Combinaisons de solides

Coupez deux solides par un même plan horizontal : la tranche de leur intersection coïncide avec l'intersection de leurs tranches. Le principe vaut tout autant pour une réunion ou une différence. Le volume de toute combinaison se résume donc à une intégrale de sections planes. Vous trouverez ici le calcul mené pour quatre couples remarquables, chacun porteur d'un résultat célèbre.

Réunion	$V (A \cup B) = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$
Solide commun de deux cylindres sécants	$V = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Anneau de hauteur h	$V = \frac{π h ^{3}}{6}$

Exemple résolu — Combinaisons de solides

Section de A en z	3,4641
Section de B en z	3,4641
Section de A ∩ B en z	3
Section combinée en z	3
Volume de A	6,2832
Volume de B	6,2832
Volume de A ∩ B	5,3333
Volume de la combinaison	5,3333

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Combinaisons de solides

Le volume d'une combinaison de deux solides (leur intersection A ∩ B, réunion A ∪ B ou différence A ∖ B) est l'intégrale de l'aire de ses sections. À chaque hauteur, sa coupe s'obtient par la même combinaison des sections de départ.

Ce que signifie chaque symbole

A(z), B(z): l'aire de la section de chaque solide à la hauteur z
S(z): l'aire de la section de la combinaison à la hauteur z

D’où vient la formule

Coupez les deux solides à la même hauteur. Un point à la hauteur z appartient à A ∩ B si et seulement s'il figure dans les deux sections : la coupe de l'intersection est donc l'intersection des coupes. La tranche de la réunion ne compte la partie commune qu'une seule fois.
$(A \cap B)_{z} S_{A \cup B} (z) = A_{z} \cap B_{z} = A (z) + B (z) - (A \cap B) (z)$
Intégrez. Le volume cherché est l'intégrale de S(z). En intégrant terme à terme la section de la réunion, on retrouve exactement la même règle sur les volumes.
$V (A \cup B) = \int (A + B - (A \cap B)) d z = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$

Suppose: L'aire de chaque tranche se calcule par une formule à toute hauteur. Dès que l'expression change, comme pour l'intersection de la sphère forée en z = ±h/2, on scinde l'intégrale.

Problèmes entièrement résolus

Deux cylindres perpendiculaires 2 étapes
Deux cylindres de rayon r se croisent à angle droit et leurs axes se rencontrent. Calculez le volume du solide délimité par leur intersection.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. À la hauteur z, chaque cylindre découpe une bande de demi-largeur √(r² − z²). Les deux bandes se croisent selon un carré :
  
  $s S (z) = 2 r^{2} - z^{2} = s^{2} = 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Intégrez de z = −r à z = r :
  
  $V = \int_{- r}^{r} 4 (r^{2} - z^{2}) d z = 4 (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3}) = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Réponse

16r³/3, soit 5,3333 pour r = 1.

$V = \frac{16 r ^{3}}{3}, r = 1 : V \approx 5.3333$
Une sphère perforée 3 étapes
On perce un trou passant par le centre d'une sphère de rayon 5, de façon à laisser un anneau haut de 6. Calculez le volume de cet anneau.

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1. La demi-hauteur de l'anneau vaut 3, le rayon du trou est donc
  
  $a = 5^{2} - 3^{2} = 4$
2. Pour −3 ≤ z ≤ 3, la tranche est une couronne comprise entre les rayons 4 et √(25 − z²) :
  
  $S (z) = π (25 - z^{2}) - π \cdot 4^{2} = π (9 - z^{2})$
3. Intégrez :
  
  $V = \int_{- 3}^{3} π (9 - z^{2}) d z = π (54 - 18) = 36 π$
Réponse

36π ≈ 113,0973.

$V = 36 π \approx 113.0973$
Pourquoi le rayon de la sphère s'élimine 3 étapes
Montrez qu'un anneau de hauteur h percé dans n'importe quelle sphère de diamètre au moins égal à h possède un volume de πh³/6, et comparez-le à une boule pleine de diamètre 6.

