Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen
Die Physik entdeckt immer wieder, dass völlig verschiedene Dinge derselben Gleichung gehorchen. Ein Pendel, eine Feder und ein Schwingkreis sind ein einziges Problem in drei Kostümen, und hier lassen sich alle drei steuern.
Kurze Sequenzen statt einzelner Werkzeuge. Jeder Schritt gibt dem nächsten etwas Bestimmtes mit — deshalb lohnt sich die Reihenfolge.
L1: Grundlagen
PHYDas ohmsche Gesetz gilt, wie auf der zugehörigen Seite beschrieben, für einen einzelnen Widerstand bei konstanter Temperatur, an Gleichstrom und ohne weitere Bauteile im Stromkreis. Auf jeder folgenden Seite kommt etwas hinzu, das diese Beschreibung ausklammert: ein zweites Bauteil, die Leitung, die Batterie, ein Stromkreis, der sich nicht weiter zusammenfassen lässt, und eine veränderliche Spannung.
L2: Schule
PHYZwei Werkzeuge und eine Abkürzung: Wenn es dir nur um Geschwindigkeiten und Höhen geht, kannst du die Kräfte komplett ignorieren und der Energie die Buchführung überlassen.
L2: Schule
PHYEine Linse ist eine Grenzfläche, die jemand gekrümmt hat, und auf diesem Weg begegnet dir keine Physik, die nicht schon die erste Seite enthält. Was sich ändert, ist allein der Anspruch: eine einzige Fläche, dann eine ideale Linse, schließlich ein Stück Glas.
L2: Schule
PHYFünf Maschinen und ein Tausch. Keine von ihnen erzeugt Energie, aber jede lässt dir die Wahl, wie du sie einsetzt: weniger Kraft auf einem längeren Weg oder umgekehrt. Jeder Schritt reicht einen bestimmten Teil dieses Tausches an den nächsten weiter. Am Ende wirst du jede Maschine verstehen, indem du ihr zwei Fragen stellst.
L2: Schule
MATHDrei Werkzeuge. Der entscheidende Punkt dieser Abfolge ist, dass es sich nicht um drei Themen handelt. Eine Sinuskurve ist das, was du siehst, wenn du eine gleichförmige Kreisbewegung von der Seite betrachtest, und ein schwingendes Pendel zeigt dir dasselbe Bild, wenn die Schwerkraft für die Drehung sorgt.
L2: Schule
PHYEin Kondensator hat keinen Widerstand und begrenzt den Strom trotzdem. Dabei legt er keine Ohmzahl fest, sondern eine Zeit. Die zweite Seite zeigt, dass eine solche Zeit zu jedem System mit einem Speicher und einem Abfluss gehört. Auf der dritten kommt ein zweiter Speicher hinzu, und aus der Zeit wird eine Frequenz.
L2: Schule
PHYDrei Werkzeuge, und das dritte macht die ersten beiden hinfällig. Konstante Beschleunigung hat eine geschlossene Lösung, die ersten beiden Schritte sind also Algebra. Der Luftwiderstand ist nicht konstant, und ab da ist die einzige ehrliche Methode, Schritt für Schritt zu integrieren.
L2: Schule
PHYZwei Werkzeuge, die auf einem einzigen Ergebnis beruhen. Wasser strömt aus einem Loch mit exakt der Geschwindigkeit, die ein Stein beim Fallen über dieselbe Distanz erreicht, und alles Weitere ergibt sich daraus, in welche Richtung diese Geschwindigkeit wirkt: seitwärts wird es zum Wurfkörper, abwärts leert sich der Tank.
L2: Schule
PHYEine Rückstellkraft, konsequent zu Ende gedacht. Eine Masse an einer Feder schwingt. Eine Reihe davon gibt die Schwingung weiter. Treffen zwei davon aufeinander, entscheiden sie, ob sie sich verstärken oder auslöschen. Und eine Begrenzung an jedem Ende sortiert jede Frequenz aus, die nicht passt.
L2: Schule
PHYIn der Strahlenoptik breitet sich Licht geradlinig aus und eine Kante wirft einen scharfen Schatten. Auf jeder Seite hier siehst du diese Antwort als blassen Umriss direkt neben dem Ergebnis der Wellenoptik. Das Hindernis im Weg des Lichts ändert sich dabei von Seite zu Seite: zwei Oberflächen, ein Spalt, eine kreisförmige Blende und am Ende eine undurchsichtige Scheibe, deren Schatten im Zentrum hell ist.
L2: Schule
PHYDer Pfad, den ein Lichtstrahl einschlägt, dem eine gleitende Perle folgt und auf dem ein geworfener Ball fliegt, ist jener, bei dem eine kleine Abweichung in erster Ordnung keine Änderung eines Gesamtwerts hervorruft: Zeit für die ersten beiden, Wirkung für den Ball. Auf jeder Seite kannst du den Pfad verformen und zusehen, wie sich dieser Gesamtwert kaum bewegt. Zwei davon finden einen Pfad, dessen Wert stationär, aber nicht minimal ist.
