Runden: Die Regeln und was sie kosten

Runden wirkt wie der einzige Bereich der Mathematik, über den man nicht streiten kann. Nimm einen Wert und beobachte, wie sechs Regeln zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen. Runde dann dieselbe Zahl in zwei Schritten statt in einem, und das Ergebnis ändert sich.

Rechenbeispiel — Runden: Die Regeln und was sie kosten

In einem Schritt gerundet	2
Schrittweise gerundet	3
Abweichung über die Spalte	+1.000,00

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Runden zum Geraden ist nicht genauer, sondern neutral 🖖

Bei einer exakten Mitte liegt der Wert exakt zwischen zwei Nachbarn, und keine Regel kann hier richtigliegen. Die einzige Frage ist, in welche Richtung man den Fehler macht. Die Schulregel rundet immer auf. Das lässt sich leicht unterrichten und leicht prüfen. Der Preis dafür ist, dass sie jedes Mal in dieselbe Richtung falschliegt. Lädt man eine Spalte voller exakter Mitten und wendet das kaufmännische Runden an, landet die Summe um eine halbe Einheit pro Wert über dem wahren Ergebnis. Das sind 1.000 zu viel bei 2.000 Werten und 3.200 zu viel bei 6.400, ganz ohne Streuung. Eine Regel, die niemals variiert, hat nichts Zufälliges an sich. Das Runden zum Geraden schickt eine exakte Mitte zu dem Nachbarn, der gerade ist. So wird 2,5 abgerundet auf 2, während 3,5 auf 4 aufgerundet wird. Über eine Spalte hinweg, die keine Muster aufweist, wechselt das ab. Die Fehler heben sich auf, anstatt sich zu summieren. Der Standard IEEE 754 machte dies zur Vorgabe für Gleitkommaarithmetik, und auch die meisten Buchhaltungsstandards verlangen danach. Keiner von beiden tat dies, weil es genauer wäre. Bei einer einzelnen Zahl ist es manchmal sogar schlechter. Über viele Zahlen hinweg ist es jedoch neutral. Das ist eine andere Eigenschaft, und genau diese zählt bei großen Mengen.

Zweimaliges Runden ist eine andere Operation als einmaliges Runden 🖖

Nimm 2,45 und runde auf eine ganze Zahl. Was auf das Komma folgt, ist kleiner als ein Halb, also lautet das Ergebnis 2. Nun machen wir das in zwei Schritten. Auf eine Dezimalstelle gerundet ist 2,45 eine exakte Mitte und wird zu 2,5. Rundet man diese 2,5 anschließend auf eine ganze Zahl, erhält man 3. Beide Schritte folgten der Regel, und die Ergebnisse sind 2 und 3. Was hier geschah, ist einfach: Die erste Rundung erschuf eine exakte Mitte, die zuvor nicht existierte. Der ursprüngliche Wert lag sicher unter der Halbmarke. Nach dem ersten Schritt lag er genau darauf, sodass der zweite Schritt raten musste. Geht man alle Werte mit zwei Dezimalstellen bis 1.000 durch, verändert der Zwischenstopp das Ergebnis für 5,00 % von ihnen. Es betrifft jeden Wert, dessen Hundertstel von 45 bis 49 reichen, also 5 von 100. Genau aus diesem Grund gibt eine Währungsumrechnung, eine Steuerberechnung oder eine Kette von Einheitenumrechnungen vor, wo gerundet wird. Nicht, weil jemand die Rechenkünste anzweifelt, sondern weil „am Ende runden“ und „bei jedem Schritt runden“ zwei unterschiedliche Rechnungen im selben Gewand sind.