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1. Avec a² = R² − (h/2)², la couronne à la hauteur z a pour aire
  
  $S (z) = π (R^{2} - z^{2}) - π a^{2} = π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2})$
2. Intégrez de z = −h/2 à z = h/2 :
  
  $V = \int_{- h /2}^{h /2} π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2}) d z = π (\frac{h ^{3}}{4} - \frac{h ^{3}}{12}) = \frac{π h ^{3}}{6}$
3. Pour h = 6, cela donne 36π, le volume d'une boule de rayon 3 ; c'est l'anneau obtenu quand R = 3 et que le trou est refermé :
  
  $\frac{π \cdot 6 ^{3}}{6} = 36 π = \frac{4 π \cdot 3 ^{3}}{3}$
Réponse

V = πh³/6, quelle que soit la valeur de R, tant que R ≥ h/2.

$V = \frac{π h ^{3}}{6}$
L'espace entre la boule et son cylindre 3 étapes
Une boule de rayon r est inscrite dans un cylindre de rayon r et de hauteur 2r. Calculez le volume de l'espace compris entre les deux, puis déduisez-en celui de la boule.

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1. À la hauteur z, cet espace forme une couronne entre le rayon du cylindre et celui de la boule :
  
  $S (z) = π r^{2} - π (r^{2} - z^{2}) = π z^{2}$
2. Intégrez de z = −r à z = r :
  
  $\int_{- r}^{r} π z^{2} d z = \frac{2 π r ^{3}}{3}$
3. Retranchez ce volume de celui du cylindre :
  
  $V (B) = 2 π r^{3} - \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
Réponse

2πr³/3 pour l'espace intermédiaire, soit 2,0944 pour r = 1 ; la boule vaut donc 4πr³/3, les deux tiers de son cylindre.

$V (A ∖ B) V (B) = \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
La réunion des deux cylindres 3 étapes
Les cylindres du problème 1 sont chacun coupés à la longueur 2r. Calculez le volume intérieur à au moins l'un d'entre eux.

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1. Chaque section de cylindre est une bande de longueur 2r et de largeur 2√(r² − z²). La coupe de la réunion ne compte le carré commun qu'une seule fois :
  
  $S (z) = 2 \cdot 4 r r^{2} - z^{2} - 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Le premier terme s'intègre en l'aire d'un demi-disque multipliée par 8r :
  
  $\int_{- r}^{r} 8 r r^{2} - z^{2} d z = 8 r \cdot \frac{π r ^{2}}{2} = 4 π r^{3}$
3. D'où
  
  $V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3}$
Réponse

4πr³ − 16r³/3, soit 7,233 pour r = 1.

$V r = 1 : V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3} \approx 7.233$
La matière forée 3 étapes
Calculez le volume de matière retirée de la sphère dans le problème 2.

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1. Ce qui est retiré correspond à la partie de la sphère interceptée par le foret. Pour |z| ≤ 3, sa section est le trou tout entier, un disque de rayon 4 ; pour 3 ≤ |z| ≤ 5, c'est le disque propre de la sphère qui devient le plus petit :
  
  $S (z) = {16 π, π (25 - z^{2}), ∣ z ∣ \leq 3 3 \leq ∣ z ∣ \leq 5$
2. Scindez l'intégrale là où la formule de la tranche change :
  
  $V = \int_{- 3}^{3} 16 π d z + 2 \int_{3}^{5} π (25 - z^{2}) d z = 96 π + \frac{104 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
3. Vérification : la sphère privée de l'anneau du problème 2.
  
  $\frac{4 π \cdot 5 ^{3}}{3} - 36 π = \frac{500 π - 108 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
Réponse

392π/3 ≈ 410,5014.

$V = \frac{392 π}{3} \approx 410.5014$
L'anneau par les tubes cylindriques 2 étapes
Calculez le volume de l'anneau du problème 2 par la méthode des tubes cylindriques autour de l'axe de perçage.
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1. Un tube situé à la distance x de l'axe, 4 ≤ x ≤ 5, s'étend de la base au sommet de la sphère, soit une hauteur de 2√(25 − x²) :
  
  $V = 2 π \int_{4}^{5} x \cdot 2 25 - x^{2} d x$
2. Posez le changement de variable u = 25 − x² :
  
  $V = 2 π \int_{0}^{9} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 36 π$
Réponse

36π, tout comme par les tranches.

