Intégration par changement de variable

La règle de composition, lue à l'envers, fournit une méthode d'intégration : un intégrande de la forme g(u(x))·u′(x) est la dérivée de G(u(x)). Ci-dessous, l'aire sous un tel intégrande est découpée en tranches, et chaque tranche est reportée sur l'axe des u, où elle couvre un intervalle différent tout en conservant exactement la même aire. Suivez ensuite un changement de variable étape par étape, puis essayez par vous-même.

Indéfinie	$\int g (u (x)) u^{'} (x) d x G^{'} = G (u (x)) + C, = g$
Définie : les bornes changent avec u	$\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

Exemple résolu — Intégration par changement de variable

Aire selon x, par la méthode de Simpson	−0,7568
Avec les bornes de x, l'erreur	0,9093
Tranches avançant selon u	−0,7568
Tranches reculant selon u	0,0000

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Intégration par changement de variable

L'intégration par changement de variable correspond à la règle de composition lue à l'envers. Si un intégrande se présente sous la forme g(u(x))·u′(x) et que G est une primitive de g, alors G(u(x)) est une primitive de l'intégrande, car sa dérivée vaut G′(u(x))·u′(x). Pour une intégrale définie, les bornes se déplacent avec la variable : ∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du.

Ce que signifie chaque symbole

u: la fonction intérieure, qui devient la nouvelle variable
du: u′(x) dx, le facteur qui doit déjà figurer dans l'intégrande, à une constante près

D’où vient la formule

Pourquoi les tranches correspondent. Sur une tranche [x_i, x_i+1], l'aire sous g(u(x))·u′(x) vaut G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)), car G(u(x)) est une primitive. Cela correspond également à l'aire sous g de u(x_i) à u(x_i+1), quel que soit l'ordre de ces deux nombres. Additionnez les tranches et les termes intermédiaires s'annulent deux à deux, laissant G(u(b)) − G(u(a)).
$\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} g (u (x)) u^{'} (x) d x = G (u (x_{i + 1})) - G (u (x_{i})) = \int_{u (x_{i})}^{u (x_{i + 1})} g (u) d u, i \sum \Rightarrow G (u (b)) - G (u (a))$

Suppose: L'aire du côté x est calculée numériquement, par la méthode de Simpson affinée là où la courbe présente une forte courbure. L'aire du côté u est calculée à partir de G. Le fait que les deux correspondent constitue donc une vérification et non une identité. Elles coïncident à quatre décimales près pour tous les réglages permis par les commandes.

Problèmes entièrement résolus

Une fonction affine à l'intérieur 3 étapes
Calculez ∫(3x − 2)⁵ dx.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'expression intérieure est affine. Appelons-la u : sa dérivée est la constante 3, ce qui donne dx = du/3 :
  
  $u = 3 x - 2, d u = 3 d x, d x = \frac{d u}{3}$
2. Intégrez la puissance de u :
  
  $\int u^{5} \frac{d u}{3} = \frac{u ^{6}}{18}$
3. Revenez à x :
  
  $\frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
Réponse

(3x − 2)⁶/18 + C. Oublier le 3 donne (3x − 2)⁶/6. Ouvrez le problème dans l'outil et entrez cette formule : le verdict signalera une dérivée égale à trois fois l'intégrande.

$\int (3 x - 2)^{5} d x = \frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
La dérivée est déjà là 3 étapes
Calculez ∫x(x² + 1)⁴ dx.

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1. Le facteur x devant la parenthèse vaut la moitié de sa dérivée, 2x :
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x, x d x = \frac{d u}{2}$
2. L'intégrale se ramène ainsi à une puissance de u :
  
  $\int u^{4} \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10}$
3. Retour à x :
  
  $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Réponse

(x² + 1)⁵/10 + C. C'est ce x qui rend le calcul possible. Sans lui, ∫(x² + 1)⁴ dx ne dispose d'aucun du à exploiter : il faudrait alors développer la parenthèse.

$\int x (x^{2} + 1)^{4} d x = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Le numérateur est la dérivée du dénominateur 3 étapes
Calculez ∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx.

