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La fórmula del péndulo asume discretamente una oscilación pequeña
La herramienta del péndulo se abre mostrando 2,021 s. La fórmula de cualquier libro de texto indica 2,0061 s. Ninguna de las dos cifras es un error de redondeo.
Abre el Pendulum Simulator y no cambies nada. Un péndulo de un metro, soltado a 20 grados, y la lectura indica que el periodo es de 2,021 s.
La fórmula que se enseña a todo el mundo, T = 2π√(L/g), da 2,0061 s para el mismo péndulo. La herramienta y el libro de texto discrepan en la tercera cifra antes de haber tocado ningún control.
La herramienta tiene razón.
Lo que dice el control que falta
Antes de abordar la discrepancia, fíjate en lo que puedes cambiar: longitud, ángulo de liberación, gravedad, amortiguamiento. Cuatro deslizadores.
No hay deslizador de masa, y su ausencia no es un descuido. La gravedad tira con más fuerza de una masa más pesada, y una masa más pesada se opone a la aceleración exactamente en la misma proporción. Ambos efectos equivalen al mismo número y se cancelan antes de calcular el periodo. La masa no puede aparecer en el resultado, por lo que la interfaz no ofrece cambiarla.
Un control ausente es a veces la afirmación más clara que puede hacer una herramienta.
Dónde se introduce la aproximación
La ecuación exacta del movimiento de un péndulo contiene sin θ. Esa ecuación no tiene solución mediante funciones elementales, lo que resulta inconveniente, por lo que la deducción habitual sustituye sin θ por θ.
Para ángulos pequeños, esa sustitución es excelente: a 0,1 radianes, ambas difieren en aproximadamente una parte entre 600. Y transforma el problema en un movimiento armónico simple, cuyo periodo es 2π√(L/g), independiente de la amplitud.
Esa independencia es una propiedad exclusiva de la sustitución. El periodo del péndulo real sí depende de cuánto se desplace de la vertical, y el resultado exacto requiere una integral elíptica en lugar de una fórmula que querrías incluir en una diapositiva.
Arrastra el deslizador del ángulo y observa la lectura, que es la forma más rápida de comprobar la magnitud del engaño:
- 5° → 2,0070 s, un 0,05% por encima de la fórmula
- 20° → 2,0215 s, un 0,77% por encima (por defecto)
- 45° → 2,0863 s, un 4,00% por encima
- 85° → 2,3228 s, un 15,79% por encima
Un error del 16% no es un detalle menor. Un reloj construido con la fórmula del libro de texto que oscilara a 85 grados retrasaría unas tres horas y media al día.
Por qué los relojes funcionaban de todos modos
Esto lo comprendían bien quienes necesitaban saberlo. Un reloj de péndulo mantiene una oscilación pequeña, de unos pocos grados, donde el error cae por debajo de una parte por mil. El mecanismo de escape existe para reponer la energía perdida por rozamiento y conseguir que la amplitud se mantenga constante, porque una amplitud que se desvía es un reloj que se desvía.
El péndulo de segundos, con un segundo por oscilación y, por tanto, un periodo de 2 s, resulta en L = g/π², lo que equivale a 99,4 cm. Esa proximidad casi exacta al metro no es una coincidencia: un péndulo que marcase los segundos se propuso seriamente como definición del metro antes de que se impusiera la medición del meridiano.
Pendulum Phase Space muestra por qué la amplitud importa de una forma que la lectura del periodo no puede revelar. Las oscilaciones pequeñas trazan elipses casi perfectas, el rasgo distintivo del movimiento armónico simple. Al aumentar la amplitud, las curvas cerradas se deforman, y esa deformación es el mismo sin θ que la deducción descartó.
Y entonces aparecen dos
Un solo péndulo es el objeto más predecible de la física introductoria. Añade un segundo al extremo del primero y se convierte en un ejemplo clásico de caos.
El Double Pendulum no tiene un periodo que mostrar, y la razón merece explicarse detenidamente: no es que el sistema sea aleatorio ni que la simulación sea imprecisa. Las ecuaciones son tan deterministas como las del péndulo simple. Lo que ocurre es que dos ángulos iniciales separados por tan solo una milésima de grado divergen hacia movimientos completamente diferentes en cuestión de segundos, de modo que formular una predicción exige conocer las condiciones iniciales con una precisión de la que nadie dispone.
La distancia entre esas dos herramientas es una sola articulación.