Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Fourier-Reihen-Baukasten

komplexe Wellen aus einfachen Sinuswellen zusammensetzen

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Lektion

Die Theorie — Fourier-Reihen-Baukasten

Eine Fourierreihe ist die Behauptung, dass jede periodische Welle, so zackig sie auch sei, eine Summe reiner Sinus mit ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz ist. Die Summe wird Term für Term aufgebaut und über das Ziel gezeichnet. Das interessante Wort ist gleich: die Summe erreicht das Ziel überall dort, wo das Ziel stetig ist, und in der Zeile Peak erfährst du, was dort geschieht, wo es das nicht ist.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

N
wie viele Terme addiert werden. Der Regler endet bei 20, und die Reihenzeile nennt jeden verwendeten Koeffizienten.
k
der Harmonischen-Index — welches Vielfache der Grundfrequenz ein Term trägt. Rechteck und Dreieck nutzen nur ungerade k, der Sägezahn jedes k.
aₖ
der Koeffizient der k-ten Harmonischen, in der Reihenzeile gedruckt. Seine Größe sagt, wie sehr diese Frequenz zählt, und wie schnell die Koeffizienten schrumpfen, entscheidet, wie schnell die Summe konvergiert.
Peak
max|fN(x)|, der höchste Punkt der Partialsumme. Das Ziel hat Amplitude 1, diese Zeile fragt also eigentlich: hat die Summe überschossen?

Woher die Formel kommt

  1. Lies die Koeffizienten von der Seite ab. Für das Rechteck druckt die Reihenzeile 1.273 sin(x) + 0.4244 sin(3x) + 0.2546 sin(5x) + …, also 4/(kπ) bei k = 1, 3, 5. Nichts ist angepasst — die Koeffizienten stammen aus einem Integral, und jede Wellenform hat ihre eigenen.
  2. Achte darauf, welche Harmonischen fehlen. Rechteck und Dreieck nutzen nur ungerade k, weil für beide f(x + π) = −f(x) gilt: um eine halbe Periode verschoben kippen sie, und das kann eine gerade Harmonische nicht. Der Sägezahn hat diese Symmetrie nicht und braucht daher jede Harmonische — was die Zeile „Harmonics used“ direkt ausspricht.
  3. Schon der erste Koeffizient verrät die Konvergenzgeschwindigkeit. Rechteck gibt 4/π = 1.273 und fällt wie 1/k; Dreieck gibt 8/π² = 0.8106 und fällt wie 1/k²; Sägezahn gibt 2/π = 0.6366 und fällt wie 1/k. Schnelleres Abfallen heißt weniger Terme für dieselbe Treue — deshalb wirkt das Dreieck weit früher fertig als die beiden anderen.
  4. Beobachte nun die Peak-Zeile statt des Bildes. Bei einem Ziel ohne Sprünge sollte der Peak auf 1 steigen und dort bleiben. Bei einem Ziel mit Sprung tut er etwas ganz anderes, und darum geht es im Rest dieser Lektion.

So liest du, was du siehst

Stelle die Form auf Dreieck und gehe N von 1 aufwärts: der Peak liest 0.8106, 0.9006, 0.9331, 0.9596 … 0.9899 bei N = 20. Er steigt von unten gegen 1 und überschreitet sie nie. Wechsle nun auf Rechteck: 1.273, 1.2, 1.188, 1.182 … und dann hört er einfach auf, bei 1.179, und keine weitere Harmonische bewegt ihn noch. Zuletzt der Sägezahn: 0.6366, 0.827, 0.9185, dann 1.008 bei N = 5 — er überschreitet 1 — und bei N = 20 steht er bei 1.131 und steigt weiter. Drei Formen und drei völlig verschiedene Geschichten in einer Zeile. Der Sägezahn ist der irreführende: sähe man nur ihn, würde man schließen, das Überschwingen wachse unbegrenzt. Tut es nicht. Es strebt demselben 1.179 zu wie das Rechteck, nur von unten.

Setzt voraus
Dass zwanzig Terme genügen, um den Trend zu sehen, und dass der Peak durch Abtasten gefunden wird — die RMS-Zeile wird an 801 Punkten der Periode ausgewertet, und der Peak ist der größte dieser Werte, kein gelöstes Maximum. Beides taugt zum Beobachten der Konvergenz und keines für einen Beweis.
Versagt, wenn
Das Überschwingen verschwindet nie. Jene flachen 1.179 sind nicht die Reihe, der die Geduld ausgeht: der Grenzwert ist (2/π)·Si(π) = 1.17898…, und ewig Harmonische hinzuzufügen macht die Spitze schmaler, nicht niedriger. Die Reihe konvergiert also in jedem einzelnen Punkt gegen das Rechteck und niemals gleichmäßig — genau die Unterscheidung, für die dieses Phänomen existiert. Es erklärt auch einen scheinbaren Widerspruch auf dieser Seite: der Einblick oben nennt etwa 8.95%, diese Zeile 17.9%. Beides stimmt — 0.179 gemessen an der Amplitude 1 sind 0.0895 gemessen am Sprung 2. Michelson traf die Spitze 1898 an seinem eigenen harmonischen Analysator und vermutete einen Fehler in der Maschine; Gibbs schrieb im Jahr darauf an Nature, dass die Mathematik das tue und nicht das Messing.

