Pyramidengeometrie

Geometrie im Stil altägyptischer quadratischer Pyramiden

Startwerte — Pyramidengeometrie

Grundseitenlänge (s)	230,4
Höhe (h)	146,6

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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Das Drittel ist exakt, aber durch Zerschneiden nicht beweisbar 🖖

Eine Pyramide enthält genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe — nicht ungefähr, sondern exakt. In zwei Dimensionen ist die entsprechende Tatsache leicht zu sehen: ein Dreieck ist die Hälfte seines Rechtecks, und du kannst es zeigen, indem du das Rechteck zerschneidest und die Teile neu anordnest. In drei Dimensionen ist dieser Weg versperrt. Hilbert fragte 1900, ob sich zwei Körper gleichen Volumens stets in endlich viele Stücke zerlegen und ineinander umlegen lassen, und Max Dehn bewies 1901, dass das nicht geht — ein regelmäßiges Tetraeder und ein Würfel gleichen Volumens sind durch keine endliche Folge von Schnitten ineinander überführbar. Der Faktor 1/3 ist damit wirklich ein Resultat über Grenzwerte, weshalb er mit der Analysis kommt und nicht mit der Schere.

Zwei Zahlen legen die ganze Pyramide fest 🖖

Eine quadratische Pyramide ist durch nur zwei Maße vollständig bestimmt: die Grundkantenlänge s und die Höhe h. Alles Weitere folgt aus einem rechtwinkligen Dreieck vom Mittelpunkt der Grundfläche zur Mitte einer Kante. Die Seitenhöhe ist dessen Hypotenuse, l = √(h² + (s/2)²), und hast du l, ergeben sich Oberfläche und Volumen von selbst. Änderst du eine Eingabe, wird jedes Ergebnis neu berechnet.

Wie die Ägypter Neigung umgekehrt maßen 🖖

Die alten Ägypter kannten keine Winkel. Im Papyrus Rhind notierten sie die Neigung einer Pyramide als ihren Seked: den waagerechten Versatz in Handbreit pro Königselle (7 Handbreit) senkrechten Anstiegs — im Grunde den Kotangens, den Kehrwert unserer heutigen Steigung. Der Seked der Cheops-Pyramide beträgt etwa 5½ Handbreit, was einem Seitenwinkel von rund 51,84° entspricht. Die Seked-Ausgabe dieses Tools belebt diese 3600 Jahre alte Konvention.

Aufgabe vollständig gelöst

Zwei Zufälle der Cheops-Pyramide, geklärt mit einer Zahl 6 Schritte
Die Cheops-Pyramide: Basis 230,4 m, Höhe 146,6 m. Bestimmen Sie die Seitenhöhe, die Flächeninhalte, das Volumen und den Seitenflächenwinkel — und klären Sie dann die zwei berühmten Zufälle mit einer einzigen Zahl.
1. Die Seitenhöhe ist die Hypotenuse des Dreiecks vom Mittelpunkt der Basis zur Mitte der Grundkante und hinauf zur Spitze — die halbe Basis, nicht die ganze Basis, was hier der häufigste Fehler ist.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 762.6 = 186.4473 m$
2. Die Mantelfläche besteht aus vier Dreiecken, jeweils mit Basis s und Höhe ℓ, sodass 4 × ½sℓ zu 2sℓ zusammenfällt. Addieren Sie die Grundfläche für die Gesamtfläche.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. Das Volumen beträgt ein Drittel des Prismas, und dieses Drittel ist keine Näherung — es gilt exakt für jede Pyramide auf beliebiger Grundfläche.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. Der Neigungswinkel der Seitenfläche ergibt sich aus Höhe geteilt durch halbe Grundseite. Der Seked ist der Kehrwert davon, und genau das ist die Zahl, mit der die Baumeister tatsächlich gerechnet haben.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Vergleichen Sie den gemessenen Seked mit dem einfachsten Bruch in seiner Nähe. Fünfeinhalb Handbreiten pro Elle von sieben Handbreiten ergeben 11/14, und das stimmt bis auf ein Achttausendstel überein.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Leiten Sie nun das π-Verhältnis aus diesem einen Bruch ab. Es ist keine unabhängige Eigenschaft der Pyramide; es ist 8k, und 8 × 11/14 liegt zufällig 0,04% von 2π entfernt.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Antwort

Beide Zufälle sind in Wahrheit ein und derselbe, nämlich ein Bruch der Baumeister: ein Seked von 11/14. Die Ägypter gaben eine Steigung nicht als Winkel an. Sie bestimmten stattdessen, wie viele Handbreit waagerechter Abstand auf eine Elle Höhe kommen, und eine Elle entspricht sieben Handbreit. Wählst du 5½ Handbreit, ergibt sich für den Seked als reines Verhältnis 11/14 = 0,785714, im Vergleich zu den 0,785812, die an der Pyramide tatsächlich gemessen werden. Alles Weitere ergibt sich von selbst. Das Verhältnis von Umfang zu Höhe ist exakt 8-mal der Seked, also 8 × 11/14 = 6,28571 gegenüber 2π = 6,28319, und das Verhältnis von Seitenhöhe zu halber Grundseite beträgt 1,6186 gegenüber φ = 1,618034. Weder π noch φ flossen in die Konstruktion ein. Eine einzige rationale Steigung, die gewählt wurde, weil sie sich leicht mit Seil und Senklot abstecken ließ, bringt beide Konstanten auf drei Stellen genau hervor.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6186 \approx φ$

Quellen (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.