Pendel-Phasenportrait

Ziehe den Anfangswinkel, um zu sehen, wie sich das nichtlineare Pendel von der linearen Näherung unterscheidet. Das Phasenportrait offenbart die Topologie des Systems.

Rechenbeispiel — Pendel-Phasenportrait

Bewegungsgleichung	0
Eigenfrequenz	3.1321rad/s
Exakte Periodenformel	2.0410s

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Der eine Schwung, der ewig dauert 🖖

Die Separatrix ist die eine Bahn, die sich nie ganz schließt: Es ist der Weg, den ein Pendel beschreibt, wenn es genau bei θ = 180° mit Geschwindigkeit null losgelassen wird — es verharrt auf der instabilen Kopfüber-Lage, bevor es schließlich doch herabschwingt. Da die rücktreibende Kraft genau an der Spitze verschwindet, braucht das Pendel unendlich lange, um sie zu verlassen — deshalb divergiert die hier berechnete exakte Periode (über das elliptische Integral K(m)), wenn θ0 sich 180° nähert, obwohl die lineare Kleinwinkelformel T = 2π√(L/g) vollkommen endlich bleibt. Jede Bahn innerhalb der Separatrix schwingt hin und her; jede Bahn außerhalb — bei genügend Energie — rotiert einfach immer weiter über den Scheitelpunkt hinweg, statt zu schwingen.

Eine Karte jeder möglichen Schwingung 🖖

Statt ein Pendel im Zeitverlauf zu beobachten, trägt ein Phasenporträt seinen Winkel gegen seine Winkelgeschwindigkeit auf. Jeder Punkt erfasst den vollständigen Zustand des Pendels in einem Augenblick, und wenn man diesem Punkt folgt, zeichnet er eine einzige geschlossene Schleife — eine Schwingung, die sich ewig wiederholt. Das ganze Diagramm zeigt alle möglichen Bewegungen zugleich, sodass ein sanftes Wackeln und ein weiter Ausschlag als ineinander verschachtelte Schleifen im selben Bild liegen. Je größer die Schleife, desto mehr Energie trägt das Pendel.

Die Periode verbirgt Gauß' schnellsten Mittelwert 🖖

Die exakte Periode ist 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), wobei M das arithmetisch-geometrische Mittel ist — eine Zahl, die Gauß fand, indem er zwei Werte immer wieder durch ihr gewöhnliches Mittel und ihr geometrisches Mittel ersetzte. Beide Mittel nähern sich rasant an, wobei sich die Zahl der korrekten Stellen bei jedem Schritt verdoppelt, sodass drei Runden die Periode bereits treffen. Bei θ₀ = 90° ergibt das T = 1.18 × T_linear — dieselbe Verlängerung um 18 %, die das elliptische Integral liefert.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Schwingungsdauer eines 1 m Pendels, das aus der Ruhe bei 30° losgelassen wird 11 Schritte
Ein 1 m langes Pendel wird aus der Ruhe bei 30° losgelassen. Bestimmen Sie seine Schwingungsdauer exakt — die Lehrbuchformel ist nicht die Antwort — und bestimmen Sie dann, wie nahe an der Vertikalen Sie es loslassen müssten, um eine vollständige Schwingung auf 10 s zu dehnen. Nehmen Sie g = 9,81 m/s², keine Dämpfung.
1. Zwei Größen legen die Eigenfrequenz fest, und die Masse gehört nicht dazu: Sie multipliziert jeden Term der Bewegungsgleichung und kürzt sich heraus, bevor irgendetwas anderes passiert.
  
  $ω_{0} = g / L = 9.81 = 3.1321 rad/s$
2. Ersetzt man sin θ durch θ, bleibt ein harmonischer Oszillator übrig, dessen Schwingungsdauer 2π/ω₀ beträgt. Schauen Sie, was herausgefallen ist: θ₀. Die Amplitudenunabhängigkeit ist eine Eigenschaft dieser Ersetzung, nicht des Pendels.
  
  $T_{linear} = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2.0061 s$
3. Nun führen Sie es ohne die Ersetzung durch. Der Energiesatz benötigt keinen kleinen Winkel — die kinetische Energie beim Winkel θ ist exakt die potenzielle Energie, die beim Abfallen von θ₀ abgegeben wird —, lösen Sie die Gleichung stattdessen nach der Winkelgeschwindigkeit auf.
  
  $\frac{1}{2} L^{2} \dot{θ}^{2} = g L (cos θ - cos θ_{0}) ⟹ \dot{θ} = ω_{0} 2 (cos θ - cos θ_{0})$
4. Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit, integriert, und eine Viertelperiode ist die Schwingung von 0 bis θ₀. Der Auslenkungswinkel ist zurückgekehrt, er steht gleichzeitig im Integranden und in der oberen Grenze, sodass die Schwingungsdauer nicht von ihm unabhängig sein kann.
  
  $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{d θ}{2 ( cos θ - cos θ _{0} )}$
5. Der Integrand divergiert bei θ = θ₀, und die Identität cos θ = 1 − 2sin²(θ/2) zeigt, dass die Singularität nur eine Quadratwurzel aus einer einfachen Nullstelle ist: Die Differenz von Kosinussen ist eine Differenz von Quadraten. Schreiben Sie k für den Sinus der halben Amplitude, und lassen Sie φ von 0 bis π/2 laufen, während θ bis θ₀ läuft.
  