wie rotierende Zeiger eine Wellenform aufbauen 🖖

Jeder rotierende Zeiger liefert eine Sinuskomponente beim harmonischen Index k. Reiht man die Zeiger Spitze an Spitze aneinander, ergibt sich die Partialsumme fN(x). Mit wachsendem N schärft der hochfrequente Anteil die Ecken, während in der Nähe von Sprungstellen ein begrenztes Gibbs-Überschwingen bestehen bleibt.

Jede periodische Welle ist ein Akkord aus Sinuswellen 🖖

Fouriers Erkenntnis: Jedes periodische Signal — egal wie zackig — ist eine Summe reiner Sinuswellen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundschwingung sind. Die Schieberegler wählen nur, wie viele dieser Bausteintöne gestapelt werden. Bei einer Rechteckwelle treten nur ungerade Harmonische auf, jede schwächer als die vorige: die 3. trägt 1/3 der Amplitude der Grundschwingung, die 5. nur 1/5. Mehr Terme schärfen die Summe zur Zielform.

Das 9%-Überschwingen, das nie verschwindet 🖖

Nahe einem Sprung überschwingt die Partialsumme um etwa 8.95% der Sprunghöhe — und diese Spitze schrumpft nie, egal wie viele Harmonische man hinzufügt; sie wird nur schmaler. Der Physiker Albert Michelson stieß 1898 darauf, als sein mechanischer harmonischer Analysator an den Kanten einer Rechteckwelle hartnäckig Spitzen zeichnete, und er vermutete einen Gerätefehler. J. Willard Gibbs bewies, dass die Maschine recht hatte: Das Überschwingen ist echte Mathematik. Dasselbe „Ringing“ plagt JPEG-Bilder an scharfen Kanten.

FOURIER-THEORIE — WARUM MANCHE WELLEN MEHR HARMONISCHE BRAUCHEN

Eine Wellenform lesen: Wie schnell fallen ihre Harmonischen ab?

Jede periodische Welle ist eine Summe von Sinus-Schwingungen. Wie viele du brauchst, bis die Summe stimmt, ist keine Geschmacksfrage — es hängt allein davon ab, wie glatt die Zielwellenform ist. Ein Sprung kostet weit mehr Harmonische als ein Knick, Symmetrie halbiert die Arbeit geschenkt, und ein bestimmter Fehler verschwindet nie, egal wie viele Glieder du addierst.

Rechteck — ein Sprung, also 1/n-Abfall cn ∝ 1/n, n = 2k+1
Sägezahn — ein Sprung ohne Symmetrie, also jede Harmonische cn ∝ 1/n, ∀n
Dreieck — ein Knick, kein Sprung, also 1/n²-Abfall cn ∝ 1/n2, n = 2k+1
Eine Harmonische — der Preis für frühes Abbrechen ε ≈ ∑n>N cn

01

Rechteck — ein Sprung, also 1/n-Abfall

Die Wellenform hat: Ein senkrechter Sprung zwischen zwei Pegeln, dazu Halbwellensymmetrie.

Abfall der Koeffizienten: cn ∝ 1/n, n = 2k+1

Was man sieht: 10 Harmonische ergeben scharfe Kanten, die immer noch um rund 9 % der Sprunghöhe überschwingen.

Diesen Fall öffnen: Rechteck, 10 Harmonische
Rechteck — ein Sprung, also 1/n-Abfall. Zehn Harmonische: Die Kanten sind scharf, das Überschwingen bleibt. Ein senkrechter Sprung zwischen zwei Pegeln, dazu Halbwellensymmetrie.
Zehn Harmonische: Die Kanten sind scharf, das Überschwingen bleibt.

02

Sägezahn — ein Sprung ohne Symmetrie, also jede Harmonische

Die Wellenform hat: Ein Sprung pro Periode und keine Halbwellensymmetrie, die etwas auslöschen könnte.

Abfall der Koeffizienten: cn ∝ 1/n, ∀n

Was man sieht: 10 Harmonische: Klingeln an jedem Sprung, und jede Harmonische 1, 2, 3 … trägt bei.

