Intégrales non élémentaires

Certaines intégrales ne possèdent tout simplement aucune formule. Joseph Liouville l'a démontré. Appliquez son test à un polynôme multiplié par e^−x², comprenez pourquoi la réponse ne tient qu'à un seul nombre, puis entraînez-vous sur des intégrandes où la bonne réponse peut être Aucune n'existe.

Pour un polynôme g	$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} + C ⟺ \int_{- \infty}^{\infty} g (x) e^{- x^{2}} d x = 0$
Le nom de la formule manquante	$\int e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2} erf x + C$

Exemple résolu — Intégrales non élémentaires

Aire de g(x)·e⁻ˣ² sur toute la droite	1,7725
Primitive élémentaire de g(x)·e⁻ˣ²	aucune
L'intégrande de l'exercice, intégré par Simpson	2,2405

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Intégrales non élémentaires

Une fonction est élémentaire si elle peut être construite à partir de x et de constantes par un nombre fini d'additions, de multiplications, de divisions, de racines d'équations polynomiales, d'exponentielles et de logarithmes. Les valeurs complexes sont autorisées, ce qui introduit les fonctions trigonométriques et leurs réciproques. Un intégrande possède une primitive élémentaire si une fonction élémentaire F vérifie F′ = f. Le théorème de Liouville restreint la forme que peut prendre une telle fonction F. Pour f·e^g avec f et g rationnelles, et g non constante, cela se résume à un test : une primitive élémentaire existe exactement lorsque R′ + g′R = f admet une solution rationnelle R. L'expression R·e^g en est alors une.

Ce que signifie chaque symbole

R: la fonction rationnelle que cherche le test de Liouville ; pour g(x)e^−x², elle doit être un polynôme
K: g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …, le multiple de ∫e^−x² dx restant après intégration par parties : l'aire sur toute la droite divisée par √π

D’où vient la formule

La forme que doit prendre toute solution. Le théorème de Liouville restreint la recherche à une structure unique : si ∫g(x)e^−x² dx admet une formule, celle-ci s'écrit R(x)e^−x² pour un certain polynôme R. Dérivez cette expression et imposez qu'elle soit égale à g.
$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} \Rightarrow g = R^{'} - 2 x R$
Identifiez les puissances. Pour un polynôme g du troisième degré, R est du second degré. Vous pouvez toujours identifier les termes en x³ et en x. Le terme en x² et le terme constant fixent tous deux r₁, l'un à −g₂/2 et l'autre à g₀ ; ces deux valeurs ne coïncident que si g₀ + g₂/2 = 0.
$R = r_{2} x^{2} + r_{1} x + r_{0} : R^{'} - 2 x R = - 2 r_{2} x^{3} - 2 r_{1} x^{2} + (2 r_{2} - 2 r_{0}) x + r_{1} \Rightarrow r_{1} = g_{0} = - \frac{g _{2}}{2}$

Ne tient plus quand: Le test sur cette page couvre f·e^g avec f et g rationnelles, ainsi que les intégrandes x^m/ln x via x = e^u. Les racines carrées de polynômes requièrent un autre argument. L'exemple 4.3 de Conrad explique pourquoi ∫dx/√P(x) n'est pas élémentaire pour P de degré 3 ou supérieur sans racines multiples. Hardy attribue à Liouville les intégrales elliptiques standard, dont la longueur de l'arc d'une ellipse.

Problèmes entièrement résolus

La voisine élémentaire 2 étapes
Calculez ∫x e^−x² dx.
1. Le facteur x vaut −½ fois la dérivée de −x² : effectuez le changement de variable :
  
  $u = - x^{2}, d u = - 2 x d x, x d x = - \frac{1}{2} d u$
2. Une seule exponentielle :
  
  $\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Réponse

−½e^−x² + C. Un simple facteur x fait toute la différence avec ∫e^−x² dx, qui ne possède aucune formule élémentaire.

$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Quatre décimales grâce à une série 3 étapes
Calculez ∫₀¹ e^−x² dx à quatre décimales près.
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1. Aucune primitive n'est utilisable, mais e^−x² admet un développement en série entière que vous pouvez intégrer terme à terme :
  
  $e^{- x^{2}} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{2 k}}{k !} \Rightarrow \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( 2 k + 1 )}$
2. Les termes alternent et diminuent : additionnez-les jusqu'à ce que le suivant devienne négligeable :
  
  $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} + \frac{1}{9360} = 0.74684$
3. Dans une série alternée, l'erreur reste inférieure au premier terme omis :
  
  $∣ R ∣ < \frac{1}{7 ! \cdot 15} = \frac{1}{75600} \approx 1.3 \times 1 0^{- 5}$
Réponse

0,7468. En vous arrêtant un terme plus tôt, à 1/1320, l'erreur reste majorée par 1/9360 ≈ 1,1×10⁻⁴, ce qui ne permet pas de garantir la quatrième décimale.

$\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0.7468$
La même méthode sur sin(x²) 2 étapes
Calculez ∫₀¹ sin(x²) dx à quatre décimales près.
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1. sin(x²) ne possède pas non plus de primitive élémentaire. Sa série, intégrée terme à terme :
  
  $sin x^{2} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{4 k + 2}}{( 2 k + 1 )!} \Rightarrow \int_{0}^{1} sin x^{2} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 )}$
2. Trois termes, et le quatrième majore l'erreur :
  
  $\frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} = 0.31028, ