paar (cosh t, sinh t) die Hyperbel x² − y² = 1 — ein Vorzeichen geändert, eine Kurve getauscht. Die schwierigere Frage, um die es hier eigentlich geht, ist, was der gemeinsame Parameter t bedeutet, sobald man den Kreis verlässt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

t: der Parameter. Auf dem Kreis hat man gelernt, ihn Winkel zu nennen. Diese Lesart überlebt den Wechsel zur Hyperbel nicht, und sie richtig zu ersetzen ist der Zweck der Schritte 3 und 4.
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, die x-Koordinate des Punktes. Nie kleiner als 1 und nie schwingend — beides legt das Wort „Kosinus“ nahe, und beides ist hier falsch.
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, die y-Koordinate. In beide Richtungen unbeschränkt und nur bei t = 0 gleich null.
x² − y² = 1: die Einheitshyperbel. Diese Seite druckt cosh²t − sinh²t im Ergebnisfeld und zeigt stets 1 — diese Zahl ist genau diese Gleichung, und darin liegt der Grund für den Namen.

Woher die Formel kommt

Beginnen wir dort, wo die Intuition entstanden ist. Der Punkt (cos t, sin t) liegt auf dem Einheitskreis, und auf einem Kreis hat der Parameter t zwei Lesarten, die zufällig dieselbe Zahl liefern: Er ist die von (1, 0) zurückgelegte Bogenlänge, und er ist das Doppelte der Fläche des vom Mittelpunkt überstrichenen Kreissektors. Weil beide übereinstimmen, muss sich niemand entscheiden, und alle verlassen die Schule mit dem Wort „Winkel“.
Nun ändern wir ein Vorzeichen und fragen nach einem Punkt auf x² − y² = 1. Nimmt man cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 und sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, quadriert und subtrahiert, so heben sich die gemischten Terme auf und es bleibt (e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1. Also liegt (cosh t, sinh t) für jedes reelle t auf dieser Hyperbel, und zwar konstruktionsbedingt. Das ist die Identität, die die Seite druckt, und die gesamte Rechtfertigung für das Wort „hyperbolisch“.
Welche der beiden Lesarten von t kommt also mit herüber? Die Bogenlänge nicht. Die entlang der Hyperbel von (1, 0) bis (cosh t, sinh t) zurückgelegte Strecke ist nicht t, und sie hat überhaupt keine elementare Formel — es ist ein elliptisches Integral, weshalb sie in keinem Lehrbuch angegeben wird. Was überlebt, ist die andere: die Fläche.
Diese Behauptung sei nun verdient statt bloß aufgestellt. Der Hyperbelsektor — begrenzt von der x-Achse, dem Strahl zu (cosh t, sinh t) und der Kurve selbst — ist das Dreieck unter dem Strahl minus das Gebiet unter der Hyperbel. Das Dreieck hat den Inhalt ½·cosh t·sinh t. Für den anderen Teil gilt ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x), und die Auswertung von 1 bis cosh t liefert ½(cosh t·sinh t − t), da √(cosh²t − 1) = sinh t und arcosh(cosh t) = t. Subtrahiert: ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2. Der Sektorinhalt ist genau t/2 — dieselbe Regel wie beim Kreis.
Die ehrliche Aussage lautet also: t ist das Doppelte einer überstrichenen Fläche, und zwar in beiden Geometrien; „Winkel“ war ein Zufall des Kreises, der sich nicht mitnehmen lässt. Deshalb markiert die Geometrietafel hier zwei Punkte und keinen Winkel: Beim Ziehen des Reglers überstreicht der Kreispunkt gleichmäßige Winkel, der Hyperbelpunkt sichtbar nicht — und die gemeinsame Größe ist die Fläche hinter ihnen, nicht die Richtung, in der sie liegen.

So liest du, was du siehst

Zwei Tafeln und zwei Zahlen. Links die gewählte Funktion über t; rechts die Geometrie, und sie ist die interessantere von beiden — ein Einheitskreis mit (cos t, sin t) neben der Hyperbel mit (cosh t, sinh t), beide von demselben Regler getrieben. Das Kästchen „mit Kreisfunktionen vergleichen“ blendet den Kreispartner ein, sodass das Auseinanderlaufen unmittelbar sichtbar wird. Von den Anzeigen lohnt die zweite: cosh²(t) − sinh²(t) zeigt bei jeder Einstellung 1.000000, weil sie gar kein Rechenergebnis ist, sondern die Gleichung der Kurve, noch einmal hingeschrieben.

Setzt voraus: Reelles t und den rechten Ast der Hyperbel — cosh t ≥ 1 gilt immer, diese Parametrisierung erreicht den linken Ast also nie, und kein reelles t wird es je tun. Speziell die Einheitshyperbel mit beiden Halbachsen gleich 1; eine allgemeine x²/a² − y²/b² = 1 braucht (a·cosh t, b·sinh t), und das hübsche Flächenergebnis bekommt einen Faktor ab. Und die Fläche als vorzeichenbehafteter Sektor von der positiven x-Achse aus, sodass negatives t darunter überstreicht.
Versagt, wenn: Der Name führt gleich in zwei Richtungen in die Irre, und beide lohnen das Merken. Liest man t als Winkel, wird jede Hyperbeldarstellung stillschweigend falsch: Es gibt im Bild keinen Winkel, der gleich t wäre, und die Bogenlänge, die der andere natürliche Kandidat wäre, ist nicht elementar. Liest man „Kosinus“ als beschränkte Schwingung, folgt der umgekehrte Fehler — cosh t ist nie kleiner als 1 und kommt nie wieder herunter, weshalb es die Form einer hängenden Kette ist und nicht die einer Welle. Die Funktionen sind nach der Kurve benannt, die sie parametrisieren, nicht nach einem Verhalten, das sie mit ihren Kreis-Namensvettern teilen.

