Retrato de Fase do Pêndulo

A separatriz é a única trajetória que nunca chega a se fechar: é o caminho que um pêndulo traça se for solto exatamente em θ = 180° com velocidade zero, oscilando indefinidamente sobre o equilíbrio invertido antes de finalmente descer. Como a força restauradora se anula exatamente no topo, o pêndulo precisa de um tempo infinito para deixá-lo — por isso o período exato calculado aqui (via a integral elíptica K(m)) diverge à medida que θ0 se aproxima de 180°, mesmo que a fórmula linear de pequenos ângulos T = 2π√(L/g) permaneça perfeitamente finita. Toda trajetória dentro da separatriz oscila para frente e para trás; toda trajetória fora dela — com energia suficiente — simplesmente continua girando por cima do topo em vez de oscilar.

Em vez de observar um pêndulo balançar ao longo do tempo, um retrato de fase representa o seu ângulo em função da sua velocidade angular. Cada ponto captura o estado completo do pêndulo num instante, e seguir esse ponto traça um único laço fechado — uma oscilação que se repete para sempre. O diagrama inteiro mostra todos os movimentos possíveis de uma só vez, de modo que um leve bamboleio e uma oscilação ampla aparecem como laços aninhados na mesma imagem. Quanto maior o laço, mais energia o pêndulo carrega.

O período exato é 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)), onde M é a média aritmético-geométrica — um número que Gauss encontrou substituindo repetidamente dois valores pela sua média comum e pela sua média geométrica. As duas médias aproximam-se velozmente, duplicando a quantidade de dígitos corretos a cada passo, de modo que três rodadas já fixam o período. Em θ₀ = 90° isto dá T = 1.18 × T_linear, o mesmo alongamento de 18 % que a integral elíptica fornece.