Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Mathématiques

Fixez quelques règles et les conséquences ne dépendent plus de vous. Ce qui en découle est rarement ce que l'on aurait deviné, et les outils réunis ici servent à montrer laquelle vous subissez.

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Chapitres

De courtes séquences plutôt que des outils isolés. Chaque étape transmet à la suivante quelque chose de précis : l’ordre a donc son importance.

L1 : bases

Les règles du triangle, et d'où elles viennent

MATHSix outils pour établir les propriétés classiques du triangle et du cercle dans leur véritable ordre de dépendance. Rien n'est admis d'emblée : chaque règle découle de la précédente. Le parcours s'achève lorsque vous replacez la première dans un repère, où elle devient la formule de la distance.

  1. 01Aire et périmètre
  2. 02Triangles semblables
  3. 03Pythagore
  4. 04Résoudre un triangle quelconque
  5. 05Angles dans le cercle
  6. 06Le cercle unité
  7. 07Géométrie analytique

L1 : bases

Trouver x, à partir du signe moins

MATHSix outils qui construisent la résolution d'équations dans l'ordre où les concepts dépendent véritablement les uns des autres, depuis l'effet d'un signe moins jusqu'à une méthode mécanique pour trois inconnues à la fois. Chaque étape fournit à la suivante un élément précis : une opération, une restriction sur cette opération, ou un test pour vérifier si elle était permise.

  1. 01Nombres négatifs
  2. 02Équations du premier degré
  3. 03Inéquations
  4. 04Remaniement de formules
  5. 05Systèmes de deux équations
  6. 06Trois équations ou plus

L2 : lycée

Au-delà du second degré

MATHQuatre outils, et chacun existe parce que le précédent ne suffit plus. La factorisation fonctionne quand les racines sont simples, la formule prend le relais quand elles ne le sont pas, la division opère au-delà du degré deux, et une fonction rationnelle est ce que deviennent deux polynômes lorsque l'un repose sur l'autre.

  1. 01Développement et factorisation
  2. 02Résolution du second degré
  3. 03Calculatrice de nombres complexes
  4. 04Division de polynômes
  5. 05Fonctions rationnelles

L2 : lycée

Identités et équations trigonométriques

MATHUne identité est vérifiée pour tout angle où ses deux membres sont définis : c'est elle qui vous permet de remplacer la fonction de l'énoncé par celle que l'on vous demande. Ce chapitre commence par les inverses des fonctions trigonométriques et les trois identités pythagoriciennes. Vous y découvrirez ensuite les fonctions réciproques de votre calculatrice, les équations qu'elles introduisent et les formules d'addition, pour aboutir à la duplication, aux formes harmoniques et à la démonstration d'identités.

  1. 01Identités de Pythagore
  2. 02Fonctions réciproques
  3. 03Équations trigonométriques
  4. 04Formules d'addition

L2 : lycée

Pourquoi tout semble droit de près

MATHCinq outils pour une seule idée : une courbe lisse, suffisamment agrandie, est indiscernable d'une droite. Ce fait à lui seul résume ce que mesure une dérivée, ce que prolonge une série de Taylor et ce qu'accomplit un gradient dans plus d'une direction. Votre parcours débute par la mesure d'angle qui rend l'arithmétique limpide. Il s'achève sur le flanc d'une colline où la pente la plus raide surpasse toutes les directions que vous avez réellement mesurées.

  1. 01Radians
  2. 02Limites
  3. 03La dérivée
  4. 04Explorateur de sommes de Riemann
  5. 05Séries de Taylor
  6. 06Plus d'une direction

L2 : lycée

La géométrie sur une surface courbe

GEOSur une surface courbe, les règles démontrées sur le papier cessent de s'appliquer, et l'ampleur de leur défaillance mesure la courbure de l'intérieur. Un itinéraire rectiligne voit son cap dévier. Une flèche transportée sans pivoter revient désorientée. Un cercle révèle une circonférence inattendue, et dans le plan hyperbolique, aucun triangle ne peut contenir plus de π.

  1. 01Les grands cercles
  2. 02Le transport parallèle
  3. 03Le Theorema egregium
  4. 04Le plan hyperbolique

L2 : lycée

Méthodes de démonstration

MATHUne démonstration est un raisonnement qui couvre chaque cas possible, y compris ceux que personne ne vérifiera jamais. Ces pages forgent cette certitude de quatre façons : par récurrence, en répartissant des éléments dans des boîtes, au moyen d'une grandeur qu'aucune opération ne modifie, et en formant des paires. La première commence par une formule qui donne un nombre premier quarante fois de suite, puis donne 41 × 41.

  1. 01Raisonnement par récurrence
  2. 02Le principe des tiroirs
  3. 03Invariants
  4. 04Le théorème des nombres pentagonaux

L2 : lycée

Dérivation : comment se combinent les taux

MATHUne dérivée est un taux de variation. Chaque règle de dérivation indique comment ces taux se combinent : dans un produit, lorsqu'une fonction s'emboîte dans une autre, ou au sein d'une équation où nul n'a isolé y. Les deux dernières pages mettent ces règles à l'épreuve des questions que votre cours pose réellement : à quelle vitesse une grandeur évolue à un instant précis, et quel choix est le meilleur.

