Retrato de Fase del Péndulo

La separatriz es la única trayectoria que nunca llega a cerrarse: es el camino que traza un péndulo si se suelta exactamente en θ = 180° con velocidad cero, tambaleándose sobre el equilibrio invertido para siempre antes de finalmente caer. Como la fuerza restauradora se anula exactamente en la cima, el péndulo necesita un tiempo infinito para abandonarla — por eso el periodo exacto calculado aquí (mediante la integral elíptica K(m)) diverge cuando θ0 se acerca a 180°, aunque la fórmula lineal de ángulo pequeño T = 2π√(L/g) se mantiene perfectamente finita. Toda trayectoria dentro de la separatriz oscila de un lado a otro; toda trayectoria fuera de ella — con suficiente energía — simplemente sigue rotando por encima en vez de oscilar.

En lugar de observar un péndulo balancearse con el tiempo, un retrato de fase representa su ángulo frente a su velocidad angular. Cada punto captura el estado completo del péndulo en un instante, y al seguir ese punto se traza un único bucle cerrado: una oscilación que se repite para siempre. Todo el diagrama muestra a la vez cada movimiento posible, de modo que un vaivén suave y una oscilación amplia aparecen como bucles anidados en la misma imagen. Cuanto mayor es el bucle, más energía lleva el péndulo.

El período exacto es 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), donde M es la media aritmético-geométrica, un número que Gauss halló reemplazando una y otra vez dos valores por su media ordinaria y su media geométrica. Ambas medias convergen a toda velocidad, duplicando la cantidad de dígitos correctos en cada paso, así que tres rondas bastan para fijar el período. En θ₀ = 90° esto da T = 1.18 × T_linear, el mismo alargamiento del 18 % que ofrece la integral elíptica.