Dies ist eine maschinelle Übersetzung; das englische Original ist maßgebend. Original lesen
Die Pendelformel setzt stillschweigend eine kleine Schwingung voraus
Das Pendel-Tool öffnet sich und zeigt 2,021 s an. Die Formel in jedem Lehrbuch liefert 2,0061 s. Keines von beidem ist ein Rundungsfehler.
Öffnen Sie den Pendulum Simulator und ändern Sie nichts. Ein Ein-Meter-Pendel, ausgelenkt bei 20 Grad, und laut Anzeige beträgt die Schwingungsdauer 2,021 s.
Die Formel, die jeder lernt, T = 2π√(L/g), ergibt 2,0061 s für dasselbe Pendel. Tool und Lehrbuch weichen in der dritten Stelle voneinander ab, noch bevor Sie ein Bedienelement berührt haben.
Das Tool hat recht.
Was das fehlende Bedienelement verrät
Noch vor diesem Widerspruch fällt auf, was sich ändern lässt: Länge, Startwinkel, Schwerebeschleunigung, Dämpfung. Vier Schieberegler.
Es gibt keinen Schieberegler für die Masse, und sein Fehlen ist kein Versehen. Die Gravitation zieht an einem schwereren Pendelkörper stärker, und ein schwererer Pendelkörper widersetzt sich der Beschleunigung im exakt gleichen Verhältnis. Beide Effekte entsprechen derselben Zahl und heben sich auf, bevor die Schwingungsdauer berechnet wird. Die Masse kann im Ergebnis nicht vorkommen, daher bietet die Benutzeroberfläche auch keine Einstellung dafür an.
Ein fehlendes Bedienelement ist manchmal die klärste Aussage, die ein Tool machen kann.
Wo die Näherung ins Spiel kommt
Die exakte Bewegungsgleichung eines Pendels enthält sin θ. Diese Gleichung besitzt keine Lösung in elementaren Funktionen, was unpraktisch ist; deshalb ersetzt die Standardherleitung sin θ durch θ.
Für kleine Winkel ist diese Substitution hervorragend: Bei 0,1 Radian weichen die beiden Werte um etwa einen Teil auf 600 voneinander ab. Und sie verwandelt das Problem in eine harmonische Schwingung, deren Schwingungsdauer 2π√(L/g) unabhängig von der Amplitude ist.
Diese Unabhängigkeit ist eine reine Eigenschaft der Ersetzung. Die Schwingungsdauer des realen Pendels hängt davon ab, wie weit man es auslenkt, und das exakte Ergebnis beinhaltet ein elliptisches Integral statt einer Formel, die man auf einer Folie stehen haben möchte.
Ziehen Sie am Winkelregler und beobachten Sie die Anzeige – das ist der schnellste Weg, das Ausmaß der Abweichung zu erkennen:
- 5° → 2,0070 s, 0,05 % über der Formel
- 20° → 2,0215 s, 0,77 % darüber (Standardwert)
- 45° → 2,0863 s, 4,00 % darüber
- 85° → 2,3228 s, 15,79 % darüber
Ein Fehler von 16 % ist keine Kleinigkeit. Eine Uhr, die nach der Lehrbuchformel gebaut ist und mit 85 Grad schwingt, würde pro Tag etwa dreieinhalb Stunden nachgehen.
Warum Uhren trotzdem funktionierten
Das war den Menschen bewusst, die darauf angewiesen waren. Eine Pendeluhr hält ihre Auslenkung klein, bei wenigen Grad, wo der Fehler unter einen Teil auf tausend fällt. Die Hemmung dient dazu, die durch Reibung verlorene Energie wieder zuzuführen, damit die Amplitude stabil bleibt – denn eine driftende Amplitude bedeutet eine driftende Uhr.
Das Sekundenpendel – eine Sekunde pro Halbschwingung und somit eine Schwingungsdauer von 2 s – ergibt L = g/π², was 99,4 cm entspricht. Diese knappe Verfehlung des Meters ist kein Zufall: Ein Sekundenpendel wurde allen Ernstes als Definition des Meters vorgeschlagen, bevor sich die Meridianmessung durchsetzte.
Pendulum Phase Space zeigt auf eine Weise, die die Schwingungsdauer-Anzeige nicht liefern kann, warum die Amplitude eine Rolle spielt. Kleine Auslenkungen zeichnen nahezu perfekte Ellipsen nach – das charakteristische Merkmal einer harmonischen Schwingung. Vergrößert man die Amplitude, verzerren sich die geschlossenen Kurven, und diese Verzerrung ist genau das sin θ, das bei der Herleitung vernachlässigt wurde.
Und dann sind es zwei
Ein einzelnes Pendel ist das vorhersagbarste Objekt der Einführungsphysik. Befestigt man ein zweites am Ende des ersten, wird es zu einem Standardbeispiel für Chaos.
Das Double Pendulum hat keine anzuzeigende Schwingungsdauer, und der Grund dafür verdient eine genaue Betrachtung: Es liegt nicht daran, dass das System zufällig ist oder die Simulation ungenau wäre. Die Gleichungen sind genauso deterministisch wie die des einfachen Pendels. Es liegt daran, dass zwei Startwinkel, die nur um ein Tausendstel Grad voneinander abweichen, innerhalb von Sekunden in völlig unterschiedliche Bewegungen divergieren, sodass eine Vorhersage die Kenntnis des Anfangszustands in einer Präzision erfordert, die niemand besitzt.
Der Abstand zwischen diesen beiden Tools beträgt ein einzelnes Gelenk.