  1. 01Règle du produit
  2. 02Règle de la chaîne
  3. 03Dérivation implicite
  4. 04Taux liés
  5. 05Optimisation

L3 : licence

Ajustement d'une droite aux données

MATHSept outils qui transforment un nuage de points en un nombre que vous pouvez défendre. Demandez-vous ensuite comment ce nombre est obtenu, quelle confiance lui accorder, et ce qui se passe quand personne ne vous donne la réponse. Vous apprendrez enfin à évaluer une prédiction qui n'a jamais été autre chose qu'une probabilité. Le parcours s'appuie sur la géométrie plutôt que sur les statistiques. C'est la géométrie qui donne aux statistiques toute leur rigueur.

  1. 01Vecteurs
  2. 02Géométrie des moindres carrés
  3. 03Régression linéaire
  4. 04Descente de gradient
  5. 05Surapprentissage
  6. 06k-moyennes
  7. 07Calibration

L3 : licence

Des matrices qui transforment l'espace

MATHUne seule question, posée quatre fois avec de moins en moins d'indices : comment cette matrice agit-elle réellement sur l'espace ? Les colonnes y répondent d'emblée. Les vecteurs propres l'expliquent pour les directions qui subsistent. La SVD prend le relais lorsqu'il n'y en a aucune, et l'ACP oriente cette même mécanique vers un nuage de mesures.

  1. 01Transformations matricielles
  2. 02Vecteurs propres
  3. 03Décomposition en valeurs singulières
  4. 04Composantes principales

L3 : licence

La meilleure réponse, et ce qui arrive quand personne ne la calcule

MATHQuatre jeux et une seule opération : trouvez le coup qui répond à tout ce que fait l'autre joueur. Elle résout le premier jeu à elle seule, exige une case entière pour être repérée dans le deuxième et implique un coût dans le troisième. Dans le quatrième, personne ne la calcule du tout et la population parvient tout de même à la réponse.

  1. 01Dilemme du prisonnier
  2. 02Équilibre de Nash
  3. 03Tragédie des biens communs
  4. 04Évolution de la coopération

L3 : licence

Trois méthodes numériques, et où chacune atteint ses limites

MATHLes méthodes de Newton, de Simpson et d'Euler reposent toutes sur la même mécanique : sur un intervalle suffisamment restreint, assimilez la courbe à une droite. Chacune présente par conséquent une défaillance qui n'est pas une anomalie. Le savoir utile consiste à déterminer quelle défaillance appartient à quelle méthode. Ici, chaque étape transmet à la suivante une erreur nommée et la vitesse à laquelle elle diminue.

  1. 01Méthode de Newton
  2. 02Intégration numérique
  3. 03Méthode d'Euler

L3 : licence

Techniques d'intégration

MATHLa dérivation est un procédé et l'intégration est une recherche, c'est pourquoi les exercices de ce chapitre n'évaluent votre réponse que d'une seule manière : dérivez-la et comparez-la à l'intégrande. Le changement de variable et l'intégration par parties reprennent à l'envers les règles de composition et du produit. La décomposition en éléments simples couvre la seule grande famille où il existe toujours une primitive usuelle, et la dernière page démontre que pour e⁻ˣ², il n'en existe aucune.

  1. 01Primitives
  2. 02Changement de variable
  3. 03Intégration par parties
  4. 04Décomposition en éléments simples
  5. 05Intégrales trigonométriques
  6. 06Choisir une méthode
  7. 07Aucune formule possible

L3 : licence

Applications de l'intégration

MATHUne intégrale mesure une quantité accumulée : aire, distance, volume. Ce chapitre s'ouvre sur le théorème qui relie cette accumulation aux taux de variation, puis s'élargit aux aires entre deux courbes, au mouvement et aux volumes calculés par tranches.

  1. 01Le théorème fondamental
  2. 02Aire entre deux courbes
  3. 03Accumulation et mouvement
  4. 04Volume par tranches
  5. 05La méthode des cylindres
  6. 06Combinaison de deux solides
  7. 07Intégrales doubles
  8. 08Intégrales doubles en polaires

L3 : licence

Les équations de la chaleur, des ondes et de Laplace

PHYTrois équations construites sur un seul opérateur, le laplacien, qui ne diffèrent que par le rôle du temps. La chaleur oublie, les détails les plus fins en premier. Une onde emporte une perturbation et, sur une surface, n'en finit jamais tout à fait d'arriver. L'équation de Laplace ne contient absolument aucun temps. C'est l'état que la chaleur finit par atteindre à force d'oublier : chaque point y est la moyenne de ses voisins.

  1. 01L'équation de la chaleur
  2. 02Saisons souterraines
  3. 03L'équation des ondes
  4. 04L'équation de Laplace

