振り子の位相ポートレート

1 m の振り子を 30° の位置から静かに離します。その周期を正確に求めなさい（教科書の公式の解ではありません）。次に、1回の往復を 10 s に延ばすには、鉛直方向からどれほど近い位置から離さなければならないかを求めなさい。g = 9.81 m/s² とし、減衰はないものとします。

1. 固有振動数を決定するのは2つの量であり、質量はそのうちに含まれません。質量は運動方程式のすべての項にかかり、他の事象が起きる前に約分されて消えるからです。

   $${\omega }_0=\sqrt{g/L}=\sqrt{9.81}=3.1321rad/s$$

2. sin θ を θ に置き換えると、残るのは調和振動子であり、その周期は 2π/ω₀ となります。脱落したものを読み取ってください: θ₀ です。振幅への非依存性はその置き換えの性質であり、振り子自体の性質ではありません。

   $$T_{\mathrm{linear}}=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2.0061\mathrm{s}$$

3. 今度は置き換えなしで行います。エネルギー保存則は微小角を必要としません。角度 θ における運動エネルギーは、θ₀ から落下する際に失われた位置エネルギーと正に等しくなります。したがって、代わりに角速度について解きます。

   $$\frac{1}{2}{L}^2{\dot{\theta }}^2=gL(\cos \theta -\cos {\theta }_0)⟹\dot{\theta }={\omega }_0\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}$$

4. 時間は距離を速度で割って積分したものであり、1/4周期は 0 から θ₀ までの振れです。離す角度が復活し、被積分関数と上限の両方に同時に存在するため、周期がそれから独立しているはずはありません。

   $$T=\frac{4}{{\omega }_0}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}}$$

5. 被積分関数は θ = θ₀ で発散しますが、恒等式 cos θ = 1 − 2sin²(θ/2) はその発散が単一のゼロの平方根にすぎないことを示しています。余弦の差は二乗の差です。振幅の半分の正弦を k と置き、θ が θ₀ まで動く間に φ が 0 から π/2 まで動くようにします。

   $$k=\sin \frac{{\theta }_0}{2},\sin \frac{\theta }{2}=k\sin \phi ⟹\cos \theta -\cos {\theta }_0=2k^2{\cos }^2\phi$$

6. 扱いづらい根号が dθ と相殺され、残るのは第一種完全楕円積分です。これは上のパネルが表示している公式であり、その変数を k ではなく k²、すなわち sin²(θ₀/2) として記述しています。

   $$T=\frac{4}{{\omega }_0}{\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\frac{4}{{\omega }_0}K(k)$$

7. K は初等的な閉形式を持ちませんが、その被積分関数は持ちます。u = k²sin²φ に関する二項級数であり、その係数は中央二項係数です。

   $$(1-u{)}^{-1/2}=\sum _{n\ge 0}{c}_n{u}^n,c_n=\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}$$

8. その級数を項別に積分すると、ウォリスの積分によって二項展開が生成したのと同じ c_n が返されます。この一致こそが仕掛けのすべてです。

   $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2n}\phi \mathrm{d}\phi =\frac{\pi }{2}{c}_n$$

9. したがって各項は c_n を2回取り込むため、周期級数のすべての係数は二項係数の2乗になります。1/4、9/64、25/256 は、1/2、3/8、5/16 の2乗です。

   $$\frac{T}{T_{\mathrm{linear}}}=\sum _{n\ge 0}{c}_n^2{k}^{2n}=1+\frac{k^2}{4}+\frac{9k^4}{64}+\frac{25k^6}{256}+\cdots$$

10. 30° において半振幅は 15° であるため、k² はわずか 0.067 であり、各項は前の項の 20 倍以上小さくなります。3 項で打ち切ると 1.017378 が得られ、これを掛け合わせると 2.0409 s となります。最後の桁を動かすのは第 4 項です。

    $$k^2={\sin }^{2}15^{\circ }=0.066987:1+0.016747+0.000631+0.000029=1.017407$$

11. 乗算します。これがパネルに表示される正確な周期であり、1.0174 はその横に表示されている比率です。どちらも K を数値的に一度も評価することなく到達したものです。

    $$T=2.0061\times 1.017407=2.0410\mathrm{s}$$