Explorateur d'ondes sinus/cosinus

ondes trigonométriques paramétrées, visualisées en direct

Exemple résolu — Explorateur d'ondes sinus/cosinus

Amplitude \|A\|	1
Décalage vertical D	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur d'ondes sinus/cosinus

Toute onde sinusoïdale que vous rencontrerez est la même courbe à laquelle on applique quatre nombres : y = A·sin(Bx + C) + D. A l’étire verticalement, B la comprime horizontalement, C la fait glisser latéralement et D la décale vers le haut. Rien d’autre dans sa forme ne peut changer.

Ce que signifie chaque symbole

A: l’amplitude — la moitié de la distance du creux à la crête. L’affichage indique |A| car un A négatif inverse l’onde sans modifier sa hauteur.
B: le facteur de fréquence, et notez bien la formulation : ce n’est pas la fréquence. Il compte de combien de radians l’argument avance par unité de x.
C: le terme de phase, en radians. Il se trouve à l’intérieur de la parenthèse, ce qui explique pourquoi il ne s’agit pas du déphasage lui-même.
D: le décalage vertical — la ligne moyenne autour de laquelle l’onde oscille.

D’où vient la formule

La fonction sinus se répète lorsque son argument augmente de 2π. L’onde se répète donc lorsque Bx + C augmente de 2π.
C étant constant, toute cette augmentation doit provenir de Bx : il faut donc B·Δx = 2π.
Par conséquent, la période est T = 2π/|B| — 6.2832 lorsque B = 1, et est divisée par deux lorsque B = 2. La valeur absolue est présente car un B négatif inverse l’onde mais ne peut pas lui donner une longueur négative.

Comment lire ce que vous voyez

Faites glisser B et observez la ligne du déphasage : c’est le moyen le plus rapide de constater que le décalage dépend des deux nombres. L’équation est réaffichée en y intégrant vos quatre nombres, puis chaque propriété est déduite plutôt que simplement énoncée : |A|, la période sous la forme 2π/|B|, le déphasage sous la forme −C/B, et D.

Suppose: L’angle est exprimé en radians, ce qui explique la présence de 2π au lieu de 360. Les quatre paramètres sont également indépendants — cette forme ne peut pas produire une onde dont l’amplitude décroît, quelles que soient leurs valeurs.
Ne tient plus quand: Le piège réside dans le déphasage, et l’affichage le détaille délibérément : l’onde se déplace de −C/B, et non de −C. Avec B = 2 et C = π, le décalage est de −π/2, soit la moitié de ce que la parenthèse semble promettre, car C est mesuré dans la coordonnée comprimée plutôt qu’en x. Lisez sin(Bx + C) comme sin(B(x + C/B)) et le facteur B cesse d’être une surprise.

comment une roue tournante crée le sinus et le cosinus 🖖

Le sinus et le cosinus ne parlent pas vraiment de triangles — ce sont l'ombre horizontale et verticale d'un point se déplaçant à vitesse constante sur un cercle. Lorsque le point balaie l'angle θ = Bx + C, sa position verticale trace sin(θ) tandis que sa position horizontale trace cos(θ), ce qui explique exactement pourquoi les deux courbes sont identiques à un déphasage d'un quart de tour (π/2) près. C'est aussi pourquoi B contrôle la fréquence mais jamais l'amplitude : B change seulement la vitesse à laquelle le point fait le tour de la roue, pas l'amplitude de l'oscillation de son ombre. La même idée de vecteur tournant — une roue tournante déguisée — est la façon dont les ingénieurs décrivent le courant alternatif, le son et les signaux radio sous forme de phaseurs.

« sinus » vient d'une erreur de traduction 🖖

Le mot sinus est un accident de l'histoire. Les mathématiciens indiens l'appelaient jyā (corde d'arc) ; les savants arabes l'ont repris sous la forme jayb, qui signifiait aussi « baie » ou « pli ». Quand les traducteurs latins ont lu le mot, ils ont traduit ce sens sans rapport littéralement par sinus — le latin pour une baie ou le pli d'un vêtement. Ainsi, chaque fois que vous écrivez sin, vous employez une erreur de traduction du XIIe siècle de « corde d'arc ».

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Le préréglage phase π/2 fixe C = 1.5708 et la ligne du déphasage affiche −1.5708 — l’onde glisse vers la gauche alors même que C est positif. Change maintenant B en 2 et laisse C tranquille. Prédis le déphasage avant de regarder.