Problèmes entièrement résolus

Ce que vous découvrirez ici

Articles écrits à partir de ces outils

Tous les outils de cette section

Calculus & Analysis

Accumulation et mouvement
Sous une vitesse t² − 4t + 3 pendant 4 secondes, un mobile termine à 4/3 de sa position initiale tout en parcourant 4, soit trois fois plus de distance. Choisissez une vitesse, comparez le déplacement, la distance parcourue et la moyenne, puis observez où cette moyenne est réellement atteinte.
Aire entre deux courbes
Sur [−1, 1], x³ et x délimitent une aire de ½, mais l'intégrale de leur différence vaut 0 : dès que les courbes se croisent, il faut scinder l'intervalle. Choisissez deux courbes et observez l'aire géométrique et l'intégrale algébrique se séparer.
Champ de pentes et solveur d'EDO
Visualisez les champs de pentes dy/dx = f(x,y) et cliquez pour ajouter des courbes solutions avec RK4.
Choisir une méthode
À l’examen, on vous donne une intégrale sans préciser de quel chapitre elle relève. Choisissez votre première approche : lecture directe dans le tableau des primitives, changement de variable, intégration par parties, décomposition en éléments simples ou réécriture trigonométrique. La page cherche les chemins possibles à partir de l’intégrale elle-même, puis vous indique si votre choix permet de revenir au tableau, et en combien d’étapes. Les exercices mêlent toutes les méthodes du chapitre ; certains en demandent deux à la suite.
Combinaisons de solides
Deux cylindres de rayon r dont les axes se coupent à angle droit partagent un solide de volume 16r³/3, sans l'ombre d'un π. De même, une sphère évidée en un anneau de hauteur h conserve un volume de πh³/6, quel qu'ait été le rayon de la sphère. Combinez deux solides par intersection, réunion ou différence, et déterminez leur volume tranche par tranche.
Constructeur de séries de Fourier
Cinq harmoniques dépassent une onde carrée à 1,182, et en ajouter ne corrige jamais cela : le pic converge vers 1,17898. Un saut fait décroître les harmoniques en 1/k et un point anguleux en 1/k², c'est pourquoi seul le saut résonne.
Courbes paramétriques
(cos t, sin t) et (cos 2t, sin 2t) tracent le même cercle et aucune image ne permet de les distinguer. Sur la courbe de Lissajous à t = π la vitesse est de 2 et le rayon de courbure de 0,444.
Courbes polaires
Une rosace r = cos(kθ) a k pétales quand k est impair et 2k quand il est pair, ainsi cos 3θ dessine 3 pétales et cos 4θ en dessine 8. La cardioïde enferme 4,7124, soit exactement un cercle unité et demi.
Dérivation implicite
Le folium x³ + y³ = 6xy compte trois points d'abscisse x = 1, de pentes 1,0409, 0,3373 et −1,3782 : sa pente dépend donc nécessairement de y. Dérivez vous-même les deux membres, observez l'échec de la formule lorsque ∂F/∂y = 0 et découvrez l'origine, où s'affiche 0/0 parce que la courbe se coupe elle-même.
Dérivées partielles et gradient
Marchez vers l'est et le sol s'élève de 3, vers le nord de 4, et le cap le plus raide s'élève de 5. Une route maintenue à la moitié de cette pente doit s'en écarter de 60° au lieu de 45°, et parcourir deux fois la distance.
Équation de Laplace : une plaque en régime permanent
Maintenez un bord d'une plaque carrée à 100 °C et les trois autres à 0, puis demandez la température aux trois quarts de la hauteur : la série indique 54,05, et 20 000 marcheurs aléatoires, selon le premier bord qu'ils atteignent, donnent 54,13 ± 0,35.
Explorateur de Dérivées et Tangentes
Faites glisser un point le long d'une courbe et observez la tangente et la pente se mettre à jour en temps réel — le cœur géométrique du calcul différentiel.
Explorateur de limites
Approchez une limite des deux côtés et classez les discontinuités
Explorateur de Séries de Taylor
Le degré 3 donne sin 1 = 0,83333 contre une vraie valeur de 0,84147. Le nombre qui compte est 1/120 = 0,0083333, une majoration de l'erreur disponible avant même le résultat, et qui surestime l'erreur réelle de 2,4 %.
Explorateur de sommes de Riemann
Approxime des intégrales à l'aide des sommes gauche, droite, du point médian et trapézoïdale.
Fractions rationnelles
Intégrez des fonctions rationnelles par décomposition en éléments simples et vérifiez vos réponses : la méthode du cache, les pôles multiples, les facteurs de degré deux, une constante par intervalle, et x⁵ − x − 1, dont l'intégrale est élémentaire bien que ses racines n'aient aucune formule.
Intégrales doubles
e^(y²) n'a pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions élémentaires, si bien que ∫₀¹∫ₓ¹ e^(y²) dy dx n'a pas de formule dans cet ordre ; découpez dans l'autre sens et l'on trouve (e − 1)/2 ≈ 0,8591. Calculez des volumes sous z = f(x, y) en découpant deux fois, décrivez le domaine dans les deux sens, et découvrez la seule fonction de cette page dont les deux ordres ne s'accordent pas.
Intégrales doubles en coordonnées polaires
En coordonnées polaires, l'élément d'aire est r dr dθ. Oubliez le r, et l'aire du disque unité sort égale à 2π, son périmètre. Gardez-le, et e^(−x²), qui n'a pas de primitive élémentaire, donne ∫e^(−x²) dx = √π sur toute la droite. Intégrez sur des secteurs, une cardioïde, un disque décentré et un carré, une cellule polaire après l'autre.
Intégrales non élémentaires
Pourquoi ∫e^(−x²) dx n'admet aucune formule, démontré et non supposé : appliquez le test de Liouville à un polynôme multiplié par e^(−x²), comptez le peu d'intégrandes possédant une formule, et entraînez-vous sur des intégrales où la bonne réponse peut être qu'il n'en existe aucune.
Intégrales trigonométriques
