Le théorème fondamental de l'analyse

Hachurez l'aire sous une courbe entre une borne fixe a et une extrémité mobile x : cette surface devient une fonction de x. La page la trace sous la courbe, mesure sa vitesse d'accroissement et place ce taux en regard de la hauteur de la courbe en x. La première partie du théorème établit qu'il s'agit toujours du même nombre ; la seconde en découle, montrant qu'une primitive permet de calculer une intégrale définie.

Première partie	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
Seconde partie	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f$
Avec x² ou n'importe quel g(x) en borne supérieure	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$

Exemple résolu — Le théorème fondamental de l'analyse

Aire de a à x, par la méthode de Simpson	0,7468
Pente de la fonction aire en x, mesurée sur A	0,3679
Hauteur de la courbe en x	0,3679

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le théorème fondamental de l'analyse

La fonction d'accumulation de f à partir de a est A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, c'est-à-dire l'aire algébrique sous f entre a et x. Le théorème fondamental de l'analyse s'articule en deux volets : A′(x) = f(x) en tout point où f est continue, d'où l'on déduit que ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) pour n'importe quelle primitive F de f.

Ce que signifie chaque symbole

A(x): l'aire sous f de a à x ; son signe s'inverse sous l'axe, puis s'inverse encore lorsque x se trouve à gauche de a
a: la borne de départ fixe ; la modifier décale A d'une constante et laisse A′ inchangée

D’où vient la formule

Première partie : la pente de l'aire est la hauteur de la courbe. Sur un petit intervalle allant de x à x + h, l'aire supplémentaire forme une bande de largeur h et d'une hauteur proche de f(x) ; l'aire croît donc à raison de f(x) par unité de x.
$\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ⟶ f (x)$
Seconde partie : calcul à partir d'une primitive. A et n'importe quelle primitive F ont la même dérivée ; elles ne diffèrent donc que d'une constante, que la relation A(a) = 0 permet de fixer.
$A (x) = F (x) + C, A (a) = 0 \Rightarrow C = - F (a) \Rightarrow \int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$

Suppose: f est continue sur l'intervalle. En présence d'un saut de f, la fonction aire forme un point anguleux et n'admet aucune dérivée en ce point, bien qu'elle y demeure définie.

Problèmes entièrement résolus

Dériver une intégrale dont la borne supérieure est x 1 étapes
Calculez d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt.
1. Première partie, telle quelle : la dérivée de la fonction aire est l'intégrande évalué en x.
  
  $\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} 1 + t^{3} d t = 1 + x^{3}$
Réponse

√(1 + x³). Nul besoin de calculer une primitive de √(1 + t³), ce qui est une chance : il n'en existe aucune sous forme élémentaire.

$1 + x^{3}$
x² en borne supérieure : la dérivation composée entre en jeu 2 étapes
Calculez d/dx ∫₀^x² cos t dt.
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1. La fonction aire s'écrit A(u) avec u = x² ; dérivez A par rapport à u puis multipliez par du/dx :
  
  $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} cos t d t = cos (x^{2}) \cdot 2 x$
2. Vérifiez en calculant d'abord l'intégrale :
  
  $\int_{0}^{x^{2}} cos t d t = sin (x^{2}) \Rightarrow \frac{d}{d x} sin (x^{2}) = 2 x cos (x^{2})$
Réponse

2x cos(x²). Écrire seulement cos(x²) reviendrait à oublier la dérivée interne, exactement comme dans toute dérivation composée.

$2 x cos (x^{2})$
x présent aux deux bornes 3 étapes
Calculez d/dx ∫_x^2x t² dt.
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1. Scindez l'intégrale en un point fixe quelconque, par exemple 0, afin que chaque partie ne dépende de x que par une seule borne :
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \int_{0}^{2 x} t^{2} d t - \int_{0}^{x} t^{2} d t$
2. Dérivez chaque terme, en appliquant la dérivation composée à la borne supérieure :
  
  $\frac{d}{d x} = (2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 8 x^{2} - x^{2} = 7 x^{2}$
3. Vérifiez en calculant d'abord l'intégrale :
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \frac{8 x ^{3} - x ^{3}}{3} = \frac{7 x ^{3}}{3} \Rightarrow 7 x^{2}$
Réponse

7x². La borne inférieure intervient avec un signe moins, car l'augmenter revient à retirer de l'aire.

