Polarkurven

Polarkoordinaten verlassen kartesische Gitter zugunsten radialer Geometrie. Als r(θ) kartierte Funktionen konstruieren zyklische Spiralen und Rosetten und demonstrieren, wie rein winkelabhängige Radiusfunktionen die Physik der Zentralkräfte beschreiben.

Polarkoordinaten legen einen Punkt über zwei alltägliche Fragen fest: Wie weit vom Zentrum entfernt und in welche Richtung? Deshalb erhalten Formen mit natürlichem Mittelpunkt — Spiralen, blütenartige Rosen, Umlaufbahnen — hier kurze, saubere Gleichungen, während sie im x-y-Gitter in umständliche Formeln ausufern. Probier die Spiral-Vorlage: r = θ/π heißt einfach „der Radius wächst stetig mit dem Drehen“, doch die kartesische Version ist ein Wirrwarr. Fazit: Wähle Koordinaten, die zur Symmetrie eines Problems passen, dann wird die Mathematik einfacher.

Die logarithmische Spirale r = a·e^(bθ) faszinierte Jakob Bernoulli so sehr, dass er sie spira mirabilis nannte — „die wunderbare Spirale“ —, weil sie beim Skalieren, Drehen oder Spiegeln dieselbe Kurve bleibt. Er wünschte sich eine auf seinem Grabstein mit dem Motto Eadem mutata resurgo („obgleich verändert, kehre ich als dieselbe wieder“). Der Basler Steinmetz meißelte jedoch stattdessen eine archimedische Spirale (r = aθ) ein — eine völlig andere Kurve, und der Fehler ist bis heute zu sehen.