Sur un tour, les puissances impaires du sinus se compensent ; les puissances paires accumulent de l’aire. Voilà pourquoi ∫sin³x se calcule par un simple changement de variable, tandis que ∫sin²x demande une formule de linéarisation. Avec x = sin θ, découvrez comment ∫√(1 − x²) se partage entre un triangle et un secteur de disque. Exercez-vous ensuite sur des problèmes générés dont les réponses sont vérifiées par dérivation.
Intégration par changement de variable
Le changement de variable transforme 2x cos(x²) en cos u. Sur 0 ≤ x ≤ 2, les deux donnent −0,7568. Si vous conservez les bornes de x après le changement, vous obtenez 0,9093, avec le mauvais signe. Observez le déplacement des tranches de la zone depuis l'axe des x vers l'axe des u. Entraînez-vous ensuite sur des problèmes générés aléatoirement, qui s'autocorrigent par dérivation.
Intégration par parties
L'intégration par parties échange une intégrale contre une autre. Le choix de u détermine la direction de ce calcul. Pour x²eˣ, poser u = x² aboutit au tableau des primitives en deux étapes. Poser u = eˣ fait grimper l'expression jusqu'à x⁵eˣ/60. Comparez ces deux trajectoires côte à côte. Résolvez ∫eˣ sin x sous forme d'équation. Exercez-vous ensuite sur des problèmes qui corrigent vos erreurs.
La méthode des tubes
Faites tourner l'arche de sin x autour de l'axe des ordonnées : les tubes donnent 2π² ≈ 19,7392 en une ligne, quand les rondelles réclament arcsin pour aboutir au même résultat. Comparez ces deux découpages sur quatre solides et comprenez pourquoi l'une des voies est souvent bien plus directe.
La règle de la chaîne
D'après la règle de la chaîne, les taux de fonctions composées se multiplient. Suivez un petit intervalle à travers chaque maillon pour le voir s'étirer, saisissez votre propre dy/dx pour repérer l'erreur commise et découvrez pourquoi oublier la dérivée intérieure peut tromper un test en un point isolé.
Laboratoire d'intégration numérique
Doublez les bandes sur eˣ sur [0, 1] et l'erreur de la somme à gauche est divisée par 2, celle des trapèzes par 4 et celle de Simpson par 16. Six décimales coûtent 462 trapèzes ou six intervalles de Simpson.
Laboratoire de transformée de Laplace
Étudie les transformées de Laplace directe et inverse pour les fonctions courantes utilisées dans les équations différentielles et les systèmes.
Le théorème fondamental de l'analyse
L'aire sous e^(−t²) entre 0 et 1 vaut 0,7468, et la fonction aire y progresse de 0,3679 par unité, soit la hauteur de la courbe en 1, bien qu'e^(−t²) n'ait pas de formule. Déplacez x pour voir la pente de l'aire épouser la courbe en tout point.
Longueur d'arc et solide de révolution
Même courbe, mêmes 800 tranches : la longueur d'arc ressort fausse de 0,9 % et l'aire de la surface de 0,08 %. L'intégrande de l'arc monte en flèche jusqu'à environ 71 aux extrémités, là où celui de la surface le multiplie par zéro.
Optimisation : la boîte et la boîte de conserve
Découpez des carrés aux coins d'une feuille de 30 cm : la boîte optimale contient 2 000 cm³ pour une découpe de 5 cm ; à 4 cm, elle perd 3,2 % de volume. Résolvez pas à pas la boîte sans couvercle et la boîte de conserve la plus économe, observez la tangente s'aplanir et comprenez pourquoi une contrainte de hauteur repousse le meilleur compromis sur le bord.
Primitives
La règle des puissances pour les intégrales est réputée échouer en n = −1. À n = −0,99, la primitive classique de xⁿ vaut 101,40 en x = 4, et 100,00 de ce total correspond à la constante 1/(n + 1). Ce qu'il reste est 1,3959, une valeur qui s'approche de ln 4 = 1,3863. Saisissez ensuite vos propres primitives et la page vérifiera chacune d'elles en la dérivant.
Rayon de convergence
La fonction 1/(1 + x²) est infiniment dérivable sur toute la droite réelle. Pourtant, sa série de Taylor en 0 diverge au-delà de 1 : au degré 80 pour x = 1,1, elle donne 1 121,975, alors que la courbe vaut 0,4524887. Faites glisser le centre sur le plan complexe et observez comment les pôles en ±i fixent le rayon.
Réarrangement de Riemann
Réordonnez 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … et sa somme vaut π : après 100 000 termes, 99 259 positifs contre 741 négatifs donnent 3,1415535. Regardez les mêmes termes se diriger vers n'importe quelle cible et comprenez pourquoi la série des carrés ne peut être modifiée.
Règles du produit et du quotient
Pourquoi la dérivée de uv vaut u′v + uv′ et non u′v′. Quand les côtés d'un rectangle s'allongent, son aire gagne deux bandes et un coin. À la limite, le coin s'efface. Resserrez le pas pour voir les bandes révéler la formule, retrouvez la règle du quotient sur cette même figure et testez vos propres calculs.
Taux liés
Les taux liés résolus pas à pas : une échelle glissant le long d'un mur, un cône qui se remplit, une ombre qui s'allonge. Dérivez la relation géométrique, évaluez à l'instant voulu, confrontez votre résultat à la vitesse mesurée directement sur le mouvement, et déterminez la hauteur où une échelle homogène, tirée à vitesse constante sans frottement, quitte l'appui du mur.
Visualiseur de la méthode d'Euler
Réduire le pas de moitié devrait diviser l'erreur d'Euler par deux. À x = 8 avec h = 0,2 le rapport ressort à 1,731285, et le ramener à 1,9933 exige h = 0,005, ce qui fait 1600 pas sur ces mêmes huit unités.
Volume par tranches
Faites tourner le domaine entre y = x et y = x² autour de l'axe des abscisses : le volume obtenu vaut 2π/15 = 0,4189. Si vous soustrayez les rayons au lieu des aires, vous obtenez 0,1047, soit exactement le quart. Faites glisser une tranche à travers six solides et observez le volume s'accumuler sous la courbe A(x).

