振り子の位相ポートレート

セパラトリックスは決して完全には閉じない唯一の軌道です。これは、振り子がちょうど θ = 180° で速度ゼロから放たれたときにたどる経路で、倒立した平衡状態の上で永遠にぐらつき続けた末に、ようやく振り下ります。復元力がちょうど頂点でゼロになるため、振り子がそこを離れるには無限の時間が必要です — だからこそ、ここで計算される正確な周期(楕円積分 K(m) による)は、θ0が180°に近づくにつれて発散します。一方、線形の微小角公式 T = 2π√(L/g) はどこまでも有限な値のままです。セパラトリックスの内側にあるすべての軌道は前後に振動し、その外側にあるすべての軌道は — 十分なエネルギーがあれば — 振動する代わりに頂点を越えて回転し続けます。

時間とともに揺れる振り子を眺める代わりに、相図は角度を横軸、角速度を縦軸にとって描きます。各点はある瞬間の振り子の完全な状態を表し、その点をたどると一本の閉じたループ、つまり永遠に繰り返す一回の振動が描かれます。図全体はあり得るすべての運動を同時に示すので、小さな揺れと大きな振れが入れ子のループとして同じ絵に並びます。ループが大きいほど、振り子が持つエネルギーも大きくなります。

厳密な周期は 2π√(L/g) / M(1, cos(θ₀/2)) で、ここで M は算術幾何平均です。これはガウスが、二つの値をその相加平均と相乗平均に何度も置き換えて見いだした数です。二つの平均は猛烈な速さで近づき、正しい桁数が一歩ごとに倍増するため、わずか三回の反復で周期がほぼ定まります。θ₀ = 90° ではこれが T = 1.18 × T_linear、すなわち楕円積分が与えるのと同じ18%の伸びになります。