$V = 36 π$

L'intersection de deux cylindres : un volume sans l'ombre d'un π 🖖

Cliquez sur Deux cylindres croisés. Chaque coupe horizontale du solide commun est un carré de côté 2√(r² − z²). Son aire 4(r² − z²) n'étant qu'un polynôme, l'intégrale s'évalue en 16r³/3 : pas l'ombre d'un π. La boule de rayon r loge pile à l'intérieur, et sa section à la même altitude est le cercle inscrit dans ce carré. Ce cercle occupant à tout niveau les π/4 de son carré, la boule remplit exactement les π/4 du solide : 16r³/3 · π/4 = 4πr³/3. Archimède, écrivant à Ératosthène, s'étonnait déjà de cette singularité. Dans ses lettres précédentes, il avait comparé conoïdes et sphéroïdes à des cônes ou des cylindres, sans jamais trouver d'équivalent à faces planes. Celui-ci fait exception, valant deux tiers du cube qui l'enveloppe. Dans son édition de 1912, Heath déplorait la perte de sa démonstration.

L'anneau de serviette ne dépend que de sa hauteur 🖖

Cliquez sur Sphère forée. Une sphère de rayon 5 percée d'un trou de rayon 4 laisse un anneau de hauteur 6, dont le volume vaut 36π ≈ 113,0973. Avant de faire glisser R, demandez-vous si une sphère plus grande laisserait un anneau plus volumineux. Agrandissez la sphère : pour que l'anneau conserve sa hauteur de 6, le trou doit s'élargir, et le volume ne bouge pas. À la hauteur z, la coupe est une couronne allant du rayon a jusqu'à √(R² − z²), d'aire π(R² − z² − a²), et le trou a été choisi de sorte que R² − a² = (h/2)². Ce qui reste, π((h/2)² − z²), ne dépend plus de R. C'est la coupe d'une boule pleine de diamètre h. C'est d'ailleurs ce que montre Même anneau, R = 3 : le trou se referme et l'anneau devient la boule entière. Un anneau de 6 cm de hauteur taillé dans une boule de la taille de la Terre contient exactement autant de matière qu'une boule de 6 cm de diamètre.

Retirez le solide courbe de sa boîte : le reste a le volume de cônes 🖖

Cliquez sur Sphère ôtée du cylindre. À chaque hauteur, la tranche du cylindre est un disque d'aire πr² et celle de la boule vaut π(r² − z²). Leur différence donne πz², c'est-à-dire l'aire d'une section de deux cônes opposés par le sommet. Des sections d'aires égales à toutes les hauteurs produisent des volumes identiques : le cylindre privé de sa boule a donc le même volume que ces deux cônes, soit 2πr³/3. La boule vaut alors 2πr³ − 2πr³/3 = 4πr³/3, les deux tiers de son cylindre. La configuration Cube sans solide commun procède de la même idée : sa coupe est un cadre carré d'aire 4r² − 4(r² − z²) = 4z², soit la section de deux pyramides carrées. Elle en hérite le volume, 8r³/3, ce qui laisse 16r³/3 pour le solide commun sans avoir à intégrer plus complexe que z². Archimède avait souhaité que figurent sur sa sépulture une sphère et son cylindre circonscrit. En 75 av. J.-C., Cicéron en retrouva la trace en Sicile au milieu des ronces, guidé par ce dessin gravé sur une colonnette. En Chine, Zu Geng (vers 450 à 520) détermina lui aussi le volume de la boule en découpant un cube par des cylindres et en comparant les morceaux tranche par tranche.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (4)

The slicing method the page applies to each combination, V = ∫ A(x) dx, and the washer as the difference of two discs: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: Archimedes' letter to Eratosthenes announcing that the solid inside two cylinders inscribed in one cube “is two-thirds of the whole cube”, and that, unlike the solids compared before with cones and cylinders, it “is found to be equal to one of the solid figures which are bounded by planes” (pp. 12–13); “One of the two geometrical proofs is lost” (Introductory Note, p. 7), and Proposition 15, the mechanical investigation of the same solid, “is lost” (p. 48): T. L. Heath (ed.), The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg: A Supplement to The Works of Archimedes, 1897, Cambridge University Press (1912).
Insight blocks 1 and 3: the sphere two thirds of its circumscribed cylinder (On the Sphere and Cylinder, Book 1); the tomb carrying a sphere and a cylinder, found by Cicero in Sicily in 75 BC under brambles and thickets; Heiberg's discovery in 1906 of the tenth-century manuscript containing the Method: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Archimedes of Syracuse”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 1999).
Insight block 3: Zu Geng (about 450 to about 520) cut a circumscribed cube into eight small cubes and these by cylindrical cuts, and found the sphere's volume by comparing the pieces through the principle that solids of the same height with sections in a constant ratio have volumes in that ratio: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.