Wie nah ein Bruch kommen kann

Wähle eine Zahl und wie viele Glieder du behalten willst. Die Karte links zeigt den Bruch, den der Kettenbruch dir liefert. Die Zeile darunter durchsucht jeden Bruch mit einem kleineren Nenner und meldet den besten, den sie finden kann.

Rechenbeispiel — Wie nah ein Bruch kommen kann

Bester Bruch	17 / 12
Fehler	2,5 × 10⁻³
Signifikante Stellen	2
q² × Fehler	0,353

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Der beste Bruch seiner Größe, gesucht statt nur behauptet 🖖

Stelle √2 und vier Glieder ein, und das Werkzeug liefert dir 17/12. Dann folgt der Teil, für den sich ein Werkzeug lohnt: Es nimmt jeden Nenner unter 12, findet dazu den nächsten Zähler und meldet den besten Bruch, den es bilden kann. Das ist 7/5, und er ist 5,8-mal weiter von √2 entfernt als 17/12. Einen Kettenbruch abzubrechen, liefert nicht einfach nur einen guten Bruch. Es liefert den besten, der bei dieser Größe verfügbar ist, und diese Seite zeigt dir lieber die Suche, als den Lehrsatz zu zitieren. Klick auf Die 355/113-Überraschung, und derselbe Durchlauf prüft jeden Nenner bis 112. Der beste davon ist 333/106, der 312-mal weiter weg liegt.

Ein großes Glied bedeutet, dass der Bruch davor bereits sehr gut war 🖖

Für π lautet der Kettenbruch [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …]. Entscheidend ist die 292. Ein großes Glied bedeutet, dass der Rest an dieser Stelle beinahe null war. Der bereits gefundene Bruch war also nahezu exakt. Deshalb liefert 355/113, der unmittelbar davor liegende Näherungsbruch, mit einem dreistelligen Nenner sieben signifikante Stellen. 22/7 hingegen, auf den nur eine 15 folgt, schafft drei. An der Größe des nächsten Glieds erkennst du, wie gut der Bruch bereits ist. Darum lohnte es sich im China des fünften Jahrhunderts, 355/113 zu finden, und darum greift man noch heute auf diesen Bruch zurück.

Der Goldene Schnitt ist die am schwersten anzunähernde Zahl, und das ist ein Messwert 🖖

Multipliziere jeden Fehler mit dem Quadrat seines Nenners, und Brüche verschiedener Größen werden vergleichbar. Mach das für √2, und die Spalte pendelt sich bei 0,354 ein. Mach es für φ, und sie landet bei 0,447. Diese Zahl ist 1/√5, und keine irrationale Zahl kann dauerhaft darüber bleiben. φ drückt am stärksten gegen diese Decke. Der Grund dafür liegt in ihrer Entwicklung: Jedes Glied ist 1, der kleinstmögliche Wert. Jeder Näherungsbruch ist also die geringstmögliche Verbesserung gegenüber dem vorherigen. φ als die irrationalste aller Zahlen zu bezeichnen, klingt nach einer Floskel. Es ist aber ein Messwert, und er steht genau in dieser Spalte.

Aufgabe vollständig gelöst

Zeigen, dass 355/113 der nächste Bruch zu π mit einem Nenner unter 1000 ist 7 Schritte
Zeige, dass 355/113 der Bruch ist, der π mit einem Nenner unter 1000 am nächsten kommt, und finde heraus, wie weit seine Herrschaft tatsächlich reicht.
1. Entwickle zuerst den Bruch. π = [3; 7, 15, 1, 292, …], die Näherungsbrüche sind also 3, dann 22/7, dann 333/106 und dann 355/113.
  
  $π = [3; 7, 15, 1, 292, \dots]$
2. Jeder Näherungsbruch entsteht aus seinen beiden Vorgängern: Multipliziere mit dem neuen Glied und addiere das davorliegende. Für diesen Schritt brauchst du π selbst nicht mehr, sondern nur noch seine Glieder.
  
