Laboratoire du mouvement circulaire

Explore le mouvement circulaire uniforme et les trajectoires circulaires verticales avec simulation de projectile en cas de tension nulle.

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Leçon

La théorie — Laboratoire du mouvement circulaire

Un objet se déplaçant sur un cercle à vitesse constante subit tout de même une accélération, car l’accélération est une variation de la vitesse et la vitesse inclut la direction. Cette accélération est toujours dirigée vers le centre — ce que signifie le mot centripète —, et c’est pourquoi une trajectoire circulaire nécessite une force pour être maintenue.

Ce que signifie chaque symbole

r: le rayon du cercle, 1.50 m ici. Il intervient à la fois dans v = ωr et dans a_c = ω²r, donc agrandir le cercle à ω fixe fait se déplacer l'objet plus vite et accélérer plus fort — les deux ne sont pas indépendants.
ω: la vitesse angulaire en radians par seconde — la vitesse à laquelle l’angle est balayé, 2.0 rad/s. Elle ne dit rien sur la taille à elle seule.
v: la vitesse tangentielle, le long du cercle : v = ωr = 3.00 m/s.
a_c: l’accélération centripète, ω²r = 6.00 m/s². Remarquez ce qui n’y figure pas.
T: la période, un tour complet : 2π/ω = 3.14 s, soit 0.32 tour par seconde.

D’où vient la formule

Sur un court intervalle de temps, le vecteur vitesse ne change pas de norme, seulement de direction — il tourne du même angle Δθ = ω·Δt que l’objet.
Faire tourner un vecteur de norme v d’un petit angle le modifie de v·Δθ, dirigé perpendiculairement à la vitesse, c’est-à-dire vers le centre. L’accélération a donc pour valeur v·Δθ/Δt = v·ω.
En substituant v = ωr, on obtient les deux formes utilisées par la page : a_c = ω²r, et équivalemment a_c = v²/r. Avec les valeurs par défaut, 2.00² × 1.50 = 6.00 m/s².

Suppose: Mouvement circulaire uniforme : vitesse constante, rayon constant et une contrainte rigide maintenant l’objet sur sa trajectoire. Augmentez la vitesse ou laissez varier le rayon, et une seconde accélération, tangentielle celle-ci, apparaît, qu’aucune de ces formules ne décrit.
Ne tient plus quand: Deux points méritent d’être soulignés, le second constituant une véritable idée reçue. Premièrement, a_c = ω²r ne contient aucune masse — modifiez la case de la masse et l’accélération ne bouge pas ; la masse n’intervient que lorsque vous demandez la force, F = m·a_c. Deuxièmement, il n’y a aucune force vers l’extérieur. La poussée vers l’extérieur que vous ressentez sur un tourniquet est votre propre inertie qui vous entraîne en ligne droite pendant que le siège tourne ; la seule force réelle est dirigée vers l’intérieur, et si elle disparaît, vous continuez le long de la tangente — et non vers l’extérieur.

Vitesse constante, et pourtant une accélération de bout en bout 🖖

Rien ne change dans la vitesse scalaire de la balle sur le premier préréglage de cet outil — elle tient 3,00 m/s du début à la fin — et pourtant l'affichage indique aussi une accélération de 6,00 m/s² qui ne s'interrompt jamais. Les deux sont vrais, car l'accélération est la variation du vecteur vitesse, et un vecteur porte une direction. Le module est fixe ; la direction tourne à chaque instant, donc quelque chose doit tirer. C'est pourquoi un mouvement circulaire « uniforme » n'est pas un mouvement sans accélération, et c'est l'erreur la plus fréquente ici. La traction croît en outre de façon féroce : a_c = ω²r, donc porter la rotation de 2,0 à 4,5 rad/s — seulement 2,25 fois — multiplie l'accélération par 5,06, jusqu'à 30,38 m/s². Cela fait environ 3,1g sur le câble d'un lanceur de marteau.

La force centripète est un rôle, pas une force 🖖

Rien qui porte le nom de centripète ne pousse l'objet ; le mot désigne simplement la force réelle qui, dans chaque cas, pointe vers le centre — la tension du fil, la gravité pour un satellite, le frottement pour une voiture en virage. Elle est toujours dirigée vers l'intérieur, le long du rayon. La conclusion concrète : coupez le fil et la bille ne part pas droit vers l'extérieur — elle s'échappe en ligne droite le long de la tangente, car plus aucune force ne courbe sa trajectoire.

Les loopings sont des gouttes, pas des cercles 🖖

Un looping parfaitement circulaire exigerait une grande vitesse d'entrée, et franchir le bas à cette vitesse écraserait les passagers sous des forces g brutales. Comme la vitesse minimale tout en haut n'est que √(gr) — indépendante de la masse — les ingénieurs resserrent le rayon en haut et l'élargissent en bas, donnant la forme de goutte appelée clothoïde (spirale d'Euler), introduite par Werner Stengel en 1976. Moins de vitesse en haut, des forces g plus douces en bas.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Le préréglage boucle verticale fait tourner une corde de 1.00 m à v₀ = 7.3 m/s et annonce une réussite. Le préréglage corde détendue utilise 1.50 m à 6.0 m/s et échoue. Saisissez 7.3 comme vitesse en bas du préréglage détendu : la vitesse qui suffisait pour la corde courte sauve-t-elle la longue ?

