Sinus/Kosinus-Wellen-Explorer

parametrisierte trigonometrische Wellen, live visualisiert

Rechenbeispiel — Sinus/Kosinus-Wellen-Explorer

Amplitude \|A\|	1
Vertikale Verschiebung D	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Sinus/Kosinus-Wellen-Explorer

Jede Sinuswelle, der du begegnest, ist dieselbe Kurve mit vier darauf angewendeten Zahlen: y = A·sin(Bx + C) + D. A streckt sie vertikal, B staucht sie horizontal, C verschiebt sie seitlich und D hebt sie an. Nichts sonst an der Form kann sich ändern.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A: die Amplitude — der halbe Abstand vom Wellental zum Wellenberg. Die Anzeige gibt |A| an, da ein negatives A die Welle spiegelt, ohne ihre Höhe zu verändern.
B: der Frequenzfaktor, und beachte die Formulierung: Er ist nicht die Frequenz. Er zählt, um wie viele Radiant das Argument pro x-Einheit voranschreitet.
C: der Phasenterm in Radiant. Er steht innerhalb der Klammer, weshalb er nicht die Verschiebung selbst ist.
D: die vertikale Verschiebung — die Mittellinie, um die die Welle schwingt.

Woher die Formel kommt

Der Sinus wiederholt sich, wenn sein Argument um 2π anwächst. Die Welle wiederholt sich also, wenn Bx + C um 2π zunimmt.
C ist konstant, daher muss dieser gesamte Zuwachs von Bx kommen: Man benötigt B·Δx = 2π.
Daher ist die Periode T = 2π/|B| — 6.2832, wenn B = 1, und halbiert, wenn B = 2. Der Betrag steht dort, weil ein negatives B die Welle umkehrt, ihr aber keine negative Länge verleihen kann.

So liest du, was du siehst

Ziehe B und beobachte die Phasenverschiebungs-Zeile: Es ist der schnellste Weg zu erkennen, dass die Verschiebung von beiden Zahlen abhängt. Die Gleichung wird mit deinen vier Zahlen wiedergegeben, anschließend wird jede Eigenschaft hergeleitet, anstatt nur angegeben zu werden: |A|, die Periode als 2π/|B|, die Phasenverschiebung als −C/B und D.

Setzt voraus: Der Winkel ist in Radiant angegeben, weshalb 2π anstelle von 360 erscheint. Die vier Parameter sind zudem unabhängig — diese Form kann keine Welle erzeugen, deren Amplitude abklingt, egal wie du sie einstellst.
Versagt, wenn: Die Falle ist die Phasenverschiebung, und die Anzeige ist hierbei bewusst eindeutig: Die Welle verschiebt sich um −C/B, nicht um −C. Bei B = 2 und C = π beträgt die Verschiebung −π/2, also die Hälfte dessen, was die Klammer zu versprechen scheint, da C in der gestauchten Koordinate statt in x gemessen wird. Liest man sin(Bx + C) als sin(B(x + C/B)), überrascht der Faktor B nicht mehr.

wie ein rotierendes Rad Sinus und Kosinus erzeugt 🖖

Sinus und Kosinus haben eigentlich wenig mit Dreiecken zu tun — sie sind der horizontale und vertikale Schatten eines Punktes, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Kreis bewegt. Während der Punkt den Winkel θ = Bx + C durchläuft, zeichnet seine vertikale Position sin(θ) nach und seine horizontale Position cos(θ) — genau deshalb sind beide Kurven identisch, nur um eine Viertelumdrehung (π/2) phasenverschoben. Das erklärt auch, warum B die Frequenz, aber nie die Amplitude steuert: B verändert nur, wie schnell der Punkt das Rad umrundet, nicht wie weit sein Schatten ausschlägt. Dieselbe Idee des rotierenden Zeigers — ein getarntes Drehrad — nutzen Ingenieure, um Wechselstrom, Schall und Funksignale als Phasoren zu beschreiben.

»Sinus« beruht auf einer Fehlübersetzung 🖖

Das Wort Sinus ist ein historischer Zufall. Indische Mathematiker nannten es jyā (Bogensehne); arabische Gelehrte übernahmen es als jayb, was zufällig auch »Bucht« oder »Falte« bedeutete. Als lateinische Übersetzer das Wort lasen, übertrugen sie diese unverwandte Bedeutung wörtlich als sinus — lateinisch für eine Bucht oder die Falte eines Gewandes. Jedes Mal, wenn du sin schreibst, verwendest du also eine Fehlübersetzung von »Bogensehne« aus dem 12. Jahrhundert.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Voreinstellung Phase π/2 setzt C = 1.5708, und die Zeile für die Phasenverschiebung zeigt −1.5708 — die Welle rutscht nach links, obwohl C positiv ist. Ändere nun B auf 2 und lass C unverändert. Sage die Phasenverschiebung voraus, bevor du hinsiehst.