  $k = sin \frac{θ _{0}}{2}, sin \frac{θ}{2} = k sin φ ⟹ cos θ - cos θ_{0} = 2 k^{2} cos^{2} φ$
6. Die unangenehme Wurzel kürzt sich nun gegen dθ weg, und was übrig bleibt, ist das vollständige elliptische Integral erster Art — die Formel, die das obige Bedienfeld anzeigt und die ihr Argument als sin²(θ₀/2) schreibt, das heißt k², nicht k.
  
  $T = \frac{4}{ω _{0}} \int_{0}^{π /2} \frac{d φ}{1 - k ^{2} sin ^{2} φ} = \frac{4}{ω _{0}} K (k)$
7. K besitzt keine elementare geschlossene Form, sein Integrand jedoch schon: eine Binomialreihe in u = k²sin²φ, deren Koeffizienten die zentralen Binomialkoeffizienten sind.
  
  $(1 - u)^{- 1/2} = n \geq 0 \sum c_{n} u^{n}, c_{n} = \frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}$
8. Integriert man diese Reihe gliedweise, liefert das Wallis'sche Integral genau dieselben c_n zurück, die die Binomialentwicklung gerade erzeugt hat. Dieser Zufall ist der ganze Trick.
  
  $\int_{0}^{π /2} sin^{2 n} φ d φ = \frac{π}{2} c_{n}$
9. Jedes Glied greift c_n daher zweimal auf, sodass jeder Koeffizient der Reihe für die Schwingungsdauer ein quadrierter Binomialkoeffizient ist: 1/4, 9/64 und 25/256 sind die Quadrate von 1/2, 3/8 und 5/16.
  
  $\frac{T}{T _{linear}} = n \geq 0 \sum c_{n}^{2} k^{2 n} = 1 + \frac{k ^{2}}{4} + \frac{9 k ^{4}}{64} + \frac{25 k ^{6}}{256} + \dots$
10. Bei 30° beträgt die halbe Amplitude 15°, sodass k² nur 0,067 beträgt und jedes Glied mehr als 20-mal kleiner ist als das vorherige. Bricht man nach 3 Gliedern ab, erhält man 1,017378, was ausmultipliziert 2,0409 s ergibt; erst das 4. Glied verändert die letzte Stelle.
  
  $k^{2} = sin^{2} 1 5^{\circ} = 0.066987 : 1 + 0.016747 + 0.000631 + 0.000029 = 1.017407$
11. Multiplizieren Sie. Dies ist die exakte Schwingungsdauer, die das Bedienfeld ausgibt, und 1,0174 ist das daneben gedruckte Verhältnis — beide erreicht, ohne K ein einziges Mal numerisch auszuwerten.
  
  $T = 2.0061 \times 1.017407 = 2.0410 s$
Antwort

2,0410 s, während die Kleinwinkelnäherung 2,0061 s versprach. Die Reihe, die zu diesem Ergebnis führte, hat eine geringe Reichweite: Ihre Glieder enthalten k²ⁿ mit k = sin(θ₀/2), sodass sie, wenn sich der Auslenkungswinkel der Vertikalen nähert, nicht mehr kleiner werden und das Integral direkt bewältigt werden muss. Dort wächst K(k) wie ln(4/cos(θ₀/2)) — die Schwingungsdauer divergiert zwar bei 180°, aber nur logarithmisch, und einen Logarithmus umzukehren ist ein hartes Unterfangen. Eine Schwingungsdauer von 10 s, etwa das 5-Fache des Kleinwinkelwerts, erfordert ein Loslassen innerhalb von 0,182° zur Vertikalen. Eine Verdopplung auf 20 s quadriert diese Anforderung: 7,2×10⁻⁵ Grad, etwa 2500-mal präziser. Das Pendel erkauft sich diese Zeit nicht dadurch, dass es langsam durch die gesamte Bahn driftet — es verbringt fast die gesamte Zeit innerhalb dieses letzten Bruchteils eines Grad.

$K (k) \sim ln \frac{4}{cos ( θ _{0} /2 )} (θ_{0} \to 18 0^{\circ})$

Quellen (2)

The exact period as an elliptic integral, and the separatrix: L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed., §11 and §12. Butterworth-Heinemann, 1976. ISBN 978-0-7506-2896-9.
How badly the small-angle formula fails at large amplitude: A. Big-Alabo, "Approximate period for large-amplitude oscillations of a simple pendulum based on quintication of the restoring force." European Journal of Physics 41, 015001, 2019.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

Kleiner Winkel (10°) - Kleiner Winkel: lineare Näherung gültig, kreisförmige Phasenbahn
Groß (90°) - 90°: Periode 18% länger als von der linearen Näherung vorhergesagt
Nahe Spitze (170°) - 170°: Bahn nahe der Separatrix, Periode divergiert
Gedämpft - Gedämpft: Spirale nach innen zum Gleichgewicht