Linear Algebra & Geometry

Aire et périmètre
Un parterre en trapèze contient 32,00 m² derrière 24,94 m de bordure ; la même bordure sous forme de cercle contient 49,51 m². Construisez-le une fois et demie plus grand et la compacité reste à 0,646, car la mise à l'échelle s'y annule.
Blocage de cardan et quaternions
Faites pivoter un cardan à trois anneaux selon le lacet, le tangage et le roulis. Observez deux des anneaux se replier l'un sur l'autre, puis examinez le quaternion qui reste impassible. Comprenez pourquoi un tangage de 90° coûte un degré de liberté et pourquoi une rotation de 360° laisse le quaternion à −1.
Calculatrice de vecteurs
Calcule le produit scalaire, le produit vectoriel et l'angle entre des vecteurs 2D/3D
Centres du triangle et droite d'Euler
Déplacez les sommets d'un triangle pour voir trois de ses quatre centres rester sur une même droite. Le centre de gravité la divise immanquablement dans le rapport 2 : 1. Le centre du cercle inscrit ne les rejoint que si deux côtés sont égaux.
Chasse aux angles
Traquez un angle à travers des triangles superposés, puis observez la même énigme résolue par élimination. Chaque règle est une équation linéaire, et l'outil vous montre les deux chemins.
Constructions à la règle et au compas
Avec un compas et une règle non graduée, vous pouvez construire un polygone régulier à 17 côtés, comme Gauss l'a démontré à 18 ans, mais jamais un à 7 côtés, et personne ne trisectera jamais un angle de 60°. Observez les constructions étape par étape, et découvrez l'algèbre qui interdit les autres.
Explorateur de courbes de Bézier
Faites glisser les points de contrôle pour explorer les courbes de Bézier et l'algorithme de De Casteljau
Explorateur de géométrie analytique
Déplacez deux points sur une grille et lisez la distance, le milieu, la pente et l'équation de la droite — avec le triangle rectangle qui se cache derrière la formule de distance.
Explorateur de géométrie des moindres carrés
Déplacez des points, comparez les ajustements linéaire et quadratique, et examinez les barres de résidus et leur impact sur la SCE.
Explorateur de sections coniques
B² − 4AC survit à toute rotation des axes, car c'est −4 fois le déterminant de la partie quadratique. Sur 4x² + xy + 2y² = 16 il vaut −31, une ellipse inclinée de 13,3° avec une excentricité de 0,737.
Explorateur de vecteurs propres 2D
Visualisez les directions propres et la mise à l'échelle sous une transformation linéaire 2×2.
Explorateur des paramètres des coniques
Seule la parabole comporte une ligne pour la directrice, car elle seule est définie par une telle droite, son sommet se trouvant exactement à 3 des deux. Une ellipse avec a = 4 et b = 3 place ses foyers à c = 2,645751.
Géométrie de la Pyramide
Les coïncidences de π et de φ de la Grande Pyramide sont une seule et même coïncidence, un seqed de bâtisseur de 11/14. Huit fois cette valeur donne 6,28571 contre 2π = 6,28319, et le rapport d'apothème 1,6186 contre φ = 1,618034.
Labo de Pythagore
a² + b² = c², démontré par les triangles semblables puis cassé volontairement. Un curseur de courbure plie le plan en sphère ou en surface hyperbolique et l’hypoténuse se déplace : le théorème ne parle pas de triangles, il parle de platitude.
Labo des pavages réguliers
Des p-gones réguliers, q à chaque coin. Une seule inégalité décide de tout : (p−2)(q−2) face à 4 donne une sphère, un plan plat ou un disque hyperbolique — cinq pavages, trois pavages, ou une infinité.
Labo des triangles semblables
Mettez un triangle à l’échelle et regardez ce qui change. Les longueurs suivent le rapport, l’aire suit son carré, et les angles ne bougent pas du tout — le grand triangle étant dessiné découpé en les copies qu’il contient vraiment.
Laboratoire des solides : sphère, cône et cylindre
Une sphère représente les deux tiers de son cylindre circonscrit en volume et de nouveau en surface, car la paroi courbe seule équivaut à la sphère entière. À volume égal, un cylindre coûte 14,5 % de surface en plus et un cône 26,0 %.
Le plan hyperbolique
Faites glisser les sommets d'un triangle dans le disque de Poincaré et observez la somme de ses angles diminuer à mesure qu'il grandit : aucun triangle du plan hyperbolique ne peut avoir une aire supérieure à π. Par un point extérieur à une droite passe tout un faisceau de droites qui ne la rencontrent jamais.
Le Theorema Egregium de Gauss
Marchez la même distance depuis un point dans toutes les directions et mesurez le cercle tracé. Sur un cylindre, il mesure exactement 2πr. Sur une sphère, il est plus court, et sur une selle, plus long. C'est la courbure de Gauss, mesurée sans quitter la surface.
Le transport parallèle sur une sphère
Déplacez une flèche le long d'un triangle aux trois angles droits sans jamais la faire pivoter : elle revient à son point de départ tournée de 90°. Faites glisser les sommets sur une sphère et observez comment sa rotation correspond à l'aire délimitée, à l'excès angulaire et au pendule de Foucault.
Orthogonalisation de Gram-Schmidt
Construisez une base orthonormée en soustrayant des projections. Intervertissez deux lignes de l'algorithme et, sur des colonnes espacées de 10⁻⁸, la réponse passe d'un angle droit à 60°.
Réflexions et isométries du plan
Réfléchissez une figure dans un premier miroir, puis dans un second qui le coupe à 45° : le résultat est une rotation de 90°. Deux miroirs parallèles distants de 2 donnent une translation de 4. Toute isométrie du plan se décompose en trois réflexions au maximum. Cette page construit des rotations, des translations et des symétries glissées à partir de miroirs.
Secrets du cercle et de π
Découvrez par sept expériences interactives pourquoi π apparaît dans la circonférence, l’aire, les collisions, les probabilités et les séries infinies.
Théorème de Pick : L'aire par comptage de points
Tracez un polygone dont les sommets coïncident avec les points d'une grille. Comptez les points situés à l'intérieur puis ceux sur les bords, et vous obtiendrez son aire exacte : 53 points à l'intérieur et 8 sur le bord donnent 56, sans effectuer la moindre mesure. En trois dimensions, ces deux seuls comptages ne suffisent plus pour déduire le volume.
Théorèmes des angles dans le cercle
Déplacez quatre points sur un cercle pour relier angle au centre, angles dans le même segment, théorème de Thalès et quadrilatères cycliques.
Visualiseur ACP 2D/3D
Projette des données 2D dans l'espace des composantes principales et examine la variance expliquée et les scores.
Visualiseur de transformations matricielles
Voyez comment les matrices 2×2 transforment le plan — vecteurs propres, déterminant et facteur d'échelle des aires

