Pendel-Phasenportrait

Die Separatrix ist die eine Bahn, die sich nie ganz schließt: Es ist der Weg, den ein Pendel beschreibt, wenn es genau bei θ = 180° mit Geschwindigkeit null losgelassen wird — es verharrt auf der instabilen Kopfüber-Lage, bevor es schließlich doch herabschwingt. Da die rücktreibende Kraft genau an der Spitze verschwindet, braucht das Pendel unendlich lange, um sie zu verlassen — deshalb divergiert die hier berechnete exakte Periode (über das elliptische Integral K(m)), wenn θ0 sich 180° nähert, obwohl die lineare Kleinwinkelformel T = 2π√(L/g) vollkommen endlich bleibt. Jede Bahn innerhalb der Separatrix schwingt hin und her; jede Bahn außerhalb — bei genügend Energie — rotiert einfach immer weiter über den Scheitelpunkt hinweg, statt zu schwingen.

Statt ein Pendel im Zeitverlauf zu beobachten, trägt ein Phasenporträt seinen Winkel gegen seine Winkelgeschwindigkeit auf. Jeder Punkt erfasst den vollständigen Zustand des Pendels in einem Augenblick, und wenn man diesem Punkt folgt, zeichnet er eine einzige geschlossene Schleife — eine Schwingung, die sich ewig wiederholt. Das ganze Diagramm zeigt alle möglichen Bewegungen zugleich, sodass ein sanftes Wackeln und ein weiter Ausschlag als ineinander verschachtelte Schleifen im selben Bild liegen. Je größer die Schleife, desto mehr Energie trägt das Pendel.

Die exakte Periode ist 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), wobei M das arithmetisch-geometrische Mittel ist — eine Zahl, die Gauß fand, indem er zwei Werte immer wieder durch ihr gewöhnliches Mittel und ihr geometrisches Mittel ersetzte. Beide Mittel nähern sich rasant an, wobei sich die Zahl der korrekten Stellen bei jedem Schritt verdoppelt, sodass drei Runden die Periode bereits treffen. Bei θ₀ = 90° ergibt das T = 1.18 × T_linear — dieselbe Verlängerung um 18 %, die das elliptische Integral liefert.