Ein systematischer Fehler wächst mit der Anzahl, ein neutraler mit ihrer Wurzel 🖖

Stelle die Spalte auf exakte Mitten und verändere ihre Länge. Das kaufmännische Runden zieht eine gerade Linie. Jeder Wert trägt eine halbe Einheit in dieselbe Richtung bei. Die Abweichung entspricht daher stetig der halben Anzahl, ohne jede Streuung. Das Runden zum Geraden zeichnet etwas, das umherwandert. Es geht ein wenig nach oben, wieder nach unten, kreuzt die Null und tritt auf der anderen Seite wieder aus. Gemessen über 2.000 verschiedene Spalten hinweg entspricht die typische Größe dieser Wanderung der halben Quadratwurzel der Anzahl: etwa 5 bei hundert Werten, 20 bei sechzehnhundert, 40 bei sechstausendvierhundert. Das ist die Signatur eines Random Walk, und genau hierin liegt der gesamte praktische Unterschied. Bei sechstausendvierhundert Werten weicht die verzerrte Regel um 3.200 ab und die neutrale um etwa 40. Das Verhältnis zwischen ihnen vergrößert sich mit jeder hinzugefügten Zeile, da die eine wie die Anzahl wächst und die andere wie deren Quadratwurzel. Wechsle zu normalen Beträgen, und dasselbe passiert im Hintergrund. Exakte Mitten sind dort selten, nur 11 von 1.000. Der Großteil der Abweichung stammt also vom gewöhnlichen Runden, und beide Halb-Regeln landen innerhalb von etwa 8 am wahren Wert von 98.351,63. Wende dann das Abrunden (Floor) auf dieselbe Spalte an, und es fehlen 486. Das liegt daran, dass diese Regel fast jedem Wert etwas abzieht, nicht nur den exakten Mitten.

Aufgaben vollständig gelöst

Runden von 1.000 Beträgen auf die nächste ganze Einheit bei einer wahren Summe von 98.351,63 7 Schritte
Ein Geschäft rundet 1.000 Beträge auf die nächste ganze Einheit und addiert sie. Die wahre Summe beträgt 98.351,63. Berechne, wie das gerundete Ergebnis unter jeder Regel ausfällt, und entscheide, welche das Geschäft verwenden sollte.
1. Kläre die Regel, bevor die Spalte ins Spiel kommt. Nehmen wir 2,5. Das kaufmännische Runden macht daraus 3. Das Runden zum Geraden macht daraus 2, weil 2 der gerade Nachbar ist.
  
  $2.5 \to 3 2.5 \to 2$
2. Prüfe, dass das Runden zum Geraden tatsächlich abwechselt und nicht immer abrundet. 3,5 wird bei beiden Regeln zu 4, weil der gerade Nachbar dieses Mal oben liegt.
  
  $3.5 \to 4$
3. Nun zur Spalte. Von den 1.000 Beträgen liegen nur 11 exakt in der Mitte. Die beiden Halb-Regeln stimmen also bei 989 davon überein und können sich um höchstens 11 unterscheiden. Das ist eine Einheit pro Mitte.
  
  $11/1000 \Rightarrow ∣Δ∣ \leq 11$
4. Addiere die gerundeten Werte. Das kaufmännische Runden liefert 98.360, was 8,37 über dem wahren Wert liegt. Das Runden zum Geraden liefert 98.354, also 2,37 darüber. Die 6 dazwischen stammen von jenen 11 Mitten.
  
  $98, 360 - 98, 351.63 = 8.37$
5. Der größte Teil dieser Abweichung kommt gar nicht von den exakten Mitten. Es ist gewöhnliches Runden, das bei 1.000 normalen Beträgen in beide Richtungen gleichermaßen wahrscheinlich ist. Um die Regeln selbst anstelle des Rauschens zu sehen, stelle die Spalte auf exakte Mitten um, sodass jeder Wert eine solche Mitte ist. Das kaufmännische Runden liegt dann um 500 zu hoch und das Runden zum Geraden weicht um 6 ab.
6. Wende zum Vergleich das Abrunden (Floor) auf die ursprüngliche Spalte an. Das ergibt 97.866, was um 486 zu niedrig ist. Das rigorose Abrunden zieht fast jedem Wert etwas ab und beschränkt sich nicht auf die exakten Mitten. Seine Abweichung benötigt daher keine exakten Mitten, um sich anzusammeln.
  