Galileo hielt die hängende Kette für eine Parabel 🖖

Eine unter ihrem eigenen Gewicht hängende Kette sieht einer Parabel so ähnlich, dass Galileo sie 1638 als solche notierte. Sie ist keine: die wahre Kurve ist y = a cosh(x/a), die Kettenlinie, und der Unterschied ist echt und kein Rundungsdetail. Joachim Jungius wies nach, dass die Parabel falsch war, und 1691 lieferten Huygens, Leibniz und Johann Bernoulli unabhängig voneinander die richtige Kurve als Antwort auf eine öffentliche Herausforderung von Jakob Bernoulli. Der Name kommt von catena, lateinisch für Kette. Dreht man die Form um, erhält man den einen Bogen, der sein Eigengewicht in reiner Druckbelastung trägt, ganz ohne Biegung — weshalb der Gateway Arch in St. Louis eine Kettenlinie ist und keine Parabel.

Nur getarnte Exponentialfunktionen 🖖

Lässt man die schicken Namen weg, sind sinh und cosh einfach aus den Exponentialfunktionen e^t und e^-t aufgebaut: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 und sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. cosh ist also der Mittelwert einer wachsenden und einer schrumpfenden Exponentialfunktion, sinh die Hälfte ihrer Differenz. Deshalb fällt cosh nie unter 1 und sinh verläuft sauber durch den Ursprung.

Die Brücke, die kein i braucht 🖖

Man kann zwischen Hyperbel- und Kreisfunktionen umrechnen, ganz ohne imaginäre Zahlen, mit der Gudermann-Funktion gd(t): sin(gd t) = tanh(t) und tan(gd t) = sinh(t). Ihre Umkehrfunktion, ln(tan(π/4 + φ/2)), ist genau die vertikale Koordinate der Mercator-Projektion. Jede klassische Seekarte wird also im Stillen mit der Geometrie von sinh und cosh gezeichnet.

Aufgabe vollständig gelöst

Cosh 1 aus den Exponentialfunktionen und der physikalischen Größe 1,543081 6 Schritte
Berechnen Sie cosh 1 aus den Exponentialfunktionen, beweisen Sie die Identität, die diesen Funktionen ihren Namen gibt – und finden Sie heraus, welche physikalische Größe 1,543081 ist.
1. Beide Funktionen sind aus denselben zwei Exponentialfunktionen aufgebaut und unterscheiden sich nur durch ein Vorzeichen. Alles Weitere folgt daraus.
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. Werten Sie bei t = 1 mit e = 2,718282 aus. Das ist die Zahl, die das Werkzeug ausgibt.
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. Quadrieren Sie beide und subtrahieren Sie. Die gemischten Terme heben sich auf und übrig bleibt 4/4 – eine Identität ohne jede Näherung und der Grund, warum der Parameter eine Hyperbel statt eines Kreises beschreibt.
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. Addiert man sie stattdessen, erscheint die Exponentialfunktion wieder unversehrt. Das Verhältnis ist tanh, das unabhängig davon, wie groß das Argument wird, durch ±1 beschränkt bleibt – eine Obergrenze, die gleich noch wichtig wird.
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. Fasst man dieses beschränkte Verhältnis als Geschwindigkeit in Einheiten von c auf und berechnet den Lorentz-Faktor, liefert dieser exakt die Zahl aus Schritt 2.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. Addiert man nun zwei Rapiditäten auf gewöhnliche Weise und rechnet zurück, stimmt das Ergebnis mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition überein – was die Rapidität zur natürlichen Koordinate macht.
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
Antwort

1,543081, der Lorentz-Faktor eines Objekts, das sich mit 0,7616 c bewegt. Das ist kein Zufall, der nur wie einer aussieht. Definiert man die Rapidität durch β = tanh φ, folgt γ = cosh φ aus der in Schritt 3 bewiesenen Identität, und die gesamte eindimensionale spezielle Relativitätstheorie wird zu hyperbolischer Trigonometrie. Der Gewinn dabei ist, dass sich Rapiditäten einfach addieren: Zwei Boosts der Rapidität 1 ergeben tanh 2 = 0,9640 c, was genau das ist, was Einsteins Additionstheorem für Geschwindigkeiten für 0,7616 c mit sich selbst kombiniert liefert. Geschwindigkeiten addieren sich nicht; wohl aber die Winkel, deren Kosinus sie sind.

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

Quellen (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-22

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

Identitätsprüfung - Überprüfung der hyperbolischen Identität: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
tanh-Asymptote - tanh nähert sich +/-1 an, wenn |t| wächst, während tan im Gegensatz dazu divergiert.
Kettenlinienform - Die cosh-Kurve entspricht dem Kettenlinienprofil hängender Ketten und Kabel.
Ableitungsbeziehung - Ableitungsbeziehung: d/dx sinh = cosh und d/dx cosh = sinh.