Explorateur du pendule double

explorez le chaos déterministe et l'effet papillon dans un mouvement couplé

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pourquoi les pendules doubles deviennent imprévisibles 🖖

C'est du chaos déterministe, pas du hasard. Lancez deux simulations séparées de seulement 0,1° : après un moment, elles ne semblent plus du tout liées, car leur écart croît à peu près exponentiellement (un exposant de Lyapunov positif). L'énergie navigue continuellement entre les deux bras par couplage non linéaire, si bien que d'infimes différences de phase s'amplifient en des états futurs complètement différents. Les équations sont exactes ; c'est l'horizon de prévisibilité qui s'effondre.
Ce pendule ne fait pas que balancer de gauche à droite ; il n'arrête pas de changer d'avis sur quel bras mène la danse.

juste deux tiges et la gravité 🖖

Pas de moteur, pas de générateur de hasard, aucun truc — seulement deux bras, deux articulations et la gravité. Le mouvement effréné vient entièrement de la seconde articulation, par laquelle chaque bras bouscule l'autre. Essayez de partir d'une petite impulsion près du repos : il oscille presque comme un pendule ordinaire. Le chaos ne s'impose que lorsque vous donnez assez d'énergie pour que les bras passent par-dessus le point le plus haut.
La complexité n'est pas intégrée ; elle pousse à partir de quelque chose de presque gênant de simplicité.

la pointe peut tomber plus vite que la gravité 🖖

Lâchez le pendule au repos, les bras tenus à l'horizontale, et observez la masse extérieure : un instant, elle peut accélérer vers le bas plus vite qu'une bille en chute libre — soit plus que g. Les bras rigides agissent comme un levier et un fouet, si bien que le bras intérieur projette l'extérieur vers le bas plus fort que la gravité ne le pourrait. C'est l'effet qui permet à une tige articulée de devancer au sol une pièce qui tombe.
La gravité déclenche la chute, mais la géométrie décide qui atterrit en premier.

Problème entièrement résolu

Période de deux oscillations nettes après un lâcher au repos 7 étapes
Lâché sans vitesse initiale à θ₁ = 20° et θ₂ = 10°, avec m₁ = m₂ = 1, l₁ = l₂ = 1 et g = 9,81, et un amortissement c = 0. Des angles aussi petits ne sont pas chaotiques — le mouvement est la somme de deux oscillations pures. Déterminez la période de chacune, puis déterminez laquelle d'entre elles les repères de cycle sur le panneau comptent.
1. Simplifions les équations du mouvement ci-dessus. Pour de petits angles, sin θ devient θ et cos 2Δ devient 1, et les termes en vitesse au carré sont du second ordre par rapport à une faible amplitude, donc ils disparaissent. Les deux dénominateurs se réduisent à 2m₁ + m₂ − m₂ = 2, et ce qui subsiste est linéaire et toujours couplé : aucune masse ne se déplace sans pousser l'autre.
  
  $\ddot{θ}_{1} = - 2 k θ_{1} + k θ_{2}, \ddot{θ}_{2} = 2 k θ_{1} - 2 k θ_{2}, k = \frac{g}{ℓ}$
2. Établissons un repère avant de résoudre quoi que ce soit. Un pendule simple de 1 m oscille à ω₀ = √(g/l), ce qui donne les 2,01 s que le panneau affiche comme indication de période et inscrit sur chaque repère de cycle. Gardez cette valeur en tête, car rien de ce qui suit ne lui sera égal.
  
  $k = \frac{9.81}{1} = 9.81 s^{- 2}, ω_{0} = k = 3.132 rad/s, T_{0} = \frac{2 π}{ω _{0}} = 2.01 s$
3. Un mode propre est un mouvement dans lequel les deux angles oscillent à une même fréquence commune et conservent un rapport fixe. En substituant θᵢ = aᵢ cos ωt, chacune des deux équations vous fournit ce rapport a₂/a₁, obtenu par deux voies différentes.
  
  $θ_{i} = a_{i} cos ω t ⟹ (2 k - ω^{2}) a_{1} = k a_{2}, (2 k - ω^{2}) a_{2} = 2 k a_{1}$
4. Les deux expressions d'un même rapport doivent concorder, et leur égalisation élimine les deux amplitudes. Ce qui reste est une équation du second degré en ω², et une telle équation possède 2 racines. C'est de là que provient la seconde période.
  
  $(2 k - ω^{2})^{2} = 2 k^{2} ⟹ ω^{2} = (2 \mp 2) k = 5.747, 33.49 s^{- 2}$
5. Ainsi, ce pendule a 2 périodes, 2,62 s et 1,09 s, et les 2,01 s figurant sur les repères de cycle ne correspondent à aucune des deux. Cette valeur se situe entre les deux et n'appartient à aucune d'elles.
  
  $ω_{-} = 2.397, ω_{+} = 5.787 rad/s ⟹ T_{-} = 2.62 s, T_{+} = 1.09 s$
6. Chaque racine restitue sa propre forme de mouvement. La racine lente donne a₂/a₁ = +1,414 : les deux masses oscillent dans le même sens, la plus basse avec une amplitude 1,414 fois plus grande. La racine rapide donne −1,414 : elles oscillent en opposition et l'articulation entre elles fait ciseau.
  
  $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{2 k - ω ^{2}}{k} = \pm 2 = \pm 1.414$
7. Des angles de départ de 20° et 10° ne correspondent à aucune des deux formes, de sorte que les deux modes sont actifs en même temps. En décomposant le mouvement en une amplitude lente A et une amplitude rapide B — la masse supérieure nécessitant A + B = 20°, la masse inférieure nécessitant √2(A − B) = 10° — le mode lent représente 13,54° du départ, tandis que le mode rapide en représente 6,46°.
  
  $A + B = 2 0^{\circ}, 2 (A - B) = 1 0^{\circ} ⟹ A = 13.5 4^{\circ}, B = 6.4 6^{\circ}$
Réponse

2,62 s et 1,09 s, et leur rapport est exactement 1 + √2. Un rapport irrationnel signifie que les 2 modes ne se resynchronisent jamais, de sorte que la figure tracée par la masse inférieure ne se répète jamais tout à fait — et il s'agit pourtant du cas assagi des petits angles, sans aucun chaos. Cela explique également ce que sont les repères de cycle de 2,01 s : une règle de pendule simple appliquée à un mouvement à 2 fréquences, ce qui explique pourquoi les angles enregistrés à chaque repère continuent de dériver au lieu de revenir à 20,0° et 10,0°. Portez l'angle de lâcher à 145° et même les 2 fréquences disparaissent, car sin 145° = 0,5736 alors que l'angle lui-même vaut 2,531 rad — une erreur d'un facteur 4,4, et la linéarisation sur laquelle repose toute cette démonstration n'a plus rien à dire.

$\frac{T _{-}}{T _{+}} = \frac{2 + 2}{2 - 2} = 1 + 2 = 2.4142 \dots$

Références (1)

Insight block 3 — a rigid arm whose tip beats a free fall: W. F. D. Theron, "The ''faster than gravity'' demonstration revisited." American Journal of Physics 56(8), 736–739, 1988.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-28

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Exemples de problèmes

petits angles - Le régime des petits angles est plus régulier et moins sensible.
impulsion chaotique - Un grand écart initial produit une divergence rapide de phase.
deuxième masse lourde - Un second bras plus long avec un léger amortissement met en évidence la dissipation d'énergie.

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Up and Atom·The REAL Three Body Problem in Physics