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−0.7854, exactement la moitié ; à B = 4 c’est −0.3927. La ligne calcule −C/B, et non −C, donc augmenter la fréquence réduit le décalage dans la même proportion. C se mesure en radians de l’argument tandis que le décalage se mesure le long de x, et B est le taux de change entre les deux. Le signe moins est l’autre moitié de la surprise : sin(x + C) fait en x = −C ce que le sinus simple fait en 0, donc ajouter à l’argument recule l’image. Ce cas précis porte aussi un nom — avec B = 1 et C = π/2, sin(x + π/2) vaut cos x. Bascule la fonction sur cos et remets C à 0 pour voir la même courbe arriver par l’autre chemin.
Le préréglage décalage combiné trace 1.5·cos(x − 0.7854) + 1, et la ligne d’amplitude affiche 1.5. Quelles valeurs maximale et minimale cette onde atteint-elle réellement, et pourquoi aucune ligne ne les affiche-t-elle ?

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2.5 et −0.5. L’amplitude est une demi-hauteur mesurée depuis la ligne médiane de l’onde, et ici cette médiane n’est pas y = 0 : la ligne du décalage vertical indique D = 1. Les extrêmes valent donc D + |A| et D − |A|. Aucune ligne ne les affiche parce que ces quatre lignes sont les quatre *paramètres* de la forme standard A·sin(Bx + C) + D, et non ses sorties. Lire |A| comme le maximum est l’erreur classique, et c’est précisément la ligne du décalage vertical, juste en dessous, qui t’en empêche.

Problème entièrement résolu

Un cosinus décalé représenté comme un sinus simple plus un cosinus simple 6 étapes
y = 1,5 cos(x − 0,7854) + 1. Déterminez l'amplitude, la période et les décalages — puis montrez que le cosinus décalé est un sinus simple plus un cosinus simple. Il s'agit de l'état décalage combiné.
1. Quatre paramètres, et chacun déplace la courbe d'une manière différente. Seuls deux d'entre eux interagissent.
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. L'amplitude est la demi-hauteur, la courbe s'inscrit donc dans une bande de largeur 2|A| centrée sur D. Rien d'autre n'affecte l'ensemble des valeurs.
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. La période dépend de B seul. Un B plus grand signifie que l'argument varie plus vite, donc la période diminue.
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. Le décalage horizontal correspond à l'endroit où l'argument est nul, c'est-à-dire −C/B. Diviser par B est l'étape qu'on oublie souvent, et c'est l'étape qui compte dès que B n'est pas égal à 1.
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. Développons maintenant. Le cosinus d'une différence se sépare en deux termes, et cos(π/4) ainsi que sin(π/4) valent tous deux 1/√2.
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. Faisons le chemin inverse pour vérifier. Les deux coefficients se recombinent pour redonner l'amplitude initiale, et leur rapport permet de retrouver la phase.
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
Réponse

1,0607 cos x + 1,0607 sin x + 1, et les deux coefficients valent 1,5/√2. Développer le décalage à l'aide de la formule d'addition transforme une onde déphasée en une somme pondérée d'un cosinus et d'un sinus non décalés à la même fréquence — et le processus s'inverse, de sorte que tout a cos x + b sin x se réduit à une seule onde d'amplitude √(a² + b²) et de phase arctan(b/a). Cette équivalence explique pourquoi les séries de Fourier n'ont besoin que de sinus et de cosinus, et jamais d'un troisième paramètre par terme : la phase est déjà prise en compte, dissimulée dans le rapport des deux coefficients. L'autre élément important à retenir de ce panneau est le signe moins — le décalage horizontal vaut −C/B, et non C, et lorsque B ≠ 1, les deux n'ont même pas la même grandeur.

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

Parcours

Cercles et ondes : un seul et même mouvement

Mène à Mouvement circulaire les quatre nombres qui décrivent toute sinusoïde, ainsi que la période T = 2π/|B|.

Références (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-11

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Exemples de problèmes

sinus de base - y=sin(x) — amplitude 1, période 2p≈6.28
fréquence double - y=sin(2x) — fréquence doublée, période divisée par deux, p≈3.14
déphasage de π/2 - y=sin(x+p/2) — déphasage vers la gauche de p/2, équivaut à cos(x)
décalage combiné - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — combinaison d'amplitude, de déphasage et de décalage vertical