Algebra & Precalculus

Calculateur de composition de fonctions
Calculateur pas à pas de la composition de fonctions f(g(x)) et g(f(x)) avec fonctions personnalisées, équations, avertissements de domaine et graphiques.
Développer et factoriser
Développer les parenthèses revient à calculer l’aire d’un rectangle ; factoriser, à lire la même figure en sens inverse. Un test permet de savoir d’avance si un trinôme se factorise sur les entiers.
Élimination de Gauss
Trois équations à trois inconnues, résolues par la même méthode d'élimination que deux équations à deux inconnues, à un échange de lignes près. L'ordre des opérations transforme une énigme en procédure, et un choix unique en son sein détermine si l'ordinateur parvient au bon résultat.
Entraîneur de division de polynômes
Entraînez-vous à la division euclidienne des polynômes avec quotient, reste et trace des étapes explicites.
Équations du premier degré
Quatre boutons, deux actions en dessous. L'addition est toujours sûre ; la multiplication est sûre pour tout nombre sauf zéro. Multipliez x = 3 par 0 et vous obtenez 0 = 0, ce qui est vrai pour tout x, et x a cessé d'être mentionné.
Explorateur d'ondes sinus/cosinus
L'onde se décale de −C/B, et non de −C, donc à B = 2 elle se déplace deux fois moins que la parenthèse ne le suggère. Toute expression a cos x + b sin x se réduit à une seule onde d'amplitude √(a² + b²), phase comprise.
Explorateur de croissance et décroissance exponentielles
Définissez un taux et lisez le temps de doublement, la demi-vie et la quantité à tout instant, à partir de la seule équation qui décrit la croissance comme la décroissance.
Explorateur de fonctions rationnelles
Égalez (x − 1)/(x + 2) à son asymptote horizontale y = 1 et vous obtenez −1 = 2, la courbe ne l'atteint donc jamais. D'autres courbes traversent la leur sans problème ; une asymptote verticale est la seule à être stricte.
Explorateur de fonctions réciproques
Observez f(x) et f⁻¹(x) se refléter par rapport à y=x, et testez quand une restriction est nécessaire.
Explorateur de Logarithmes
Explorez y = log_b(x) avec un curseur de base en direct et comparez avec ln(x) et log10(x).
Explorateur du Cercle Unité
La tangente tire son nom d'une droite : prolongez le rayon à 60° jusqu'à x = 1 et il arrive à une hauteur de 1,7321, ce qui explique pourquoi 90° donne +∞. À partir du seul sin 45°, un octogone minore π à 2,8284 et un polygone à 16 côtés à 3,0615.
Fonctions trigonométriques réciproques
sin⁻¹(sin 150°) vaut 30°, et non 150°. Découvrez pourquoi arcsin, arccos et arctan renvoient toujours un angle dans un intervalle imposé, ce que cet intervalle fait subir aux valeurs négatives, et comment cos(sin⁻¹ x) se lit sur un triangle rectangle sans la moindre ambiguïté de signe.
Formules d’addition
sin 45° + sin 30° = 1,2071 dépasse la valeur maximale d’un sinus, alors que sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659. Faites tourner les axes d’un angle A : les quatre produits de sin(A ± B) et cos(A ± B) apparaissent comme les côtés de l’angle droit de deux triangles rectangles, avec leurs signes, quel que soit le quadrant.
Inéquations
−4x ≥ 12 donne x ≤ −3, et à x = −3 les deux côtés valent 12, donc le point limite est inclus. La multiplication par x vous est refusée d'emblée, car personne ne connaît encore son signe.
La précision d'une fraction
Les fractions continues et les fractions qu’elles fournissent : pourquoi 355/113 approche π à sept décimales près avec un dénominateur à trois chiffres, et pourquoi φ est le nombre qui résiste le plus.
Laboratoire de modélisation par morceaux
Chargez la remise de gros et dix unités coûtent 9,5 tandis que huit en coûtent 9,6. Entre 7,916667 unités et le palier, vous payez plus pour moins, ce qu'implique tout saut vers le bas dans une grille tarifaire.
Laboratoire des contradictions logiques
Trois locuteurs s'ouvrent sur 8 mondes possibles, et une phrase sur d'autres personnes réduit le champ de moitié. Celle qui compte son propre locuteur en laisse 6 sur 8, effaçant un quart du tableau là où les autres en effacent la moitié.
Problèmes mathématiques : de l'énoncé aux équations
Hugo a 18 ans de plus que Kai, et dans 9 ans la somme de leurs âges sera de 54. Écrivez les équations vous-même et la page les vérifie par rapport à l'énoncé, vous indique ce que vous avez oublié et les résout étape par étape, à travers quatorze types de problèmes avec de nouveaux nombres à chaque fois.
Résolveur d'Équation du Second Degré
Trouvez les racines de ax² + bx + c = 0 avec le calcul du discriminant et la prise en charge des racines complexes.
Résolveur de Triangle
Trois mesures ne sont pas toujours trois faits : a = 7, b = 9 et A = 40° décrivent deux triangles, d'aires 31,3423 et 8,5424, et l'arithmétique n'en privilégie aucun.
Résoudre les équations trigonométriques
L’équation sin(2x − 30°) = √3/2 admet quatre solutions entre 0° et 360°, car l’argument parcourt deux fois le cercle. Retrouvez toutes les solutions sur un intervalle, en degrés ou en radians, sur la courbe et le cercle trigonométrique. La leçon aborde aussi la solution générale et les équations du second degré en sin x ou cos x.
Sécante, cosécante, cotangente et identités de Pythagore
sin θ = 3/5 dans le quadrant II donne cos θ = −4/5, là où la racine carrée seule dit +4/5. Tracez tan, cot, sec et csc comme des longueurs jusqu’aux deux tangentes du cercle unité : les trois identités de Pythagore se révèlent être un seul triangle rectangle, à trois tailles.
Systèmes d'équations
Deux équations à deux inconnues, représentées par deux droites. Un seul nombre détermine si elles se croisent exactement une fois, et ce même nombre vous indique à quel point vous pouvez vous fier à la réponse dans ce cas.
Transformations de courbes : translations, étirements et symétries
(x − 3)² décale la parabole vers la droite, √(2x − 6) commence en x = 3 et non en 6, et (2x)² est la même courbe que 4x². Sept fonctions de référence transformées par y = a·f(bx + c) + d, avec tous les points remarquables calculés.
Transformer une formule
Isolez la lettre de votre choix dans une formule, une étape à la fois. La méthode est identique à la résolution d'une équation, jusqu'à ce que la lettre voulue apparaisse deux fois. L'opération devient alors tout simplement impossible.
Vérificateur d'équations radicales
√(x − 1) = x − 2 donne 3,618, et la valeur rejetée 1,382 est une solution exacte de l'équation jumelle au signe opposé. Le test du radicande que l'on enseigne à tous ne rejette aucun des deux candidats ; seul le signe du membre de droite le fait.