Antwort anzeigen

−0.7854, genau die Hälfte; bei B = 4 sind es −0.3927. Die Zeile berechnet −C/B, nicht −C, also verkleinert eine höhere Frequenz die Verschiebung im gleichen Verhältnis. C wird in Radiant des Arguments gemessen, die Verschiebung dagegen entlang x, und B ist der Umrechnungskurs zwischen beiden. Das Minuszeichen ist die andere Hälfte der Überraschung: sin(x + C) tut bei x = −C das, was der reine Sinus bei 0 tut, ein Zuschlag im Argument schiebt das Bild also rückwärts. Dieser Fall hat außerdem einen Namen — mit B = 1 und C = π/2 ist sin(x + π/2) gleich cos x. Stelle die Funktion auf cos und setze C zurück auf 0, um dieselbe Kurve von der anderen Seite kommen zu sehen.
Die Voreinstellung kombinierte Verschiebung zeichnet 1.5·cos(x − 0.7854) + 1, und die Amplitudenzeile zeigt 1.5. Welche höchsten und tiefsten Werte erreicht diese Welle tatsächlich, und warum druckt keine Zeile sie?

Antwort anzeigen

2.5 und −0.5. Die Amplitude ist eine halbe Höhe, gemessen von der Mittellinie der Welle, und die Mittellinie liegt hier nicht bei y = 0: die Zeile für die vertikale Verschiebung sagt D = 1. Die Extremwerte sind also D + |A| und D − |A|. Keine Zeile druckt sie, weil diese vier Zeilen die vier *Parameter* der Standardform A·sin(Bx + C) + D sind und nicht deren Ausgaben. |A| als Maximum zu lesen ist der übliche Fehlgriff, und die direkt darunter stehende Zeile zur vertikalen Verschiebung ist genau das, was dich davor bewahrt.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein verschobener Kosinus dargestellt als einfacher Sinus plus einfacher Kosinus 6 Schritte
y = 1,5 cos(x − 0,7854) + 1. Lesen Sie Amplitude, Periode und Verschiebungen ab – zeigen Sie dann, dass der verschobene Kosinus ein einfacher Sinus plus ein einfacher Kosinus ist. Dies ist der Zustand Kombinierte Verschiebung.
1. Vier Parameter, und jeder bewegt die Kurve auf andere Weise. Nur zwei von ihnen wirken zusammen.
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. Die Amplitude ist die halbe Höhe, sodass die Kurve in einem Streifen der Breite 2|A| um D zentriert verläuft. Nichts sonst beeinflusst den Wertebereich.
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. Die Periode hängt allein von B ab. Ein größeres B bedeutet, dass das Argument schneller durchläuft, sodass sich die Periode verkürzt.
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. Die horizontale Verschiebung liegt dort, wo das Argument Null ist, also bei −C/B. Die Division durch B ist der Schritt, den man leicht übersieht, und es ist der Schritt, auf den es ankommt, sobald B nicht 1 ist.
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. Nun ausmultiplizieren. Der Kosinus einer Differenz spaltet sich in zwei Terme auf, und cos(π/4) sowie sin(π/4) betragen beide 1/√2.
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. Machen Sie die Gegenprobe in der anderen Richtung. Die beiden Koeffizienten fügen sich wieder zur ursprünglichen Amplitude zusammen, und ihr Verhältnis liefert die Phase zurück.
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
Antwort

1,0607 cos x + 1,0607 sin x + 1, und die beiden Koeffizienten lauten 1,5/√2. Das Entwickeln der Verschiebung mit dem Additionstheorem verwandelt eine phasenverschobene Welle in eine gewichtete Summe aus einem unverschobenen Sinus und Kosinus derselben Frequenz – und dieser Vorgang lässt sich umkehren, sodass sich jeder Ausdruck a cos x + b sin x wieder zu einer einzelnen Welle mit der Amplitude √(a² + b²) und der Phase arctan(b/a) zusammenfassen lässt. Diese Äquivalenz ist der Grund, warum Fourier-Reihen nur Sinus- und Kosinusterme und niemals einen dritten Parameter pro Term benötigen: Die Phase ist bereits enthalten, verborgen im Verhältnis der beiden Koeffizienten. Die andere Erkenntnis aus diesem Panel ist das Minuszeichen – die horizontale Verschiebung lautet −C/B, nicht C, und bei B ≠ 1 sind die beiden nicht einmal gleich groß.

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

Lernpfad

Kreise und Wellen sind dieselbe Bewegung

Führt zu Kreisbewegung die vier Kennzahlen, die jede Sinuskurve beschreiben, sowie die Periodendauer T = 2π/|B|.

Quellen (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-11

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

einfache Sinuswelle - y=sin(x) — Amplitude 1, Periode 2p≈6.28
doppelte Frequenz - y=sin(2x) — doppelte Frequenz, Periode halbiert auf p≈3.14
Phasenverschiebung um π/2 - y=sin(x+p/2) — Phasenverschiebung nach links um p/2, entspricht cos(x)
kombinierte Verschiebung - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — kombinierte Amplituden-, Phasen- und Vertikalverschiebung