Kreisbewegungs-Labor

Erkunde die gleichförmige Kreisbewegung und vertikale Kreisbahnen mit einer Simulation des Seildurchhangs im freien Fall.

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Lektion

Die Theorie — Kreisbewegungs-Labor

Etwas, das sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, beschleunigt dennoch, da Beschleunigung eine Änderung der Geschwindigkeit ist und zur Geschwindigkeit auch die Richtung gehört. Diese Beschleunigung zeigt immer zum Mittelpunkt — genau das bedeutet das Wort zentripetal —, und deshalb ist überhaupt eine Kraft erforderlich, um die Kreisbahn aufrechtzuerhalten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

r: der Radius des Kreises, hier 1.50 m. Er steckt sowohl in v = ωr als auch in a_c = ω²r, sodass ein Vergrößern des Kreises bei konstantem ω das Objekt schneller bewegen und stärker beschleunigen lässt — beide sind nicht voneinander unabhängig.
ω: die Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde — wie schnell der Winkel überstrichen wird, 2.0 rad/s. Für sich allein sagt sie nichts über die Größe aus.
v: die Tangentialgeschwindigkeit entlang der Kreisbahn: v = ωr = 3.00 m/s.
a_c: die Zentripetalbeschleunigung, ω²r = 6.00 m/s². Beachte, was darin nicht vorkommt.
T: die Umlaufzeit, eine volle Umdrehung: 2π/ω = 3.14 s oder 0.32 Umdrehungen pro Sekunde.

Woher die Formel kommt

Über ein kurzes Zeitintervall ändert der Geschwindigkeitsvektor nicht seine Länge, sondern nur seine Richtung — er dreht sich um denselben Winkel Δθ = ω·Δt wie das Objekt.
Wird ein Vektor der Länge v um einen kleinen Winkel gedreht, ändert er sich um v·Δθ, gerichtet senkrecht zur Geschwindigkeit, also zum Mittelpunkt hin. Die Beschleunigung hat daher den Betrag v·Δθ/Δt = v·ω.
Durch Einsetzen von v = ωr ergeben sich die zwei Formen, die auf der Seite verwendet werden: a_c = ω²r und äquivalent a_c = v²/r. Bei den Standardwerten gilt: 2.00² × 1.50 = 6.00 m/s².

Setzt voraus: Gleichförmige Kreisbewegung: konstante Geschwindigkeit, konstanter Radius und eine starre Führung, die das Objekt auf seiner Bahn hält. Wird das Objekt schneller oder verändert sich der Radius, tritt eine zweite, tangentiale Beschleunigung auf, die keine dieser Formeln beschreibt.
Versagt, wenn: Zwei Dinge sind beachtenswert, und das zweite ist ein echtes Missverständnis. Erstens enthält a_c = ω²r keinerlei Masse — ändert man das Masse-Feld, verändert sich die Beschleunigung nicht; die Masse kommt erst ins Spiel, wenn man nach der Kraft fragt, F = m·a_c. Zweitens gibt es keine nach außen gerichtete Kraft. Der Druck nach außen, den man auf einem Karussell spürt, ist die eigene Trägheit, die einen geradeaus weiterbewegt, während sich der Sitz dreht; die einzige reale Kraft ist nach innen gerichtet, und wenn sie wegfällt, bewegt man sich entlang der Tangente weiter — nicht nach außen.

Konstante Geschwindigkeit und trotzdem ständig beschleunigt 🖖

An der Schnelligkeit des Balls ändert sich in der ersten Voreinstellung dieses Werkzeugs nichts — sie bleibt von Anfang bis Ende bei 3,00 m/s — und dennoch zeigt die Anzeige eine Beschleunigung von 6,00 m/s², die nie aussetzt. Beides stimmt, denn Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit als Vektor, und ein Vektor hat eine Richtung. Der Betrag liegt fest, die Richtung dreht sich in jedem Augenblick, also muss etwas ziehen. Deshalb ist „gleichförmige" Kreisbewegung keine unbeschleunigte Bewegung, und das ist der Punkt, den Lernende hier am häufigsten falsch verstehen. Der Zug wächst außerdem brutal schnell: a_c = ω²r, also vervielfacht eine Erhöhung der Drehrate von 2,0 auf 4,5 rad/s — nur das 2,25-Fache — die Beschleunigung um das 5,06-Fache auf 30,38 m/s². Das sind etwa 3,1g am Draht eines Hammerwerfers.

Zentripetalkraft ist eine Rolle, keine eigene Kraft 🖖

Nichts, was zentripetal heißt, schiebt einen Körper; das Wort benennt nur diejenige reale Kraft, die gerade zum Mittelpunkt zeigt — die Fadenspannung, die Schwerkraft bei einem Satelliten, die Reibung beim Kurvenfahren. Sie weist stets nach innen, entlang des Radius. Die konkrete Erkenntnis: Durchtrennt man den Faden, fliegt die Kugel nicht gerade nach außen — sie entweicht geradlinig entlang der Tangente, weil keine Kraft mehr ihre Bahn krümmt.

Achterbahn-Loopings sind Tropfen, keine Kreise 🖖

Ein exakt kreisförmiges Looping bräuchte eine hohe Einfahrtsgeschwindigkeit, und der Durchgang unten würde die Fahrgäste mit brutalen g-Kräften erdrücken. Weil die Mindestgeschwindigkeit ganz oben nur √(gr) beträgt — unabhängig von der Masse — verengen Ingenieure den Radius oben und weiten ihn unten, was die tropfenförmige Klothoide (Euler-Spirale) ergibt, die Werner Stengel 1976 einführte. Oben weniger Tempo nötig, unten sanftere g-Kräfte.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Voreinstellung vertikale Schleife schwingt eine 1.00 m lange Schnur mit v₀ = 7.3 m/s und meldet Erfolg. Die Voreinstellung schlaffe Schnur nutzt 1.50 m bei 6.0 m/s und scheitert. Trage 7.3 als untere Geschwindigkeit der schlaffen Voreinstellung ein: rettet die Geschwindigkeit, die bei der kürzeren Schnur reichte, auch die längere?