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1. Le numérateur est très exactement la dérivée du dénominateur :
  
  $u = x^{2} + x + 3, d u = (2 x + 1) d x$
2. L'intégrale s'écrit donc ∫du/u :
  
  $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
3. Vous pouvez retirer les barres : le dénominateur n'est jamais négatif :
  
  $x^{2} + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow ln (x^{2} + x + 3) + C$
Réponse

ln(x² + x + 3) + C. Ayez ce réflexe devant chaque fraction : ∫f′/f dx = ln|f| + C. Si le numérateur avait été x + ½, le résultat en aurait été la moitié.

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 3} d x = ln (x^{2} + x + 3) + C$
∫tan x 3 étapes
Calculez ∫tan x dx.

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1. Écrivez tan x sous forme de fraction. Son numérateur est la dérivée de son dénominateur, au signe près :
  
  $tan x = \frac{sin x}{cos x}, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. L'intégrale donne donc −∫du/u :
  
  $\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d u}{u} = - ln ∣ u ∣$
3. Revenez à x. Ces deux formes constituent une seule et même réponse, car −ln a = ln(1/a) :
  
  $- ln ∣ cos x ∣ + C = ln ∣ sec x ∣ + C$
Réponse

−ln|cos x| + C, qui s'écrit aussi ln|sec x| + C. Le signe moins est le détail que l'on oublie : la dérivée de ln|cos x| vaut −tan x, et l'outil signalera une erreur de signe.

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
u = ln x 3 étapes
Calculer ∫(ln x)²/x dx pour x > 0.

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1. Le facteur 1/x est la dérivée de ln x, voilà votre du :
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Il ne reste plus qu'une puissance de u :
  
  $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}$
3. Retour à x :
  
  $\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Réponse

(ln x)³/3 + C. Tout intégrande de la forme g(ln x)/x se traite de la même façon.

$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Quand il faut exprimer x en fonction de u 4 étapes
Calculer ∫x√(x + 1) dx.

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1. Posez u = x + 1, d'où du = dx. Le facteur x devant ne fait pas partie de du : exprimez-le en fonction de u :
  
  $u = x + 1, d u = d x, x = u - 1$
2. Développez pour que chaque terme devienne une puissance de u :
  
  $\int (u - 1) u d u = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. Intégrez chaque puissance :
  
  $= \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}$
4. Revenez à x :
  
  $\frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Réponse

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. Intégrer séparément x et √(x + 1) pour multiplier ensuite les résultats est le piège à éviter : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

$\int x x + 1 d x = \frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Changer les bornes avec la variable 3 étapes
Calculer ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.
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1. Le facteur 2x est le du associé à u = x² + 1 :
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x$
2. Adaptez les bornes à la nouvelle variable :
  
  $x = 0 \Rightarrow u = 1, x = 1 \Rightarrow u = 2$
3. Intégrez entre ces nouvelles bornes :
  
  $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$
Réponse

15/4 = 3,75. Conserver les anciennes bornes, de 0 à 1, donne 1/4. L'autre voie sûre consiste à réintroduire d'abord x pour utiliser les bornes initiales ; mêler u et les anciennes bornes constitue l'erreur à ne pas commettre.

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4} = 3.75$
Jusqu'où faut-il aller pour que l'aire atteigne 5 ? 4 étapes
La courbe x/(1 + x²) s'approche de 0 à mesure que x augmente. À quelle distance de 0 doit se trouver b pour que l'aire de 0 à b atteigne 5, et quelle est la hauteur de la courbe à cet endroit ? Cliquez sur Un logarithme lent : de 0 à 3, l'aire vaut 1,1513.

