Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Brüche addieren — und der Fehler

Stell zwei Brüche ein. Das Werkzeug addiert sie über einen gemeinsamen Nenner und rechnet daneben Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner — den klassischen Fehler. Sieh zu, wo die beiden Antworten auf der Linie liegen.

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Der klassische Fehler ist eine echte Rechenoperation, und er trifft immer 🖖

Addiere 3/4 und 2/5 falsch — Zähler zu Zähler, Nenner zu Nenner — und du bekommst 5/9. Das ist nicht die Summe, die 23/20 lautet. Aber sieh, wo 5/9 liegt: bei 0,5556, zwischen 0,4 und 0,75. Dieser Wert heißt Mediante, und er landet jedes Mal zwischen den beiden Brüchen. Der Beweis ist eine Subtraktion: Mediante minus a/b ergibt (bc − ad) über b(b+d), und c/d minus Mediante ergibt dasselbe (bc − ad) über d(b+d). Beide Male dasselbe Vorzeichen. Die Mediante liegt also genau dann über dem einen Bruch, wenn sie unter dem anderen liegt, und hat keinen anderen Platz als die Lücke. Verstell die Zahlen, wie du willst; sie bleibt im schattierten Band.

Ein gemeinsamer Nenner ist kein Ritual, sondern eine Einheit 🖖

Drei Schafe und vier Stunden lassen sich nicht addieren. Halbe und Drittel sind genauso Einheiten, und deshalb ist 1/2 + 1/3 nicht 2/5 — die Stücke sind verschieden groß, und die Anzahl bedeutet nichts, solange sie es sind. Sechstel sind die erste Größe, in die sich ein Halb und ein Drittel beide genau zerlegen lassen, und mehr ist der gemeinsame Nenner nicht: 3/6 + 2/6 = 5/6. Das erklärt auch, warum sich der Fehler so natürlich anfühlt. Zähler und Nenner zu addieren ist ehrliches Zählen — fünf Stücke von neun —, aber es zählt Stücke zweier Größen als gleich, und heraus kommt ein Anteil am ganzen Haufen statt einer Summe.

Mach den Fehler immer weiter, und du erzeugst jeden Bruch, den es gibt 🖖

Drück Die ganze Lücke füllen. Beginne mit 0 und 1, setz die Mediante dazwischen — das ist 1/2 —, dann wieder zwischen jedes neue Nachbarpaar, und wieder. Vier Runden ergeben 15 Brüche. Keiner davon lässt sich kürzen, und keiner taucht zweimal auf. Mach weiter, und jeder Bruch zwischen 0 und 1 erscheint genau einmal, jeder gekürzt, jeder an seinem eigenen Platz: das ist der Stern-Brocot-Baum, 1858 von einem deutschen Zahlentheoretiker veröffentlicht und 1861 von einem französischen Uhrmacher, der Zahnradübersetzungen suchte. Achille Brocot brauchte einen Bruch nahe an einem Verhältnis, das er nicht bauen konnte, mit Zähnezahlen, die sich wirklich schneiden ließen — und der Baum liefert ihn.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ist die Mediante der einfachste Bruch zwischen den beiden? In der Lücke landet sie immer. Ob etwas mit kleinerem Nenner zuerst dort ankommt, ist eine andere Frage, und die Antwort lautet: nicht immer.

    1. Beginne mit der Summe, sauber gerechnet. Zwanzig ist der erste Nenner, in den Viertel und Fünftel beide passen, also werden aus den Brüchen fünfzehn Zwanzigstel und acht Zwanzigstel.

    2. Jetzt der Fehler. Fünf Neuntel, und die Anzeige bestätigt es: der Wert liegt in der Lücke, wie er muss.

    3. Warum er muss. Zieh die Mediante von beiden Enden ab, und oben steht beide Male dieselbe Größe, bc − ad. Der eine Nenner ist b(b+d), der andere d(b+d), beide positiv, also haben die Differenzen dasselbe Vorzeichen und die Mediante wird zwischen die Brüche gedrückt.

    4. Aber such nach etwas Einfacherem. Ein Halb liegt ebenfalls in der Lücke, mit Nenner 2 gegen die 9 der Mediante. Für dieses Paar ist die Mediante also nicht der einfachste Bruch dazwischen, und zwar nicht knapp.

    5. Entschieden wird das von einer Größe, die schon auf dem Tisch liegt. Für drei Viertel und zwei Fünftel ist sie sieben, nicht eins.

    6. Nimm ein Paar, bei dem sie eins ist. Ein Drittel und ein Halb: die Mediante ist zwei Fünftel, und nichts mit einem Nenner unter fünf liegt dazwischen. Das ist die ganze Bedingung.

    Antwort

    Die Mediante ist genau dann der einfachste Bruch zwischen den beiden, wenn |bc − ad| = 1 gilt — wenn das Paar in einer Farey-Folge benachbart ist. Über alle Paare mit Nennern bis 25 durchgerechnet: es gilt für alle 798 benachbarten Paare und scheitert bei 111.992 der 119.636 übrigen. Das Werkzeug zeigt bc − ad nirgends an, und diese eine Zahl trennt den Fall, in dem der Schulfehler die bestmögliche Antwort ist, von dem, in dem er bloß eine richtige ist.

Lernpfad

Eine Zahl aufschreiben

Führt zu Periodische Dezimalzahlen

· Aktualisiert

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Beispielaufgaben

  • 3/4 und 2/5 - Die Summe ist 23/20. Zähler und Nenner addiert ergibt 5/9, also 0,5556 — zwischen 2/5 und 3/4 statt darüber hinaus.
  • Halbe und Drittel - Halbe und Drittel sind verschiedene Einheiten, und 6 ist die erste, in der sich beide schreiben lassen — deshalb ergeben sie zusammen 5/6. Die Mediante 2/5 ist der einfachste Bruch zwischen einem Halb und einem Drittel.
  • Gleicher Nenner - 1/5 und 2/5 ergeben 3/5. Hier ist die Mediante 3/10 genau die Hälfte der Summe: bei gleichem Nenner mittelt das Addieren von Zähler und Nenner.
  • Wenn er nicht der einfachste ist - 2/7 und 3/7 ergeben die Mediante 5/14. Sie liegt dazwischen, wie immer — aber sie ist nicht der einfachste Bruch, der das tut, und genau da endet die schöne Regel.
  • Die ganze Lücke füllen - Beginne bei 0 und 1 und füge viermal Medianten ein: 15 Brüche erscheinen, jeder schon vollständig gekürzt, und keiner zweimal.