Calculateur de composition de fonctions

Saisissez f(x), g(x) et x0 pour composer des fonctions, comparer l'ordre et voir chaque étape d'évaluation.

Valeurs de départ — Calculateur de composition de fonctions

Fonction externe f(x)	x²
Expression de f de x	x^2
Fonction interne g(x)	sin(x)
Expression de g de x	sin(x)
Point d'évaluation x	0

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Échanger l’ordre change le résultat, pas seulement la notation 🖖

La composition n’est pas commutative, et l’écart n’a rien de subtil. Prenez f(x) = x² et g(x) = 2x + 3 en x = 2, l’un des préréglages de cet outil. En passant d’abord par g : f(g(2)) = f(7) = 49. En passant d’abord par f : g(f(2)) = g(4) = 11. Mêmes fonctions, même entrée, et 38 d’écart entre les réponses. C’est pourquoi le bouton d’échange mérite d’être pressé plutôt que deviné : f∘g et g∘f sont réellement deux fonctions différentes, et la règle habituelle a × b = b × a ne se transpose pas.

Deux machines à la suite 🖖

Composer des fonctions, c’est simplement les appliquer l’une après l’autre : f(g(x)) fait d’abord passer x dans g, puis transmet le résultat obtenu à f. Imaginez une chaîne de montage où chaque poste transforme la pièce avant de la transmettre au suivant. Commencez toujours par les parenthèses les plus intérieures : g(x0) se calcule avant f.

Le fractal caché dans la composition répétée 🖖

Composez une fonction simple avec elle-même encore et encore, et vous quittez l'algèbre pour la théorie du chaos. Itérer z ↦ z² + c — la même machine réinjectant sa propre sortie — est exactement la règle qui dessine l'ensemble de Mandelbrot : un point n'y appartient que si cette auto-composition infinie reste bornée. Le modeste bouton f(g(x)) n'est donc qu'à un pas des fractales infiniment détaillées.

Erreur fréquente

Une coïncidence en une seule valeur de x ne prouve pas que deux fonctions composées sont égales. Pour montrer que f(g(x)) = g(f(x)) en tant que fonctions, elles doivent coïncider sur tout leur domaine commun.

Problèmes entièrement résolus

Compositions de f(x) = x² et g(x) = 2x + 3 5 étapes
f(x) = x², g(x) = 2x + 3, évaluées en x₀ = 2. Composez dans les deux ordres, puis tranchez la question plus difficile que le panneau laisse ouverte : cette divergence est-elle le fruit du hasard en choisissant x₀ = 2, ou ces deux composées diffèrent-elles pour tout x ?
1. Composez de manière symbolique avant de composer de manière numérique. Dans f∘g, la fonction interne s'applique en premier, c'est donc l'expression entière 2x + 3 qui est élevée au carré — et non x, ni le 3 tout seul.
  
  $(f \circ g) (x) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$
2. Inversez l'ordre et l'élévation au carré s'effectue en premier ; c'est donc x² qui est doublé et décalé. Les deux résultats sont des fonctions du second degré, mais une seule comporte un terme linéaire, et ce terme constitue l'intégralité de leur différence.
  
  $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$
3. Substituez x₀ = 2 dans chacune. Ce sont les valeurs intermédiaires qu'il faut observer : 7 entre dans la fonction externe dans un ordre et 4 dans l'autre, la fonction externe est donc sollicitée sur une question différente à chaque fois. Le panneau affiche chacune d'elles — 7 et 4 en entrée, 49 et 11 en sortie.
  
  $(f \circ g) (2) = 7^{2} = 49, (g \circ f) (2) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
4. La soustraction transforme une comparaison en un point en une fonction que vous pouvez interroger partout. Sa valeur en 2 est 38, soit 49 − 11, ainsi rien n'a été perdu dans l'algèbre.
  
  $D (x) = (f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 2 x^{2} + 12 x + 6, D (2) = 38$
5. L'écart est une fonction du second degré dont le coefficient de x² est positif, il peut donc s'annuler au plus deux fois — et le discriminant 36 − 12 étant positif, il s'annule effectivement deux fois. Il ne reste plus qu'à résoudre.
  
  $D (x) = 0 ⟺ x^{2} + 6 x + 3 = 0 ⟺ x = - 3 \pm 6 = - 0.5505, - 5.4495$
Réponse

49 contre 11, soit un écart de 38, avec 7 et 4 comme valeurs intermédiaires que le panneau affiche à leurs côtés. Le résultat le plus fort est celui que le panneau ne peut pas atteindre : sur l'ensemble de la droite réelle, ces deux composées concordent en exactement 2 points, x = −3 ± √6, soit −0,5505 et −5,4495. Seul le premier se situe dans la fenêtre de −3 à 3 tracée par le graphique. Ainsi, x₀ = 2 n'était pas un choix chanceux — presque n'importe quel x₀ aurait produit une divergence, et le verdict 'non égal' du panneau est la réponse qu'il donnerait pour toutes les entrées sauf 2. Elles se croisent également au lieu de simplement se toucher, et c'est la règle de dérivation des fonctions composées qui le démontre : dériver l'écart donne 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, ce qui aux deux racines vaut +9,798 et −9,798 — de même valeur absolue, de signe opposé, car entre les racines c'est g∘f qui se situe au-dessus, de 12 en x = −3 où commence la fenêtre du graphique.