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Non — elle se détend quand même, tension en haut 0.0 N. La condition est v₀ ≥ √(5gr), qui croît comme la racine du rayon : 7.00 m/s à r = 1.00 m, mais 8.57 m/s à r = 1.50 m. Montez la vitesse pas à pas sur la boucle de 1.5 m et le verdict bascule entre 8.5 m/s (tension en haut −0.8 N, détendue) et 8.6 m/s (0.3 N, tendue), exactement là où la formule l’annonce. Le 5 n’est pas un facteur arbitraire : la conservation de l’énergie donne v_top² = v₀² − 4gr, et rester tendu jusqu’au sommet exige que la gravité seule y fournisse la force centripète, v_top² = gr. Additionnez les deux et le 5 apparaît.
Le préréglage force centripète fait tourner 2.0 kg au bout d’un bras de 1.80 m à ω = 2.2 rad/s et annonce a꜀ = 8.7 m/s² — juste en dessous d’un g. Quel ω rend l’accélération centripète exactement égale à g, et quelle force le panneau affiche-t-il alors ?

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ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s. Saisissez-le et le panneau affiche a꜀ = 9.8 m/s² et F = 19.5 N, c’est-à-dire le poids même des 2.0 kg. C’est le croisement où un pendule conique pend à 45° : la traction latérale dont il a besoin a rejoint la traction vers le bas qu’il subissait déjà. Notez qu’il faut apporter g vous-même — le panneau affiche l’accélération et la force, jamais le poids, la comparaison vous appartient.

Problème entièrement résolu

Balle de 1 kg sur une corde de 1 m balancée en cercle vertical 5 étapes
Une bille de 1 kg au bout d'une corde de 1 m, tournant dans un cercle vertical et passant au point bas à 7,3 m/s. Déterminer si la corde reste tendue au sommet, et ce à quoi elle doit résister au point bas. Il s'agit de Boucle verticale avec r = 1,0 m, m = 1,0 kg, g = 9,8 m/s² et v₀ = 7,3 m/s.
1. Au sommet du cercle, le centre se trouve directement en dessous, de sorte que la gravité et la corde tirent dans le même sens. Une corde peut tirer mais jamais pousser ; le cas limite est donc celui où elle n'apporte aucune contribution et où la gravité doit fournir à elle seule l'intégralité de l'accélération centripète requise.
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. La vitesse au sommet découle de l'énergie, non des forces. Élever la masse de 2r est payé par l'énergie cinétique, et combiner cela avec la condition de l'étape 1 donne une vitesse minimale au point bas égale à √5 fois la vitesse minimale au sommet.
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. Ainsi, 7,3 m/s dépasse le minimum de 7,00 m/s de 4,3 %. En v², cet excédent vaut 4,29, et l'ascension retranche une valeur fixe de 4gr plutôt qu'une fraction, de sorte que l'intégralité des 4,29 subsiste au sommet — où il se confronte à un besoin de seulement 9,8, et représente donc 44 % à cet endroit.
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. Considérons à présent les deux tensions. Au sommet, la gravité est dirigée vers l'intérieur et fournit une partie de l'effort, de sorte que la corde comble le manque — et ce manque correspond aux 4,29 de l'étape 3, car m/r vaut 1 ici. Au point bas, la gravité est dirigée vers l'extérieur, de sorte que la corde supporte l'effort requis plus la totalité du poids.
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. Soustrayons-les. Les deux termes en v² diffèrent d'exactement 4gr, les deux termes de poids s'additionnent au lieu de s'annuler, et toute trace de la vitesse disparaît.
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
Réponse

L'outil affiche 63,1 N au point bas, 4,3 N au sommet, et une vitesse minimale au sommet de la boucle de 3,13 m/s. L'étape 5 est celle qu'il vaut la peine de retenir : l'écart entre les deux tensions vaut 6mg — soit 58,8 N ici — et ne dépend absolument pas de la vitesse, de sorte que tourner plus vite augmente les deux simultanément sans jamais le réduire. Au strict minimum, la tension au sommet est nulle et la tension au point bas vaut donc exactement 6mg, ce qui correspond pour un passager de montagnes russes dans une boucle circulaire à 6 g de poids apparent. C'est au-delà de ce qu'une personne peut supporter assise droit, et c'est pourquoi aucune boucle moderne n'est circulaire : une clothoïde réduit le rayon au sommet, où un petit rayon implique une faible vitesse requise, et l'élargit au point bas, où v²/r est ce qui presse le passager.

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$