Laboratoire des solides : sphère, cône et cylindre

Placez une sphère de rayon 3 à l'intérieur du plus petit cylindre qui la contienne. Montrez que les volumes sont dans le rapport 2:3, que les surfaces totales sont dans ce même 2:3, puis expliquez pourquoi ce même nombre apparaît deux fois.

1. Le cylindre circonscrit est entièrement déterminé par la sphère : son rayon est r et sa hauteur est 2r, car la sphère doit toucher la paroi latérale et les deux bases plates. Rien ne peut être choisi librement.

   $$V_{\text{sph}}=\frac{4}{3}\pi r^3,V_{\text{cyl}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$$

2. Volumes. Le volume de la sphère est ⁴⁄₃πr³ et celui du cylindre est πr² × 2r = 2πr³. En divisant : (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃, et r s'est simplifié, si bien que le rapport vaut pour toutes les sphères qui ont jamais existé. Pour r = 3, cela donne 113,10 contre 169,65.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{4/3}{2}=\frac{2}{3}$$

3. Surfaces. La surface de la sphère est 4πr². Le cylindre nécessite trois parties : deux bases plates de πr² chacune, et la paroi latérale, qui se déroule en un rectangle de largeur 2πr et de hauteur 2r — soit 4πr². Au total, 2πr² + 4πr² = 6πr².

   $$A_{\text{cyl}}=\underset{\text{caps}}{\underbrace{2\pi r^2}}+\underset{\text{wall}}{\underbrace{2\pi r\cdot 2r}}=6\pi r^2$$

4. Divisons à nouveau : 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃. C'est le même rapport, issu d'un calcul totalement différent. Pour r = 3, cela donne à nouveau 113,10 contre 169,65.

   $$\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2}=\frac{2}{3}$$

5. Voici pourquoi ce n’est pas un hasard. Considérez uniquement la surface latérale du cylindre : son aire vaut 4πr², exactement l’aire totale de la sphère. C’est le résultat d’Archimède : si l’on coupe la sphère et le cylindre par deux plans quelconques perpendiculaires à l’axe du cylindre, les deux bandes ainsi délimitées ont la même aire. En remontant sur la sphère, les cercles rétrécissent exactement au rythme où la surface s’incline. Ajoutez les deux bases, soit 2πr², et 4 devient 6.

   $$A_{\text{sph}}=4\pi r^2=A_{\text{wall}}\text{(Archimedes)}$$

6. Un avertissement concernant le panneau avec ces réglages. Il affiche 113,0973 pour le volume de la sphère et 113,0973 pour sa surface, or ce ne sont pas des grandeurs de même nature — l'une s'exprime en unités cubes et l'autre en unités carrées. Elles ne concordent que parce que ⁴⁄₃πr³ = 4πr² nécessite r = 3. Réglez r sur 4 et elles se séparent aussitôt.

   $$\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2⟺r=3\text{(why the panel prints 113.0973 twice)}$$

À volume égal, le panneau facture au cylindre 14,5 % de surface de plus qu'à la sphère, et au cône 26,0 %. Trouvez d'où viennent ces deux chiffres, et décidez si le préréglage à matériau fixé est un second fait ou le même.

1. Commencez par la sphère. À r = 3, le volume vaut (4/3)π × 27 = 113,10 et la surface 4π × 9 = 113,10, la cible que tout autre solide doit égaler.

   $$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=113.10,A_{\text{sph}}=4\pi r^2=113.10$$

2. Le cylindre fermé le moins coûteux qui contienne ce volume a h = 2r, la proportion qui minimise la surface. Alors V = 2πr³ et A = 6πr², donc r = ∛18 = 2,6207 et l'aire ressort à 129,46.

   $$\text{Best cylinder: }h=2r_c\Rightarrow V=2\pi r_c^3,A=6\pi r_c^2;r_c=\sqrt[3]{18}=2.6207,A=129.46$$

3. Faites la comparaison sans chiffres et r disparaît. L'égalité des volumes impose r_sphère³ = (3/2)r_cyl³, et le rapport des aires se réduit à la racine cubique de 3/2, soit 1,1447. Ce sont les 14,5 %, et cela vaut à toutes les tailles.

   $$r_s^3=\frac{3}{2}{r}_c^3⟹\frac{A_{\text{cyl}}}{A_{\text{sph}}}=\frac{6\pi r_c^2}{4\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2/3}{r}_c^2}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}=1.1447\Rightarrow +14.5\%$$

4. Le cône le moins coûteux a h = √8 r, ce qui rend son apothème exactement égale à 3r et son aire à 4πr². La même simplification laisse la racine cubique de 2, soit 1,2599, donc 26,0 %.

   $$\text{Best cone: }h=\sqrt{8}{r}_n\Rightarrow \ell =3r_n,A=4\pi r_n^2,V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r_n^3;\frac{A_{\text{cone}}}{A_{\text{sph}}}=\sqrt[3]{2}=1.2599\Rightarrow +26.0\%$$

5. Deux racines cubiques de petites fractions indiquent fortement qu'une seule grandeur fait le travail, et c'est Q = 36πV²/A³. Elle est sans unité et ne bouge pas quand on change l'échelle d'un solide. La sphère donne 1, le meilleur cylindre ⅔ et le meilleur cône exactement ½.

   $$Q=\frac{36\pi V^2}{A^3}:Q_{\text{sph}}=1,Q_{\text{cyl}}=\frac{2}{3},Q_{\text{cone}}=\frac{1}{2}$$

6. Q règle les deux préréglages d'un coup. À volume fixé, la surface varie comme Q à la puissance −⅓, ce qui redonne 1,1447 et 1,2599. À surface fixée, le volume varie comme √Q, donc la sphère contient √(3/2) = 1,2247 fois le cylindre et √2 = 1,4142 fois le cône. Ce sont les 22,5 % et 41,4 % des fiches à matériau fixé.

   $$\text{fixed }V:A\propto Q^{-1/3}\Rightarrow 1.1447,1.2599;\text{fixed }A:V\propto Q^{1/2}\Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}}=1.2247,\sqrt{2}=1.4142$$

7. Et le ⅔ du cylindre est le rapport par lequel cette page a commencé. Le cylindre de surface minimale est h = 2r, c'est-à-dire le cylindre circonscrit d'Archimède, où la sphère occupe deux tiers du volume comme de la surface. Portez cela dans Q, et les carrés et les cubes laissent (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{2}{3}⟹Q_{\text{cyl}}=\frac{(3/2{)}^2}{(3/2{)}^3}=\frac{2}{3}$$