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1. Avec u = 1 + x², du = 2x dx, donc x dx = du/2 et l'aire équivaut à la moitié d'un logarithme :
  
  $u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x : \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (1 + b^{2})$
2. En b = 3, cela donne ½ ln 10, la valeur affichée sur la page. Posez cette expression égale à 5 :
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 5 \Rightarrow b = e^{10} - 1 = 148.41$
3. À cet endroit, la courbe vaut seulement
  
  $f (148.41) = \frac{148 . 41}{1 + 148 . 4 1 ^{2}} = 0.0067$
4. Doubler l'aire pour atteindre 10 nécessite
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 10 \Rightarrow b = e^{20} - 1 = 22, 026.47$
Réponse

b ≈ 148,4, où la courbe atteint une hauteur de 0,0067. L'aire ne cesse jamais de croître, mais pour de grandes valeurs de b elle augmente comme ln b. Chaque unité d'aire supplémentaire multiplie ainsi b par environ e ≈ 2,72. Le curseur de la page s'arrête à b = 5.

$b \approx 148.4, f (b) \approx 0.0067$

Vous pouvez diviser par une constante manquante, jamais par un x manquant 🖖

Cliquez sur Un −2 manquant. L'intégrande est x·e^−x² et e^−x² a été saisi. D'après la règle de composition, sa dérivée est e^−x²·(−2x), ce qui représente −2 fois l'intégrande en chaque point. Le verdict indique exactement cela. Avec u = −x², du = −2x dx : le x de l'intégrande correspond au du dont vous avez besoin, au −2 près. Une constante traverse le signe intégral, vous pouvez donc diviser par celle-ci. −½e^−x² est correct. Cliquez maintenant sur Un x manquant. L'intégrande est e^−x² sans x à côté. Diviser tout de même par le −2x manquant donne e^−x²/(−2x). La règle du quotient démonte ce résultat : sa dérivée vaut l'intégrande multiplié par 1 + 1/(2x²), une fois et demie plus grande en x = 1, encore 1,0556 fois trop grande en x = 3, et n'est jamais égale à l'intégrande. Une constante peut traverser le signe ∫, mais x ne le peut pas, car x est la variable sur laquelle porte l'intégrale. Diviser un résultat par un x manquant ne constitue jamais un changement de variable. Aucune formule construite à partir de puissances, d'exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques ne donne e^−x² par dérivation. Liouville l'a démontré, et le dernier échelon de ce chapitre montre ce que cela signifie.

Conservez les bornes de x et l'aire peut changer de signe 🖖

Cliquez sur Conserver les bornes ?. L'intégrande 2x cos(x²) vaut cos u fois du pour u = x², donc les tranches de [0, 2] atterrissent sur [0, 4] de l'axe des u, puisque 2² = 4. Les deux panneaux affichent −0,7568, ce qui correspond à sin 4. Le contour en pointillés dans le panneau inférieur représente l'erreur : effectuer le changement de variable dans l'intégrande tout en conservant les anciennes bornes, ce qui revient à intégrer cos u de 0 à 2. Cela donne sin 2 = 0,9093, une valeur positive, alors que l'aire réelle est négative. cos u est en dessous de zéro à partir de u = π/2, soit plus de la moitié de l'intervalle [0, 4], et les anciennes bornes s'arrêtent à 2, avant la majeure partie de celui-ci. Cliquez sur Reporter les tranches. L'aire de chaque tranche s'ajoute aux deux totaux partiels au même instant, car sur une tranche donnée, les deux côtés valent G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)).

u n'a pas besoin d'être injective 🖖

Cliquez sur Allers-retours. Sur [0, π], u = sin x monte à 1 puis redescend à 0. Les tranches de la première moitié atterrissent sur [0, 1] en se déplaçant vers la droite et apportent 1,7183, soit e − 1. Les tranches de la seconde moitié atterrissent sur ce même [0, 1] en se déplaçant vers la gauche. Elles sont hachurées en rouge et apportent −1,7183, car u′ = cos x y est négative, tout comme chaque du. Elles s'annulent, et ∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0, tout comme l'intégrale vide de u(0) = 0 à u(π) = 0. La règle du changement de variable exige que u′ soit continue, et que g soit continue en chaque valeur prise par u. Elle ne demande jamais à u de conserver toujours le même sens de variation. Une tranche qui recule est soustraite, et c'est la seule comptabilité nécessaire. Conservez ici les bornes de x, et vous intégrez eᵘ de 0 à π : 22,1407.

Parcours

Techniques d'intégration

Références (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.