L2: Schule
PHYEin rotierender Körper besitzt einen Vektor, seinen Drehimpuls, und fast alles Verblüffende an der Rotation ist die Weigerung dieses Vektors, sich zu verändern. Zieh auf einer Drehscheibe die Arme an und du drehst dich schneller. Ein Rad weicht zur Seite aus, statt umzufallen. Ein Schläger kippt um. Die Schwingungsebene eines Pendels bleibt unbewegt, während der Boden darunter rotiert.
L2: Schule
PHYDas ohmsche Gesetz beschreibt nur eine einzige Art von Bauteil. Die fünf hier speichern Energie in einer Spannung oder in einem Strom, leiten nur in eine Richtung, verstärken und verstärken hochpräzise – und jedes für sich ist unberechenbar: Die Stromverstärkung β eines Transistors schwankt schon bei baugleichen Exemplaren um das Dreifache. Erst die Schaltung um ein Bauteil herum macht es berechenbar, und jede Seite zeigt dir, wie.
L2: Schule
PHYLicht kommt in Paketen an, und dieselbe Konstante h gibt dann jedem Teilchen eine Wellenlänge. Der Rest ergibt sich, wenn du diese Welle ernst nimmst: Zwingst du sie in einen Kasten, hat sie eine niedrigste Energie, die nicht null ist. Sie sickert durch Wände, die sie nicht überwinden kann. Presst du sie in einen engen Raum, fächert sie sich über viele Wellenzahlen auf. Das ist die Unschärferelation.
L3: Grundstudium
PHYSieben Seiten zu einer Frage: Welcher Teil eines Tragwerks nimmt die Last tatsächlich auf, und in welcher Form? Es beginnt im Inneren eines einzelnen Balkens, dessen Mitte fast nichts beiträgt, und endet bei einem Fachwerk, das mehr Stäbe als Gleichungen hat und trotzdem genau erkennen lässt, wann es versagt.
L3: Grundstudium
PHYDrei Gleichungen, die auf einem einzigen Operator, dem Laplace-Operator, aufbauen und sich nur darin unterscheiden, was die Zeit bewirkt. Wärme vergisst, und zwar die schärfsten Details zuerst. Eine Welle trägt eine Störung fort und auf einer Fläche hört sie nie ganz auf, anzukommen. In der Laplace-Gleichung kommt die Zeit gar nicht vor. Sie ist der Zustand, auf den die Wärme durch ihr Vergessen zusteuert: Jeder Punkt entspricht genau dem Durchschnitt seiner Nachbarn.
L3: Grundstudium
GEOEine Vorhersage beruht auf einem Modell, das aus einem Anfangszustand in die Zukunft gerechnet wird, den niemand exakt kennt. Deshalb lassen Meteorologen es viele Male laufen und nutzen die Abweichungen, um zu beurteilen, wie verlässlich die Prognose ist. Die zweite Seite öffnet das Modell und entdeckt eine Fehlerquelle, die nichts mit Chaos zu tun hat. Die dritte Seite geht zurück zu den Lorenz-Gleichungen von 1963, bei denen sich die genaue Position der Bahn bald verliert, die gezeichnete Form jedoch niemals.
A machine that holds its own load is always under half efficient
Self-locking and "wastes more than half of what you put in" turn out to be the same inequality written two ways. That is why a bolt needs no ratchet, and why turning one is such miserable work.
You can derive the pendulum formula without knowing any physics. Almost.
Dimensional analysis hands you the form of a law from the units alone: which quantities matter, and how. What it cannot hand you is the pure number in front, and knowing exactly where the method stops is what makes it useful.
Ten degrees on the fire is worth 8.2 joules. Ten degrees off the river is worth 16.7.
Carnot efficiency depends on both temperatures, but not equally: dropping the cold side beats raising the hot side by a factor of T_H/T_C. Awkwardly, the cold side is usually a river you do not control.
Four tools on this site are running the same equation. Its parameter has four names.
RC, 1/λ, 1/k and the membrane time constant are one quantity in four disguises. Learn it once and you own it in four subjects. The conversion people get wrong is half-life.
Resonance is a phase relationship, not a peak
The amplitude peak of a driven oscillator shifts with damping and can vanish entirely, but the phase lag passes through exactly 90 degrees at the natural frequency for every damping value. Phase is the definition; the peak is a symptom.
The pendulum formula quietly assumes a small swing
T = 2π√(L/g) is not the period of a pendulum. It is the period of a pendulum that barely moves, and the error grows to nearly 16% by the time the swing reaches 85 degrees.
Why no piano is in tune
Twelve perfect fifths land 23.46 cents above seven octaves. That gap cannot be closed by any tuning, because it is a fact about prime numbers rather than about music, and every keyboard you have played is a negotiated settlement over it.
