See on masintõlge; ingliskeelne tekst on originaal. Loe originaali
Pendli valem eeldab vaikimisi väikest võnkeamplituudi
Pendli tööriist avaneb näiduga 2.021 s. Valem igas õpikus annab tulemuseks 2.0061 s. Kumbki ei ole ümardamisviga.
Ava Pendulum Simulator ja ära muuda midagi. Ühe meetri pikkune pendel, mis vabastatakse 20 kraadi juures, ning näit ütleb perioodiks 2.021 s.
Valem, mida kõigile õpetatakse, T = 2π√(L/g), annab sama pendli puhul tulemuseks 2.0061 s. Tööriist ja õpik erinevad kolmandas numbris juba enne, kui oled puudutanud ühtegi juhtelementi.
Õigus on tööriistal.
Mida puuduv juhtelement ütleb
Enne selle lahkarvamuse juurde asumist pane tähele, mida on lubatud muuta: pikkust, vabastusnurka, raskuskiirendust, sumbumist. Neli liugurit.
Massi liugurit ei ole ja selle puudumine ei ole tähelepanematus. Gravitatsioon tõmbab raskemat pendlikeha tugevamini ja raskem pendlikeha osutab kiirendusele vastupanu täpselt samas proportsioonis. Need kaks mõju väljenduvad samas numbris ning taandavad teineteise enne perioodi arvutamist. Mass ei saa vastuses sisalduda, seega liides ei pakugi selle muutmist.
Puuduv juhtelement on vahel kõige selgem avaldus, mida üks tööriist saab teha.
Kust pärineb lähendus
Pendli tegelik liikumisvõrrand sisaldab sin θ. Selles võrrandil puudub lahend tavalistes funktsioonides, mis on ebamugav, seega asendatakse standardse tuletuse käigus sin θ suurusega θ.
Väikeste nurkade korral on see asendus suurepärane: 0.1 radiaani juures erinevad need kaks umbes ühe osa võrra 600-st. Ja see teisendab probleemi harmooniliseks võnkumiseks, mille periood on 2π√(L/g), sõltumata amplituudist.
See sõltumatus on täielikult teostatud asenduse omadus. Tegeliku pendli periood sõltub sellest, kui kaugele see tagasi tõmmatakse, ning täpne tulemus hõlmab elliptilist integraali, mitte valemit, mida soovitaks näha slaidil.
Lohista nurgaliugurit ja jälgi näitu, mis on kiireim viis vale suuruse nägemiseks:
- 5° → 2.0070 s, 0.05% valemist suurem
- 20° → 2.0215 s, 0.77% suurem (vaikeväärtus)
- 45° → 2.0863 s, 4.00% suurem
- 85° → 2.3228 s, 15.79% suurem
16% viga ei ole pisiasi. Õpiku valemi põhjal ehitatud kell, mis võngub 85 kraadi juures, jääks maha umbes kolm ja pool tundi päevas.
Miks kellad sellest hoolimata töötasid
Seda mõistsid need, kes seda vajasid. Pendelkell hoiab oma võnkeamplituudi väikese, mõne kraadi piires, kus viga jääb alla ühe tuhandendiku. Ankrumehhanism on olemas selleks, et täiendada hõõrdumise tõttu kaotatud energiat, et amplituud püsiks paigal, sest triiviv amplituud tähendab kella, mis triivib.
Sekundipendli puhul (üks sekund ühe võnke kohta ja seega 2 s periood) saadakse L = g/π², mis on 99.4 cm. See etalonmeetrile nii lähedal asuv väärtus ei ole juhus: sekundit löövat pendlit pakuti tõsiselt meetri definitsiooniks enne, kui meridiaanimõõtmine võitis.
Pendulum Phase Space näitab, miks amplituud on oluline viisil, mida perioodi näit ei suuda väljendada. Väikesed võnked moodustavad peaaegu täiuslikke ellipseid, mis on harmoonilise võnkumise tunnusmärk. Suurenda amplituudi ja kinnised kõverad moonutuvad – ning see moonutus ongi seesama sin θ, mille tuletamine kõrvale heitis.
Ja siis on neid kaks
Üksik pendel on sissejuhatava füüsika kõige ettearvatavam objekt. Kinnita teine pendel esimese otsa ja sellest saab tüüpiline kaose näide.
Tööriistal Double Pendulum ei ole kuvamiseks ühtegi perioodi ning põhjus tasub hoolikalt välja tuua: asi ei ole selles, et süsteem oleks juhuslik või et simulatsioon oleks ebatäpne. Võrrandid on sama deterministlikud kui ühe pendli puhul. Küsimus on selles, et kaks algnurka, mis erinevad kraadi tuhandendiku võrra, hargnevad sekundite jooksul täiesti erinevateks liikumisteks, mistõttu nõuab prognoosimine algseisundi teadmist täpsusega, mida kellelgi ei ole.
Vahemaa nende kahe tööriista vahel on vaid üks liigend.