  $\frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{a _{n} p _{n - 1} + p _{n - 2}}{a _{n} q _{n - 1} + q _{n - 2}}$
3. Für 355/113 erhältst du 3,1415929204, für π dagegen 3,1415926536. Die Abweichung beträgt 2,7 × 10⁻⁷. Damit ergeben je drei Stellen in Zähler und Nenner sieben signifikante Stellen.
  
  $\frac{355}{113} = 3.1415929204 \dots, π = 3.1415926536 \dots$
4. Jetzt zur Suche. Nimm jeden Nenner von 1 bis 112, wähle dazu den nächsten Zähler und behalte das beste Ergebnis. Der Gewinner ist 333/106 mit einer Abweichung von 8,3 × 10⁻⁵. Das ist 312-mal weiter weg als 355/113.
  
  $q \leq 112 min π - \frac{p}{q} = π - \frac{333}{106} \approx 8.3 \times 1 0^{- 5}$
5. Weite die Suche auf 1000 aus, und es taucht nichts Neues auf. 355/113 bleibt der beste verfügbare Bruch.
6. Wie weit reicht das also? Wenn du weiter nach oben suchst, ist der erste Bruch, der ihn schlägt, 52163/16604. Das bedeutet, dass 355/113 für jeden Nenner bis 16.603 der π am nächsten liegende Bruch ist.
  
  $\frac{52163}{16604} first beats it : q \times 147, error - 0.2%$
7. Und schau dir an, was dieser Sieg bringt. 52163/16604 hat einen 147-mal größeren Nenner und verringert den Fehler um 0,2 %. Genau so verhält sich das gesamte Thema: Die guten Brüche sind enorm viel besser als ihre Nachbarn, und die nächste echte Verbesserung ist weit entfernt.
Antwort

355/113, mit einer Abweichung von 2,7 × 10⁻⁷, und der beste Bruch für π für jeden Nenner bis 16.603. Wo das endet, ist das eigentlich Interessante. √2 läuft für immer als 2, 2, 2, … und e als 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, … Beide Muster lassen sich aufstellen und beweisen. Niemand kennt ein Muster in den Gliedern von π. Niemand weiß, ob sie begrenzt bleiben oder ob weiter draußen ein riesiges Glied wartet und damit ein Bruch, der weit besser ist als 355/113. Die 292 lässt sich durch nichts erklären. Es ist einfach das, was π macht.

Lernpfad

Eine Zahl aufschreiben

Führt zu Runden den besten Bruch einer gegebenen Größe, gesucht statt behauptet.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

√2 in vier Gliedern - √2 ist [1; 2, 2, 2, …], und der Abbruch nach vier Gliedern ergibt 17/12. Jeder Bruch mit einem Nenner unter 12 ist weiter entfernt. Der nächste von ihnen, 7/5, ist 5,8-mal weiter weg.
Die 355/113-Überraschung - 355/113 stimmt mit π auf sieben signifikante Stellen überein, bei je drei Stellen in Zähler und Nenner. Der nächstgelegene Bruch mit einem kleineren Nenner ist 333/106; seine Abweichung ist 312-mal so groß.
Am schwersten anzunähern - Für φ lautet der Kettenbruch [1; 1, 1, 1, …]. Jedes Glied ist so klein wie möglich, und genau deshalb lässt sich keine andere Zahl schlechter approximieren. q² × Fehler nähert sich 0,447, also 1/√5. Das ist der höchste Grenzwert, den eine irrationale Zahl erreichen kann.
e folgt einem Muster - e ist [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …]. Das Muster aus 1, 1 und einer geraden Zahl setzt sich unendlich fort. Eine Entwicklung, die nie abbricht, ist genau das, was irrational bedeutet. Das Muster selbst ist also der Beweis, dass e kein Bruch ist.