$7 x^{2}$
Une intégrale définie calculée par une primitive 1 étapes
Calculez ∫₀^π sin x dx.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. −cos x est une primitive de sin x ; la seconde partie s'applique donc :
  
  $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = - cos π + cos 0 = 1 + 1$
Réponse

2. Ouvrez ce problème dans l'outil : l'aire obtenue tranche par tranche vaut 2 également, et la fonction aire est horizontale en π, son point le plus haut.

$\int_{0}^{π} sin x d x = 2$
Étudier une fonction aire à partir de son intégrande 3 étapes
Soit g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt. Où g est-elle croissante, quels sont ses extrema, où s'infléchit-elle, et que vaut g(2) ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. D'après la première partie, g′(x) = x² − 4, positive en dehors de [−2, 2] et négative à l'intérieur :
  
  $g^{'} (x) = x^{2} - 4 : g^{'} > 0 ⟺ ∣ x ∣ > 2, g^{'} < 0 ⟺ ∣ x ∣ < 2$
2. g″(x) = 2x change de signe en 0, où g présente donc une inflexion :
  
  $g^{''} (x) = 2 x = 0 ⟺ x = 0$
3. Et g(2) par la seconde partie :
  
  $g (2) = [\frac{t ^{3}}{3} - 4 t]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3}$
Réponse

g croît sur (−∞, −2] et [2, ∞), décroît sur [−2, 2] ; un maximum en −2, un minimum en 2, une inflexion en 0 ; g(2) = −16/3 ≈ −5,3333. Chacun de ces résultats découle du signe de t² − 4 et de sa pente, avant même d'avoir écrit l'expression de g.

$max : x = - 2, min : x = 2, g (2) = - \frac{16}{3} \approx - 5.3333$
Le logarithme vu comme une aire 1 étapes
Calculez ∫₁^e dt/t.

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1. ln t est une primitive de 1/t sur t > 0 :
  
  $\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = [ln t]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1 - 0$
Réponse

1. Prise à rebours, c'est la définition dont partent bien des ouvrages : ln x est l'aire sous 1/t de 1 à x, et e est le nombre pour lequel cette aire atteint 1.

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = 1$

La pente de l'aire est la hauteur de la courbe, formule ou non 🖖

Cliquez sur e^(−t²) : sans formule. Pour tracer la courbe inférieure, la page n'utilise jamais de primitive : elle additionne tranche par tranche l'aire sous e^−t². En x = 1, l'aire vaut 0,7468, et la courbe du bas monte à raison de 0,3679 par unité, ce qui correspond à la hauteur de la cloche en 1. Déplacez x n'importe où : ces deux nombres restent toujours égaux. La raison tient en une phrase : si l'on élargit l'intervalle de x à x + h, l'aire s'accroît d'une bande de largeur h et de hauteur proche de f(x) ; elle croît donc à raison de f(x) par unité de x. Rien là-dedans n'exige de formule. Liouville a prouvé qu'e^−t² n'en admet aucune, et le théorème lui offre pourtant une primitive : la fonction aire elle-même.

Toute fonction aire est une primitive, mais la réciproque est fausse 🖖

Cliquez sur cos t depuis a = 2. Déplacer la borne a fait glisser toute la courbe inférieure vers le haut ou vers le bas sans en modifier l'allure ; sa pente en x reste donc égale à cos 1 = 0,5403, quelle que soit la valeur de a. Chaque choix de a donne une primitive de cos t. La réciproque n'est pas vraie. sin t + 5 est aussi une primitive de cos t, mais aucune fonction aire ne peut lui être égale : une fonction aire s'annule toujours à son point de départ, or sin t + 5 ne descend jamais sous 4. L'intégrale ∫ₐˣ sélectionne les primitives qui s'annulent quelque part, et une seule suffit au théorème.

L'aire culmine là où la courbe franchit zéro en descendant 🖖

Cliquez sur sin t jusqu'à π. L'aire vaut 2 et la courbe du bas est horizontale : avant π, la courbe se trouve au-dessus de l'axe et ajoute de l'aire ; après π, elle passe en dessous et en retire. Le sommet se situe donc en π. Cliquez sur t² − 4 jusqu'à 2 : l'aire atteint son minimum à −5,3333, pour la raison exactement inverse. Les examens demandent souvent de déduire ces comportements à partir du seul graphe de f, et le théorème explique pourquoi cela suffit : la fonction aire croît là où f est positive, décroît là où f est négative, culmine là où f passe du positif au négatif, et s'infléchit là où f atteint elle-même un sommet ou un creux. Les points gris sur le panneau inférieur signalent ses extrema.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.