Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen
DAS PENDEL — WAS ÄNDERT DIE PERIODE, UND WAS NICHT?
Für kleine Ausschläge ist die Periode T = 2π√(L/g), und bemerkenswert ist, was darin fehlt: die Masse und die Auslenkung. Nur Länge und örtliche Schwerkraft zählen, und beide nur als Wurzel. Diese Unabhängigkeit machte das Pendel drei Jahrhunderte lang zum Zeitmesser der Welt — und sie ist eine Näherung, die zu versagen beginnt, sobald der Ausschlag groß wird.
01
Was du weißt: Ein Ausschlag von wenigen Grad, in dem sin θ ≈ θ gilt. Die Periode ist T = 2π√(L/g), und weder Masse noch Amplitude kommen darin vor.
Periode: T = 2π√(L/g)
Rechenbeispiel: L = 1 m auf der Erde bei 10° Ausschlag → T = 2π√(1/9,81) = 2,006 s
Diesen Fall öffnen: 1m, Erde
02
Was du weißt: Dieselbe Länge anderswo. T geht mit 1/√g, schwächere Schwerkraft bedeutet also längere Periode und eine nachgehende Uhr.
Periode: T ∝ 1/√g
Rechenbeispiel: Dasselbe 1-m-Pendel auf dem Mond, g = 1,62 m/s² → T = 4,937 s, rund das 2,46-Fache des Erdwerts
Diesen Fall öffnen: 1m, Mond
03
Was du weißt: Wieder die Wurzel, diesmal auf L. Vervierfachen der Länge verdoppelt die Periode; um die Periode zu verdoppeln, muss man die Länge vervierfachen.
Periode: T ∝ √L
Rechenbeispiel: L = 4 m auf der Erde → T = 2π√(4/9,81) = 4,012 s, exakt das Doppelte des Meterwerts
Diesen Fall öffnen: 4m, Erde
04
Was du weißt: Jenseits von etwa 15° taugt die Näherung sin θ ≈ θ nicht mehr, und die wahre Periode wächst mit der Amplitude. Die einfache Formel ist dann eine untere Schranke, keine Antwort.
Periode: T = T₀(1 + k²/4 + …)
Rechenbeispiel: L = 1 m, losgelassen bei 75° → die exakte Periode beträgt 2,241 s gegenüber den 2,006 s der Kleinwinkelformel: 11,7 % zu wenig
Diesen Fall öffnen: großer Winkel
Bestimmen Sie die Schwingungsdauer eines 1 m langen Pendels, das bei 20° losgelassen wird, und finden Sie heraus, wie falsch die Lehrbuchformel ist — denn die Lehrbuchformel ist nicht die Antwort. Nehmen Sie g = 9,81 m/s² an.
Das Rückstelldrehmoment ist proportional zu sin θ, was keine einfache harmonische Schwingung ergibt. Die bekannte Formel entsteht erst nach dem Ersetzen von sin θ durch θ — eine Näherung, keine Herleitung, und alles Folgende erbt sie.
Mit dieser Ersetzung entspricht die Gleichung dem harmonischen Oszillator, und die Schwingungsdauer fällt heraus. Beachten Sie, was sie nicht enthält: die Masse und die Amplitude. Beide Abwesenheiten sind Folgen der Näherung, nicht des Pendels.
Die exakte Schwingungsdauer ist ein elliptisches Integral, aber seine Reihenentwicklung zeigt, wie schnell die Näherung schlechter wird. Die Korrektur ist quadratisch im Auslenkungswinkel in Radiant.
Werten Sie ihn aus. Dies ist der Wert, den der Simulator oben ausgibt, da er die korrigierte Schwingungsdauer anstelle der Lehrbuchformel verwendet.
Die maximale Geschwindigkeit ergibt sich allein aus der Energie — Fallhöhe ℓ(1−cos θ₀) umgewandelt in kinetische Energie — und erfordert keinerlei Näherung.
Antwort
2,021 s gegenüber 2,006 s nach dem Lehrbuch. Die Abweichung von 0,76 % ist klein, aber sie ist kein Rauschen: Eine Uhr, die auf der Kleinwinkelformel basiert und bei 20° schwingt, verliert etwa 11 Minuten am Tag. Deshalb verwenden Pendeluhren kleine Amplituden und deshalb machte sich Huygens 1656 die Mühe einer Zykloidenaufhängung — er hatte entdeckt, dass Kreispendel nicht isochron sind. Die Amplitudenunabhängigkeit, an die sich jeder erinnert, ist eine Eigenschaft der Näherung, nicht des Pendels.
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