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振り子の公式は振れが小さいことを暗黙に前提としている
振り子ツールを開くと 2.021 s と表示されます。あらゆる教科書に載っている公式が示す値は 2.0061 s です。どちらも丸め誤差ではありません。
Pendulum Simulator を開き、何も変更しないでください。振れ角 20 度で放した 1 メートルの振り子では、表示される周期は 2.021 s を示します。
誰もが教わる公式である T = 2π√(L/g) に同じ振り子を当てはめると、2.0061 s となります。コントロールに触れる前から、ツールと教科書は 3 桁目で食い違っています。
ツールの方が正しいのです。
存在しないコントロールが物語ること
食い違いを検討する前に、変更が許可されている項目に注目してください。長さ、離す角度、重力、減衰。4 つのスライダーです。
質量のスライダーはありませんが、これが無いのは見落としではありません。より重い錘には重力がより強く働きますが、より重い錘はまったく同じ割合で加速度に抵抗します。これら 2 つの効果は同じ数値であり、周期が計算される前に相殺されます。答えに質量が現れることはないため、インターフェースでもそれを変更できるようにはなっていません。
存在しないコントロールこそが、ツールがなし得る最も明確な主張である場合があります。
近似がどこで入り込むのか
振り子の真の運動方程式には sin θ が含まれています。この方程式には初等関数による解が存在せず不便であるため、標準的な導出では sin θ を θ に置き換えます。
角度が小さい場合、この置換は非常に優れています。0.1 ラジアンでは、両者の差は約 600 分の 1 に過ぎません。そしてこの置換によって問題は単振動へと変化し、その周期は振幅に依存しない 2π√(L/g) となります。
その独立性は、まったくもって近似置換による性質に過ぎません。実際の振り子の周期は、どれだけ手前まで引き戻したかに依存しており、その厳密な解はスライドに載せたくなるような単純な公式ではなく、楕円積分を含んでいます。
角度スライダーをドラッグして表示数値を確認してみてください。これがこの嘘の大きさを確かめる最も早い方法です。
- 5° → 2.0070 s、公式より 0.05% 大きい
- 20° → 2.0215 s、0.77% 大きい（初期値）
- 45° → 2.0863 s、4.00% 大きい
- 85° → 2.3228 s、15.79% 大きい
16% の誤差は些細なものではありません。教科書の公式に基づいて作られ、85 度で振れる時計は、1 日あたり約 3 時間半遅れることになります。
それにもかかわらず時計が機能した理由
このことは、必要とした人々によって理解されていました。振り子時計は振れ幅を数度という小ささに保っており、そこでの誤差は 1000 分の 1 未満に収まります。脱進機が存在するのは、摩擦で失われたエネルギーを補給して振幅を一定に保つためです。振幅が変動する時計は、時刻がずれる時計だからです。
片道 1 秒、すなわち周期が 2 s となる秒振子は、L = g/π² となり、長さは 99.4 cm となります。1 メートルに極めて近いこの数値は偶然ではありません。子午線測量が採用される前、秒を刻む振り子はメートルの定義として真剣に提案されていました。
Pendulum Phase Space は、周期の表示数値では分からない、振幅の重要性の理由を示してくれます。振れが小さい場合、軌跡はほぼ完璧な楕円を描き、これが単振動の特徴です。振幅を大きくすると閉曲線が歪みますが、その歪みこそが導出過程で切り捨てられた sin θ そのものなのです。
そして振り子が 2 つになると
1 つの振り子は、初等物理学において最も予測しやすい物体です。しかし、その先にもう 1 つの振り子を取り付けると、それはカオスの代表的な例へと姿を変えます。
Double Pendulum には表示すべき周期が存在しません。その理由は丁寧に説明する価値があります。系がランダムであるとか、シミュレーションが不正確であるからではありません。方程式は単振子のものと同様に決定論的です。問題は、1000 分の 1 度しか違わない 2 つの初期角度が、数秒のうちにまったく異なる運動へと分岐してしまうため、予測には誰も持ち得ないほどの精度で初期状態を知る必要があるということです。
これら 2 つのツールの間にある違いは、わずか 1 つのヒンジです。