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A fórmula do pêndulo pressupõe silenciosamente uma pequena amplitude
A ferramenta do pêndulo abre a mostrar 2,021 s. A fórmula em todos os manuais indica 2,0061 s. Nenhum é um erro de arredondamento.
Abra o Pendulum Simulator e não altere nada. Um pêndulo de um metro, libertado a 20 graus, e a leitura indica que o período é de 2,021 s.
A fórmula que todos aprendem, T = 2π√(L/g), resulta em 2,0061 s para o mesmo pêndulo. A ferramenta e o manual discordam no terceiro dígito antes de ter tocado em qualquer controlo.
A ferramenta tem razão.
O que o controlo em falta nos diz
Antes da discordância, note o que é possível alterar: comprimento, ângulo de libertação, gravidade, amortecimento. Quatro controlos deslizantes.
Não existe um controlo deslizante para a massa, e a sua ausência não é um descuido. A gravidade puxa com mais força por uma massa mais pesada, e uma massa mais pesada resiste à aceleração exatamente na mesma proporção. Os dois efeitos traduzem-se no mesmo valor e anulam-se antes de o período ser calculado. A massa não pode figurar no resultado, pelo que a interface não dá a opção de a alterar.
A ausência de um controlo é, por vezes, a afirmação mais clara que uma ferramenta pode fazer.
Onde surge a aproximação
A equação de movimento exata de um pêndulo contém sin θ. Essa equação não tem solução em funções elementares, o que é inconveniente, pelo que a dedução habitual substitui sin θ por θ.
Para ângulos pequenos, essa substituição é excelente: a 0,1 radianos, a diferença entre ambos é de cerca de uma parte em 600. E transforma o problema num movimento harmónico simples, cujo período é 2π√(L/g), independente da amplitude.
Essa independência é inteiramente uma propriedade da substituição. O período do pêndulo real depende de quão para trás o puxamos, e o resultado exato envolve um integral elíptico em vez de uma fórmula que gostasse de ter num diapositivo.
Arraste o controlo deslizante do ângulo e observe a leitura, que é a forma mais rápida de ver a dimensão da mentira:
- 5° → 2,0070 s, 0,05% acima da fórmula
- 20° → 2,0215 s, 0,77% acima (o valor predefinido)
- 45° → 2,0863 s, 4,00% acima
- 85° → 2,3228 s, 15,79% acima
Um erro de 16% não é uma subtileza. Um relógio construído com base na fórmula do manual e a oscilar a 85 graus perderia cerca de três horas e meia por dia.
Por que razão os relógios funcionavam mesmo assim
Isto era compreendido por quem precisava de o saber. Um relógio de pêndulo mantém a sua oscilação reduzida, a escassos graus, onde o erro fica abaixo de uma parte em mil. O escapamento existe para repor a energia perdida por atrito para que a amplitude se mantenha constante, porque uma amplitude que varia significa um relógio que se desregula.
O pêndulo de segundos, com um segundo por oscilação e, portanto, um período de 2 s, resulta em L = g/π², ou seja, 99,4 cm. Essa proximidade em relação ao metro não é uma coincidência: um pêndulo a bater os segundos foi seriamente proposto como a definição do metro antes que a medição do meridiano prevalecesse.
O Pendulum Phase Space mostra por que razão a amplitude é importante de uma forma que a leitura do período não consegue revelar. Pequenas oscilações traçam elipses quase perfeitas, a assinatura do movimento harmónico simples. Aumente a amplitude e as curvas fechadas distorcem-se, sendo essa distorção o mesmo sin θ que a dedução descartou.
E depois passam a ser dois
Um único pêndulo é o objeto mais previsível da física introdutória. Ligue um segundo à extremidade do primeiro e torna-se num exemplo clássico de caos.
O Double Pendulum não tem um período para apresentar, e a razão merece ser enunciada com rigor: não se trata de o sistema ser aleatório ou de a simulação ser imprecisa. As equações são tão deterministas como as do pêndulo simples. O que acontece é que dois ângulos iniciais separados por um milésimo de grau divergem em movimentos completamente diferentes em questão de segundos, de modo que uma previsão exige conhecer o ponto de partida com uma precisão que ninguém possui.
A distância entre essas duas ferramentas é uma única articulação.