  $97, 866 - 98, 351.63 = - 485.63$
7. Welche Regel verwendet werden sollte, hängt folglich davon ab, was geschützt werden soll. Für einen einzelnen Beleg reicht jede Halb-Regel aus, und der Unterschied beträgt nie mehr als eine halbe Einheit. Über ein ganzes Kassenbuch hinweg belässt nur eine Regel ohne bevorzugte Richtung die Summe dort, wo sie begonnen hat.
  
  $E [ε] = 0 \Rightarrow D \sim n, E [ε] = \frac{1}{2} \Rightarrow D \sim \frac{n}{2}$
Antwort

98.360 beim kaufmännischen Runden, 98.354 beim Runden zum Geraden, 97.866 beim Abrunden (Floor), gegenüber wahren 98.351,63. Das Geschäft sollte das Runden zum Geraden verwenden. Nicht etwa, weil es bei einem bestimmten Betrag genauer wäre; dort ist es manchmal sogar schlechter. Sondern weil seine Fehler keine Richtung haben und sich somit nicht anhäufen. Das kaufmännische Runden irrt sich bei jeder exakten Mitte um eine halbe Einheit nach oben, ohne jede Ausnahme.
1,005 auf zwei Stellen, und die Mitte, die keine ist 7 Schritte
Runde 1,005 auf zwei Dezimalstellen. Rechne heraus, was die Maschine wirklich hält, wenn du das eintippst, und entscheide dann, ob eine Tabellenkalkulation mit der Antwort 1,00 einen Fehler gemacht hat.
1. Als Dezimalzahl ist es eine exakte Mitte: 1,005 steht gleich weit von 1,00 wie von 1,01, das kaufmännische Runden schickt es also nach oben, und das Feld gibt 1,01 aus.
  
  $1.005 - 1.00 = 1.01 - 1.005 = 0.005$
2. Die Maschine hält keine Dezimalzahl. Ein Double ist eine Summe von Zweierpotenzen, und 0,005 ist ein Zweihundertstel, dessen Nenner eine 5² trägt, die keine Zweierpotenz liefern kann. Die Binärentwicklung endet nie.
  
  $0.005 = \frac{1}{200} = \frac{1}{2 ^{3} \times 5 ^{2}}$
3. Gespeichert wird das nächstgelegene Double, und es liegt um etwa 1,07 × 10⁻¹⁶ unter 1,005. Exakt verglichen ist das überhaupt keine Mitte, und das kaufmännische Runden schickte es hinunter auf 1,00.
  
  $1.005 ⟶ 1.00499999999999989341858963598497 \dots Δ = 1.07 \times 1 0^{- 16}$
4. Die Lücke wird in dem Moment sichtbar, in dem der Wert zum Vergleichen skaliert wird. 1,005 × 100 ist 100,49999999999999, dessen Nachkommateil um 1,42 × 10⁻¹⁴ hinter einer Hälfte zurückbleibt.
  
  $1.005 \times 100 = 100.49999999999999, 0.5 - 0.49999999999998579 = 1.42 \times 1 0^{- 14}$
5. Deshalb rastet das Runden hier ein. Alles, was innerhalb von 8 Maschinenschritten um eine Hälfte liegt, wird als Hälfte behandelt, und in dieser Größenordnung ist dieses Fenster 1,79 × 10⁻¹³ breit, also mehr als zehnmal so breit wie die Lücke. Das Feld beantwortet die Frage, die du zur Dezimalzahl gestellt hast, und nicht die, die das Binärsystem gestellt hat.
  