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Nein — sie wird trotzdem schlaff, Spannung oben 0.0 N. Die Bedingung lautet v₀ ≥ √(5gr) und wächst mit der Wurzel des Radius: 7.00 m/s bei r = 1.00 m, aber 8.57 m/s bei r = 1.50 m. Erhöhe die Geschwindigkeit an der 1.5-m-Schleife schrittweise, und das Urteil kippt zwischen 8.5 m/s (Spannung oben −0.8 N, schlaff) und 8.6 m/s (0.3 N, gespannt) — genau dort, wo die Formel es vorhersagt. Die 5 ist kein Schummelfaktor: Energieerhaltung liefert v_top² = v₀² − 4gr, und gespannt oben herum zu bleiben verlangt, dass allein die Schwerkraft dort die Zentripetalkraft stellt, v_top² = gr. Addiere beides, und die 5 erscheint.
Die Voreinstellung Zentripetalkraft dreht 2.0 kg an einem 1.80 m langen Arm mit ω = 2.2 rad/s und meldet a꜀ = 8.7 m/s² — knapp unter einem g. Welches ω macht die Zentripetalbeschleunigung genau g, und welche Kraft zeigt das Feld dann an?

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ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s. Gib das ein, und das Feld zeigt a꜀ = 9.8 m/s² und F = 19.5 N — genau das Gewicht der 2.0 kg. Das ist der Punkt, an dem ein Kegelpendel unter 45° hängt: der seitliche Zug, den es braucht, ist so groß geworden wie der Zug nach unten, den es ohnehin hatte. Beachte, dass du g selbst mitbringen musst — das Feld zeigt Beschleunigung und Kraft, nie das Gewicht, den Vergleich musst du ziehen.

Aufgabe vollständig gelöst

1 kg schwere Kugel an einer 1 m Schnur, in einem vertikalen Kreis geschwungen 5 Schritte
Ein 1 kg schwerer Ball an einer 1 m langen Schnur, der in einem vertikalen Kreis geschwungen wird und den tiefsten Punkt mit 7,3 m/s passiert. Bestimmen Sie, ob die Schnur am höchsten Punkt straff bleibt und was sie am tiefsten Punkt aushalten muss. Dies ist Vertikaler Looping mit r = 1,0 m, m = 1,0 kg, g = 9,8 m/s² und v₀ = 7,3 m/s.
1. Am höchsten Punkt des Kreises liegt der Mittelpunkt direkt darunter, sodass Schwerkraft und Schnur in dieselbe Richtung ziehen. Eine Schnur kann nur ziehen, aber niemals drücken; der Grenzfall ist daher derjenige, in dem sie nichts beiträgt und die Schwerkraft allein den gesamten Zentripetalbedarf decken muss.
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. Die Geschwindigkeit am höchsten Punkt ergibt sich aus der Energie, nicht aus den Kräften. Das Erreichen der Höhe 2r wird aus der kinetischen Energie aufgebracht, und die Kombination daraus mit der Bedingung aus Schritt 1 ergibt eine minimale Geschwindigkeit am tiefsten Punkt, die das √5-Fache der minimalen Geschwindigkeit am höchsten Punkt beträgt.
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. Damit übertrifft 7,3 m/s das Minimum von 7,00 m/s um 4,3 %. In v² entspricht dieser Überschuss 4,29, und das Aufsteigen zieht einen festen Wert von 4gr ab statt eines Bruchteils, sodass die gesamten 4,29 bis zum höchsten Punkt erhalten bleiben — wo sie einem Bedarf von nur 9,8 gegenüberstehen und dort somit 44 % ausmachen.
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. Nun zu den beiden Zugkräften. Am höchsten Punkt zeigt die Schwerkraft nach innen und deckt einen Teil des Bedarfs, sodass die Schnur nur das Defizit ausgleicht — und dieses Defizit entspricht den 4,29 aus Schritt 3, da m/r hier 1 ist. Am tiefsten Punkt zeigt die Schwerkraft nach außen, sodass die Schnur den Zentripetalbedarf zuzüglich des vollen Gewichts tragen muss.
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. Subtrahieren Sie diese voneinander. Die beiden v²-Terme unterscheiden sich um exakt 4gr, die beiden Gewichtsterme addieren sich, anstatt sich aufzuheben, und jede Spur der Geschwindigkeit verschwindet.
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
Antwort

Das Werkzeug gibt 63,1 N am tiefsten Punkt, 4,3 N am höchsten Punkt und eine Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings von 3,13 m/s aus. Schritt 5 ist der entscheidende: Die Differenz zwischen den beiden Zugkräften beträgt 6mg — hier 58,8 N — und ist völlig unabhängig von der Geschwindigkeit; ein schnelleres Schwingen erhöht also beide gleichzeitig und verringert den Abstand nie. Wird exakt das Minimum gefahren, beträgt die Zugkraft oben null und die Zugkraft unten somit genau 6mg, was für einen Fahrgast in einem kreisförmigen Achterbahn-Looping einem Scheingewicht von 6 g entspricht. Das liegt über dem, was ein Mensch aufrecht sitzend aushalten kann, und ist der Grund, warum kein moderner Looping kreisförmig ist: Eine Klothoide verengt den Radius am höchsten Punkt, wo ein kleiner Radius eine geringe erforderliche Geschwindigkeit bedeutet, und erweitert ihn am tiefsten Punkt, wo v²/r auf den Passagier drückt.

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$