Diesen Fall öffnen: Sägezahn, 10 Harmonische
Sägezahn — ein Sprung ohne Symmetrie, also jede Harmonische. Jede Harmonische trägt bei, und das Klingeln sitzt an jedem Sprung. Ein Sprung pro Periode und keine Halbwellensymmetrie, die etwas auslöschen könnte.
Jede Harmonische trägt bei, und das Klingeln sitzt an jedem Sprung.

03

Dreieck — ein Knick, kein Sprung, also 1/n²-Abfall

Die Wellenform hat: Die Welle selbst ist stetig; nur ihre Steigung springt.

Abfall der Koeffizienten: cn ∝ 1/n2, n = 2k+1

Was man sieht: 8 Harmonische liegen bereits fast exakt auf dem Ziel, ganz ohne Überschwingen.

Diesen Fall öffnen: Dreieck, 8 Harmonische
Dreieck — ein Knick, kein Sprung, also 1/n²-Abfall. Acht Harmonische folgen dem Dreieck fast exakt, ohne Klingeln. Die Welle selbst ist stetig; nur ihre Steigung springt.
Acht Harmonische folgen dem Dreieck fast exakt, ohne Klingeln.

04

Eine Harmonische — der Preis für frühes Abbrechen

Die Wellenform hat: Du hast die Summe bei kleinem N abgeschnitten. Die Frage ist, was liegen blieb.

Abfall der Koeffizienten: ε ≈ ∑n>N cn

Was man sieht: Ein Rechteck bei n = 1 ist ein einzelner Sinus: die richtige Periode, nichts von der Form.

Diesen Fall öffnen: Rechteck, 1 Harmonische
Eine Harmonische — der Preis für frühes Abbrechen. n = 1 gegen n = 10: Die Periode stimmt lange vor der Form. Du hast die Summe bei kleinem N abgeschnitten. Die Frage ist, was liegen blieb.
n = 1 gegen n = 10: Die Periode stimmt lange vor der Form.
Quellen (4)

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Fünf Sinuswellen, die eine Rechteckwelle annähern und 1,182 erreichen 5 Schritte

    Fünf Sinuswellen, die eine Rechteckwelle annähern, überschwingen diese und erreichen 1,182 gegenüber der 1 der Rechteckwelle. Finden Sie heraus, ob das Hinzufügen weiterer Terme dies behebt.

    1. Eine Rechteckwelle ist ungerade und halbwellensymmetrisch, was jede gerade Harmonische eliminiert, bevor irgendeine Berechnung stattfindet. Fünf Terme bedeuten daher k = 1, 3, 5, 7, 9 – die Liste der Harmonischen im Bedienfeld ist eine Folge der Symmetrie, keine Einstellung.

    2. Die Partialsumme schwingt nahe der Sprungstelle über. Bei N = 5 liegt der Spitzenwert bei 1,182 und der RMS bei 0,979, was bereits nahe am RMS der exakten Welle von 1 liegt – die Energie stimmt also nahezu, während die Form nahe der Kante dies nicht tut.

    3. Testen wir nun die nahe liegende Abhilfe. N = 1 hat seinen Spitzenwert bei 1,273, N = 5 bei 1,182, N = 50 bei 1,179, N = 200 bei 1,17898.

    4. Sie konvergiert – aber nicht gegen 1. Der Grenzwert ist (2/π)·Si(π) = 1,17898, und das Überschwingen verschwindet bei keiner Anzahl von Termen.

    5. Was jedoch passiert, ist, dass das Überschwingen schmaler wird. Es wandert zur Unstetigkeitsstelle hin und nimmt immer weniger Breite ein, weshalb der RMS-Fehler gegen null geht, obwohl der maximale Fehler dies nicht tut.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt N = 5, Harmonische 1, 3, 5, 7, 9, einen Spitzenwert von 1,182 und einen RMS-Wert von 0,979 aus. Das wesentliche Ergebnis ist, dass der Spitzenwert gegen 1,17898 konvergiert, nicht gegen 1. Das ist das Gibbs-Phänomen, und seine Angabe erfordert Sorgfalt: Das Überschwingen beträgt 8,95 % des Sprungs – und diese Welle springt um 2, von −1 auf +1, sodass dieselbe Tatsache als 17,9 % der Amplitude gelesen wird. Beide Zahlen sind richtig und keine ist die andere. Es ist auch kein numerisches Artefakt: So sieht punktweise Konvergenz aus, wenn die Grenzfunktion unstetig ist, und das ist der Grund, warum scharfe Kanten in JPEG und in Audiofiltern nachschwingen.

Lernpfad

Kreise und Wellen sind dieselbe Bewegung

· Aktualisiert

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