  $1.42 \times 1 0^{- 14} < 8 ε ∣100.5∣ = 1.79 \times 1 0^{- 13}$
6. Die Toleranz ist nicht umsonst zu haben, und die Spalte zeigt, was sie kostet. Tausend Werte, die auf ,005 enden, jeder um ein halbes Hundertstel hochgeschoben, tragen die Summe 5,00 über die Wahrheit. Das Runden zum Geraden teilt dieselben Mitten auf und kommt auf 0,07.
  
  $1, 000 \times \frac{1}{2} \times 0.01 = 5.00 against 0.07$
7. Zwei der anderen Voreinstellungen sind grundsätzlich anders. 2,5 und 12,5 haben exakte Binärformen, sie sind also auch in der Maschine Mitten und nicht nur auf dem Papier, und es ist keine Toleranz im Spiel. „Genau die Hälfte“ ist eine Eigenschaft der Dezimalzahl, die du eingetippt hast, und sie überlebt in die Maschine hinein nur für jene Hälften, die wirklich Hälften sind.
  
  $2.5 = \frac{5}{2}, 12.5 = \frac{25}{2}, 0.25 = \frac{1}{4}$
Antwort

1,01, und eine Tabellenkalkulation mit der Antwort 1,00 hat recht über die Zahl, die sie hält, und unrecht über die Zahl, die du getippt hast. Der gespeicherte Wert liegt 1,07 × 10⁻¹⁶ unter 1,005, ein exakter Vergleich sieht also nie eine Mitte, und das Einrasten ist das, was die Antwort dorthin zurückholt, wo ein Leser sie erwartet. Keine Rundungsregel behebt das darunterliegende Problem. Geld gehört in ganzzahlige Cent oder in einen Dezimaltyp, wo 1,005 eben 1,005 ist und die Frage gar nicht erst aufkommt.

$frac (100 x) - \frac{1}{2} < 8 ε ∣100 x ∣$

Lernpfad

Eine Zahl aufschreiben

Quellen (2)

Why half-to-even is the default rather than the rule taught in school, and what else the standard fixes: IEEE, "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic." IEEE Std 754-2019, 2019.
The long-form explanation of why 1.005 is not stored as 1.005, and what follows from it: D. Goldberg, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-26

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Beispielaufgaben

Eine exakte Mitte - 2,5 liegt genau zwischen 2 und 3, und hier scheiden sich die Regeln. Das kaufmännische Runden liefert 3, das Runden zum Geraden liefert 2. Ändert man den Wert auf 3,5, stimmen beide bei 4 überein, da 4 hier der gerade Nachbar ist. Das Runden zum Geraden bevorzugt nicht das Abrunden. Es wechselt ab.
Zweimal gerundet - 2,45 auf eine ganze Zahl gerundet ergibt 2. Rundet man zuerst auf eine Dezimalstelle, erhält man 2,5. Rundet man nun 2,5 auf eine ganze Zahl, entsteht eine 3. Kein Schritt hat eine Regel verletzt, dennoch unterscheiden sich die Ergebnisse.
Der scheinbare Fehler - 1,005 auf zwei Dezimalstellen gerundet sollte 1,01 sein. Fragt man JavaScript oder Python, liefern beide 1,00. Das liegt daran, dass 1,005 im Speicher nicht als exakte 1,005 vorliegt, sondern als ein Wert, der eine Winzigkeit darunter liegt. Rechnet man 1,005 mal 100, ergibt das 100,49999999999999. Dieses Werkzeug hier gibt 1,01 aus. Das gelingt nur, weil es eine exakte Mitte mit einer kleinen Toleranz sucht, statt auf strikte Gleichheit zu prüfen.
Eine lange Spalte - 6.400 Werte, von denen jeder einzelne genau in der Mitte liegt. Das kaufmännische Runden schiebt ausnahmslos jeden davon in dieselbe Richtung. Dadurch landet die Summe 3.200 zu hoch. Das ist eine halbe Einheit pro Wert, ohne Ausnahme. Das Runden zum Geraden weicht bei dieser Spalte am Ende nur um 1 ab.