Discrete Math & Sequences

Bases des suites et séries
Doubler la longueur d'une suite arithmétique n'en double pas la somme : 8 termes donnent 80 et 16 donnent 288, soit un facteur de 3,6. Dans une série géométrique, la fraction toujours manquante après n termes est exactement rⁿ.
Démonstration par récurrence
n² + n + 41 est premier pour quarante valeurs consécutives de n, puis vaut 41 × 41. Voyez la démonstration par récurrence comme une file de dominos et trouvez l'étape brisée dans le raisonnement affirmant que tous les chevaux sont de la même couleur.
Équilibre de Nash dans un jeu 2×2
Récompensez le joueur ligne pour son audace, de 5 à 12, et sa stratégie mixte reste à 33,3 % tandis que son gain chute de 1,67 à 1,20. Ce qui a bougé, c'est l'autre conducteur, qui fait une embardée 10,0 % du temps au lieu de 33,3 %.
Explorateur de chaînes de Markov stationnaires
Huit étapes laissent encore la chaîne à 0,08893 de sa distribution stationnaire, qui est exactement de 8/13, 3/13 et 2/13 et reste la même depuis n'importe quel départ. PageRank n'est autre que ce calcul exécuté sur l'ensemble du web.
Explorateur de convergence de séries
Après 50 termes la série harmonique indique 4,499205 et elle diverge toujours. Atteindre une somme de 10 nécessite environ 12 000 termes et atteindre 100 en demande 1,5 × 10⁴³, car la croissance n'est que logarithmique.
Explorateur de l'Échelle de l'Univers
Zoomez des échelles subatomiques aux échelles cosmiques et comparez des tailles à l'aide de puissances de dix.
Invariants
La moitié des configurations d'un taquin 3 × 3 ne peuvent jamais être atteintes, un échiquier amputé de deux coins opposés ne peut être pavé, et les ponts de Königsberg ne peuvent être tous franchis d'une traite. Jouez avec chacun d'eux et observez cette quantité qu'aucun mouvement ne peut modifier.
L'évolution de la coopération
Un pour cent de défecteurs dans un monde de coopérateurs inconditionnels s'empare de 99,2 % de la population à la génération 21, et s'éteint à la 155. La coopération revient ; les coopérateurs, non.
La tragédie des biens communs
Un éleveur seul sur un pâturage partagé prend la décision parfaite. Ajoutez-en un deuxième et la surexploitation commence. L'effort total ne dépasse jamais le double de l'optimum, quel que soit le nombre d'éleveurs ajoutés, mais la part de valeur préservée s'effondre sans aucune limite.
Le dilemme du prisonnier et le tournoi d'Axelrod
Une manche de ce jeu possède une réponse évidente qui pénalise les deux joueurs. Répétez-la face à huit adversaires et la donne change à la quatrième manche.
Le principe des tiroirs
Choisissez neuf nombres de 1 à 16 et l'un en divise toujours un autre. Prenez six personnes : trois d'entre elles sont forcément des amis mutuels ou des inconnus mutuels. Définissez les boîtes et observez le principe des tiroirs forcer la collision.
Mathématiques de la loterie
Le loto allemand et l'EuroMillions ont exactement 139 838 160 grilles possibles chacun, par des voies complètement différentes. Le nombre qui décide d'un billet est le taux de redistribution de 28,6 %, et il n'est imprimé sur aucun billet, nulle part.
Nombre d'or et spirale de Fibonacci
144/89 rate φ de 5,6461 × 10⁻⁵ et le plancher d'Hurwitz à ce dénominateur est de 5,6459 × 10⁻⁵. Chaque convergente de Fibonacci atterrit sur la borne, ce qui est le sens véritable du nombre le plus irrationnel.
Outil de sommation sigma
Calcule des sommes finies en notation sigma et examine la trajectoire des sommes partielles.
Théorème des nombres pentagonaux
Développez (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… et presque tout s'annule : après 200 facteurs, il ne reste que 23 des coefficients jusqu'à x²⁰⁰. Ils valent tous ±1 et se situent aux nombres pentagonaux. Découvrez comment l'appariement de Franklin le démontre, puis utilisez-le pour calculer p(n).

