Explorador del Péndulo Doble

Liberado desde el reposo en θ₁ = 20° y θ₂ = 10°, con m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 y g = 9,81, y amortiguamiento c = 0. Ángulos tan pequeños no son caóticos: el movimiento es la suma de dos oscilaciones limpias. Halla el período de cada una y decide cuál de ellas cuentan las marcas de ciclo del panel.

1. Simplifica las ecuaciones del movimiento anteriores. Ángulos pequeños implican que sin θ se convierte en θ y cos 2Δ en 1, y los términos de velocidad al cuadrado son de segundo orden en una amplitud pequeña, por lo que desaparecen. Ambos denominadores se reducen a 2m₁ + m₂ − m₂ = 2, y lo que sobrevive es lineal y sigue estando acoplado: ninguna masa se mueve sin empujar a la otra.

   $${\ddot{\theta }}_1=-2k{\theta }_1+k{\theta }_2,{\ddot{\theta }}_2=2k{\theta }_1-2k{\theta }_2,k=\frac{g}{\ell }$$

2. Establece una referencia antes de resolver nada. Un péndulo simple de 1 m oscila a ω₀ = √(g/l), lo que da los 2,01 s que el panel muestra como sugerencia de período y graba en cada marca de ciclo. Tenlo presente, porque nada de lo que sigue va a ser igual a ese valor.

   $$k=\frac{9.81}{1}=9.81{\mathrm{s}}^{-2},{\omega }_0=\sqrt{k}=3.132rad/s,T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2.01\mathrm{s}$$

3. Un modo normal es un movimiento en el que ambos ángulos oscilan a una misma frecuencia compartida y mantienen una relación fija. Sustituye θᵢ = aᵢ cos ωt y cada una de las dos ecuaciones te proporciona esa relación a₂/a₁, obtenida desde extremos opuestos.

   $${\theta }_i=a_i\cos \omega t⟹(2k-{\omega }^2)a_1=k{a}_2,(2k-{\omega }^2)a_2=2k{a}_1$$

4. Las dos expresiones para una misma relación deben coincidir, e igualarlas elimina ambas amplitudes. Lo que queda es una ecuación de segundo grado en ω², y una ecuación de segundo grado tiene 2 raíces. De ahí es de donde proviene el segundo período.

   $$(2k-{\omega }^2{)}^2=2k^2⟹{\omega }^2=(2\mp \sqrt{2})k=5.747,33.49{\mathrm{s}}^{-2}$$

5. Así pues, este péndulo tiene 2 períodos, 2,62 s y 1,09 s, y los 2,01 s de las marcas de ciclo no corresponden a ninguno de los dos. Se sitúa entre ambos y no pertenece a ninguno.

   $${\omega }_{-}=2.397,{\omega }_{+}=5.787rad/s⟹T_{-}=2.62\mathrm{s},T_{+}=1.09\mathrm{s}$$

6. Cada raíz devuelve su propia forma modal. La raíz lenta da a₂/a₁ = +1,414: ambas masas oscilan en el mismo sentido, la inferior con una amplitud 1,414 veces mayor. La raíz rápida da −1,414: oscilan en oposición y la articulación entre ellas se mueve como una tijera.

   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{2k-{\omega }^2}{k}=\pm \sqrt{2}=\pm 1.414$$

7. Una posición inicial de 20° y 10° no corresponde a ninguna de las dos formas, por lo que ambos modos están activos a la vez. Descompónla en una amplitud lenta A y una amplitud rápida B —la masa superior requiere A + B = 20°, la inferior requiere √2(A − B) = 10°— y el modo lento se lleva 13,54° del inicio mientras que el rápido se lleva 6,46°.

   $$A+B=20^{\circ },\sqrt{2}(A-B)=10^{\circ }⟹A=13.54^{\circ },B=6.46^{\circ }$$