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La formule du pendule suppose silencieusement une faible amplitude
L'outil sur le pendule s'ouvre en affichant 2,021 s. La formule de tous les manuels indique 2,0061 s. Ni l'une ni l'autre n'est une erreur d'arrondi.
Ouvrez le Pendulum Simulator sans rien modifier. Pour un pendule d'un mètre lâché à 20 degrés, l'affichage indique une période de 2,021 s.
La formule enseignée à tout le monde, T = 2π√(L/g), donne 2,0061 s pour ce même pendule. L'outil et le manuel divergent dès le troisième chiffre, avant même d'avoir touché à un réglage.
L'outil a raison.
Ce que le réglage manquant vous apprend
Avant de revenir sur cet écart, observez ce qu'il vous est permis de modifier : la longueur, l'angle d'initialisation, la gravité, l'amortissement. Quatre curseurs.
Il n'y a aucun curseur pour la masse, et cette absence n'est pas un oubli. La gravité tire plus fort sur une masse plus lourde, et une masse plus lourde résiste à l'accélération dans une proportion exactement identique. Les deux effets correspondent au même nombre et s'annulent avant même le calcul de la période. La masse ne peut pas figurer dans le résultat, c'est pourquoi l'interface ne propose pas de la modifier.
L'absence d'un réglage est parfois l'affirmation la plus claire que puisse faire un outil.
D'où provient l'approximation
La véritable équation du mouvement d'un pendule contient sin θ. Cette équation ne possède aucune solution s'exprimant au moyen de fonctions usuelles, ce qui est peu pratique ; la démonstration classique remplace donc sin θ par θ.
Pour de petits angles, cette substitution est excellente : à 0,1 radian, les deux valeurs diffèrent d'environ une part sur 600. De plus, elle transforme le problème en un mouvement harmonique simple, dont la période est 2π√(L/g), indépendante de l'amplitude.
Cette indépendance découle entièrement de cette substitution. La période d'un pendule réel dépend bel et bien de la distance à laquelle on l'écarte, et le résultat exact fait intervenir une intégrale elliptique plutôt qu'une formule que l'on souhaiterait avoir sur une diapositive.
Faites glisser le curseur de l'angle et observez l'affichage, c'est le moyen le plus rapide de voir l'ampleur du mensonge :
- 5° → 2,0070 s, 0,05% au-dessus de la formule
- 20° → 2,0215 s, 0,77% au-dessus (valeur par défaut)
- 45° → 2,0863 s, 4,00% au-dessus
- 85° → 2,3228 s, 15,79% au-dessus
Une erreur de 16% n'est pas un détail négligeable. Une horloge conçue d'après la formule du manuel et oscillant à 85 degrés perdrait environ trois heures et demie par jour.
Pourquoi les horloges fonctionnaient malgré tout
Cela était bien compris par ceux qui en avaient besoin. Une horloge à pendule conserve une faible amplitude d'oscillation, de quelques degrés seulement, là où l'erreur descend sous un millième. L'échappement existe pour compenser l'énergie perdue par frottement afin que l'amplitude reste constante, car une amplitude qui dérive est une horloge qui dérive.
Le pendule battant la seconde, avec une seconde par demi-oscillation et donc une période de 2 s, donne L = g/π², soit 99,4 cm. Cette proximité avec le mètre n'est pas une coïncidence : un pendule battant la seconde a été sérieusement proposé comme définition du mètre avant que la mesure du méridien ne l'emporte.
Pendulum Phase Space montre pourquoi l'amplitude importe d'une manière que l'affichage de la période ne peut révéler. Les petites oscillations décrivent des ellipses presque parfaites, signature du mouvement harmonique simple. Augmentez l'amplitude et les courbes fermées se déforment ; cette déformation est le sin θ même que la démonstration avait écarté.
Et puis ils sont deux
Un pendule simple est l'objet le plus prévisible de la physique élémentaire. Attachez-en un second à l'extrémité du premier, et il devient un exemple classique de chaos.
Le Double Pendulum n'a aucune période à afficher, et la raison mérite d'être énoncée avec soin : ce n'est pas que le système soit aléatoire ou que la simulation manque de précision. Les équations sont tout aussi déterministes que celles du pendule simple. Cela tient au fait que deux angles initiaux séparés d'un millième de degré divergent vers des mouvements totalement différents en quelques secondes, de sorte qu'une prédiction exigerait de connaître l'état initial avec une précision que personne ne possède.
La distance entre ces deux outils tient à une seule articulation.