$D^{'} (x) = 2 (2 x + 3) \cdot 2 - 2 \cdot 2 x = 4 x + 12, D^{'} (- 3 \pm 6) = \pm 46 = \pm 9.798$
Domaine des compositions pour f(x) = √x et g(x) = x² − 1 5 étapes
f(x) = √x, g(x) = x² − 1, en x₀ = 0,5. Un ordre renvoie un nombre et l'autre ne renvoie rien du tout. Déterminez le domaine de définition de chaque composée, puis trouvez tous les x pour lesquels les deux concordent.
1. Suivez f∘g à travers l'étape intermédiaire et observez où elle échoue. 0,5 est une valeur d'entrée tout à fait valide pour g, et −0,75 est une valeur de sortie tout à fait valide de g. Ce qui est impossible, c'est le transfert : −0,75 n'est pas une valeur dont on peut prendre la racine carrée. Le panneau affiche −0,75, puis n'a aucun nombre à afficher pour la composée elle-même.
  
  $g (0.5) = 0. 5^{2} - 1 = - 0.75 ⟹ f (g (0.5)) = - 0.75 \in / R$
2. L'autre ordre surmonte ce même transfert, car √0,5 = 0,707107 est une valeur d'entrée valide pour g. Ces deux valeurs figurent sur le panneau, et aucune des deux composées n'a reçu un x₀ différent.
  
  $f (0.5) = 0.5 = 0.707107 ⟹ g (f (0.5)) = 0.70710 7^{2} - 1 = - 0.5$
3. Écrivez correctement les deux domaines de définition, de l'intérieur vers l'extérieur. f∘g exige que la sortie de g soit non négative, ce qui est une condition sur x² ; g∘f exige seulement que x lui-même admette une racine carrée.
  
  $f \circ g : x^{2} - 1 \geq 0 ⟺ ∣ x ∣ \geq 1; g \circ f : x \geq 0$
4. Sur son propre domaine, chaque composée se simplifie, et l'une d'elles se simplifie de manière saisissante : élever une racine carrée au carré l'annule, de sorte que g∘f est une droite. Composer 2 fonctions courbes a produit une expression qui ne comporte aucune courbure.
  
  $(f \circ g) (x) = x^{2} - 1, (g \circ f) (x) = (x)^{2} - 1 = x - 1$
5. Là où toutes deux sont définies, cherchons quand elles sont égales. Le terme en x² s'annule des deux côtés et ce qui reste est linéaire, il y a donc au plus 1 solution.
  
  $x^{2} - 1 = x - 1 ⟺ x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x = 1$
Réponse

f(g(0,5)) n'a aucune valeur tandis que g(f(0,5)) = −0,5, avec −0,75 et 0,707107 sur le panneau comme les deux valeurs intermédiaires qui en ont décidé. L'ordre a modifié le domaine ici avant de modifier la moindre valeur, et c'est une différence qu'aucun choix de x₀ ne peut corriger : f∘g n'existe que là où |x| ≥ 1 et g∘f seulement là où x ≥ 0, elles ne partagent donc que [1, ∞). Sur la fenêtre de −3 à 3 tracée par le graphique, la courbe de f∘g est simplement absente sur toute une unité de chaque côté de 0, tandis que la droite g∘f passe tout droit. Là où elles se chevauchent, elles se rencontrent exactement une fois, en x = 1, toutes deux égales à 0, puis se séparent aussitôt : en x = 3, elles valent √8 = 2,828 et 2. « La composition n'est pas commutative » est généralement enseigné comme une affirmation portant sur les valeurs. Ici, c'est une affirmation concernant les questions que l'on a le droit de poser.

$dom (f \circ g) \cap dom (g \circ f) = [1, \infty), 3^{2} - 1 = 2.828 \neq = 2$

Références (1)

Insight block 3 says a fractal is hiding in repeated composition. This is the field that grew out of asking where: J. Milnor, "Using the Fatou Set to Study the Julia Set", in Dynamics in One Complex Variable, 174–218. Princeton University Press, 3rd edition, 2011.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-03

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Exemples de problèmes

linéaire après quadratique - 2x + 3 après x² - 1, pour x = 2 : dans un ordre, f(3) = 9 ; dans l’autre, g(7) = 48. Les mêmes fonctions donnent un écart de 39.
quadratique après linéaire - x² après 2x + 3, pour x = 2 : dans un ordre, f(7) = 49 ; dans l’autre, g(4) = 11, soit un écart de 38. L’exercice demande ensuite si les deux ordres donnent parfois le même résultat.
carré après sinus - f(g(1)) élève le sinus au carré : sin²(1) = 0,7081. g(f(1)) prend le sinus du carré ; puisque 1² = 1, on obtient simplement sin(1) = 0,8415.
exemple de domaine - C’est le seul exemple prédéfini où l’un des deux ordres ne donne aucune valeur : g(0,5) = -0,75, dont la racine carrée n’est pas définie, tandis que l’ordre inverse donne -0,5. L’ordre peut déterminer si le résultat existe.
égales en un point - x² composée avec l’identité — les deux ordres donnent x², car l’identité est la seule fonction que la composition laisse tout inchangé