Pendule Simple / MHS

Déterminez la période d'un pendule de 1 m lâché à 20°, et découvrez à quel point la formule du manuel est erronée — car la formule du manuel n'est pas la réponse. Prenez g = 9,81 m/s².

1. Le couple de rappel varie comme sin θ, ce qui ne donne pas un mouvement harmonique simple. La célèbre formule n'apparaît qu'après avoir remplacé sin θ par θ — une approximation, non une démonstration, et tout ce qui suit en hérite.

   $$m\ell \ddot{\theta }=-mg\sin \theta \stackrel{\sin \theta \approx \theta }{\to }\ddot{\theta }=-\frac{g}{\ell }\theta$$

2. Avec ce remplacement, l'équation devient celle de l'oscillateur harmonique et la période en découle. Remarquez ce qu'elle ne contient pas : la masse et l'amplitude. Ces deux absences sont des conséquences de l'approximation, non du pendule.

   $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}}=2.006\mathrm{s}$$

3. La période exacte est une intégrale elliptique, mais son développement en série indique à quelle vitesse l'approximation se dégrade. La correction est quadratique par rapport à l'angle de lâcher, en radians.

   $$T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+\cdots \right),{\theta }_0=20^{\circ }=0.349\mathrm{rad}$$

4. Évaluez-la. C'est la valeur qu'affiche le simulateur ci-dessus, car il utilise la période corrigée plutôt que celle du manuel.

   $$T=2.006\left(1+\frac{0.349^2}{16}\right)=2.006\times 1.00762=2.021\mathrm{s}$$

5. La vitesse maximale découle uniquement de la conservation de l'énergie — la hauteur de chute ℓ(1−cos θ₀) convertie en énergie cinétique — et ne nécessite aucune approximation.

   $$v_{\max }=\sqrt{2g\ell (1-\cos {\theta }_0)}=\sqrt{2(9.81)(1)(1-\cos 20^{\circ })}=1.088m/s$$