Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
Fixez quelques règles et les conséquences ne dépendent plus de vous. Ce qui en découle est rarement ce que l'on aurait deviné, et les outils réunis ici servent à montrer laquelle vous subissez.
De courtes séquences plutôt que des outils isolés. Chaque étape transmet à la suivante quelque chose de précis : l’ordre a donc son importance.
L1 : bases
MATHTrois outils pour bâtir une seule leçon : un résumé statistique constitue une compression avec perte, et la manière dont vous compressez détermine ce que ce résumé restitue fidèlement. Chaque étape transmet à la suivante une limite bien précise des résumés par un nombre unique.
L1 : bases
MATHSix outils pour établir les propriétés classiques du triangle et du cercle dans leur véritable ordre de dépendance. Rien n'est admis d'emblée : chaque règle découle de la précédente. Le parcours s'achève lorsque vous replacez la première dans un repère, où elle devient la formule de la distance.
L1 : bases
MATHTrois outils et un seul argument : certains nombres ne peuvent pas s'écrire jusqu'au bout. La meilleure version courte de l'un d'eux se cherche plutôt qu'elle ne se devine, et tronquer un nombre a un coût que vous pouvez mesurer.
L1 : bases
MATHSix outils qui construisent la résolution d'équations dans l'ordre où les concepts dépendent véritablement les uns des autres, depuis l'effet d'un signe moins jusqu'à une méthode mécanique pour trois inconnues à la fois. Chaque étape fournit à la suivante un élément précis : une opération, une restriction sur cette opération, ou un test pour vérifier si elle était permise.
L2 : lycée
MATHQuatre outils pour bâtir une même idée : l'argent n'a pas la même valeur à différents moments, et un paiement répété peut se ramener à une formule unique. Chaque étape transmet à la suivante un élément bien précis.
L2 : lycée
MATHTrois outils, une habitude : lorsque les quantités diffèrent par des facteurs plutôt que des écarts, arrêtez de compter. Comptez plutôt les exposants. Le premier construit la règle, le deuxième la parcourt, et le troisième y place un nombre sans la moindre donnée.
L2 : lycée
MATHLe paradoxe des anniversaires ressemble à un tour de magie, mais il constitue en réalité l'outil de référence pour l'étude des collisions. C'est à la deuxième étape que les informaticiens le retrouvent, sous un autre nom.
L2 : lycée
MATHQuatre outils, et chacun existe parce que le précédent ne suffit plus. La factorisation fonctionne quand les racines sont simples, la formule prend le relais quand elles ne le sont pas, la division opère au-delà du degré deux, et une fonction rationnelle est ce que deviennent deux polynômes lorsque l'un repose sur l'autre.
L2 : lycée
MATHTrois outils. Tout l'enjeu de cette séquence est de vous montrer qu'il ne s'agit pas de trois sujets distincts. Une sinusoïde n'est autre qu'un mouvement circulaire uniforme vu de profil, et un pendule en oscillation nous montre ce même phénomène lorsque la gravité assure la rotation.
L2 : lycée
MATHCinq outils pour une seule idée : une courbe lisse, suffisamment agrandie, est indiscernable d'une droite. Ce fait à lui seul résume ce que mesure une dérivée, ce que prolonge une série de Taylor et ce qu'accomplit un gradient dans plus d'une direction. Votre parcours débute par la mesure d'angle qui rend l'arithmétique limpide. Il s'achève sur le flanc d'une colline où la pente la plus raide surpasse toutes les directions que vous avez réellement mesurées.
L3 : licence
MATHTrois outils qui transforment un nuage de points en un nombre que vous pouvez défendre. Le cheminement passe par la géométrie plutôt que par les statistiques, car c'est la géométrie qui rend les statistiques fiables.
L3 : licence
MATHUne seule question, posée quatre fois avec de moins en moins d'indices : comment cette matrice agit-elle réellement sur l'espace ? Les colonnes y répondent d'emblée. Les vecteurs propres l'expliquent pour les directions qui subsistent. La SVD prend le relais lorsqu'il n'y en a aucune, et l'ACP oriente cette même mécanique vers un nuage de mesures.
L3 : licence
MATHLes méthodes de Newton, de Simpson et d'Euler reposent toutes sur la même mécanique : sur un intervalle suffisamment restreint, assimilez la courbe à une droite. Chacune présente par conséquent une défaillance qui n'est pas une anomalie. Le savoir utile consiste à déterminer quelle défaillance appartient à quelle méthode. Ici, chaque étape transmet à la suivante une erreur nommée et la vitesse à laquelle elle diminue.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