Autres outils

Additionner des fractions, et l'erreur
Additionnez deux fractions correctement, puis additionnez les numérateurs et les dénominateurs séparément et regardez où cela tombe. La seconde réponse est fausse pour une somme et exacte pour autre chose.
Arrondis : les règles, et ce qu'elles coûtent
Six règles d'arrondi côte à côte, le résultat qui change quand on arrondit deux fois, et à quel point une colonne de nombres arrondis s'éloigne de son propre total.
Calculateur du seuil de rentabilité
1800 de coûts fixes à un prix de 6 et un coût variable de 2,4 atteignent le seuil de rentabilité à 500 unités. Baissez le prix de 10 % et il vous en faut 600 ; réduisez le coût unitaire des mêmes 10 % et le seuil de rentabilité ne s'améliore que de 6,25 %.
Calculatrice de nombres complexes
Multiplier par i est un quart de tour et rien d'autre : 3 + 2i devient −2 + 3i, l'argument passant de 33,7° à 123,7° tandis que le module reste à 3,606. Tourné, non étiré.
Estimation de Fermi
Vous devinez six nombres, vous les multipliez, et votre réponse est exacte à un facteur deux près. Ce n'est en rien miraculeux. En multipliant des grandeurs, on additionne leurs logarithmes. Les erreurs indépendantes ainsi ajoutées tendent naturellement à se compenser.
Explorateur des fonctions hyperboliques
cosh 1 = 1,543081 est le facteur de Lorentz à 0,7616 c. Posez β = tanh φ et la relativité devient de la trigonométrie hyperbolique : les rapidités s'additionnent, de sorte que deux boosts de 1 donnent tanh 2 = 0,9640 c.
Fenêtre de réaction du gardien
Une réaction de 0,20 s représente 28 % du vol et coûte 48 % du terrain que le gardien pourrait couvrir. Depuis 16 m à 80 km/h il finit 0,99 m trop court, et la parade n'arrive qu'une fois la frappe retombée à 59,1 km/h.
Fractions décimales périodiques
Tapez une fraction et une base. Observez où les chiffres s'arrêtent, ou pourquoi ils ne s'arrêtent jamais. Qu'un développement décimal se termine dépend autant de la base que de la fraction, et la règle qui le régit est exacte.
Grille du produit en croix
Quatre nombres, une croix, une règle. Pourcentages, hausses, remises et proportions du quotidien se résolvent en regardant un dessin plutôt qu'en retrouvant une formule — y compris le cas inverse que presque tout le monde rate.
Laboratoire de Moyenne Pondérée
Comprenez pourquoi la moyenne des moyennes donne un résultat erroné lorsque les groupes sont de tailles différentes, et comment calculer la vraie moyenne pondérée.
Les règles des puissances, et pourquoi a⁰ vaut 1
Toutes les règles des puissances sur un seul écran, avec les calculs détaillés. Alignez les puissances d'une base en colonne, et la valeur de a⁰ ne sera plus une règle à apprendre par cœur.
Nombres relatifs
Une droite numérique sur laquelle se déplacer. Les trois règles des nombres négatifs s'y lisent naturellement au lieu d'être apprises par cœur. Soustraire un négatif équivaut à une addition, car la soustraction a toujours été l'addition de l'opposé.
Ordre des opérations, et là où l'on ne s'entend pas
Saisissez une expression et regardez-la se réduire opération par opération. Quatre conventions lisent la même ligne, et elles ne renvoient pas toutes le même résultat.
Portrait de phase du pendule
Un pendule de 1 m lâché à 30° oscille en 2,0410 s là où la formule des petits angles promet 2,0061. Une période de 10 s nécessite un lâcher à moins de 0,182° de la verticale ; 20 s demandent 7,2 × 10⁻⁵ degrés.
Pourquoi les angles se mesurent en radians
Le radian est défini de telle sorte que la longueur de l’arc soit égale au produit du rayon par l’angle. C’est précisément ce choix qui fait de la dérivée du sinus le cosinus. Changez d’unité : trois formules distinctes font alors apparaître le même facteur, 0,017453.
Visualiseur de la méthode de Newton
Itère des tangentes pour trouver des racines et observe le comportement de convergence.
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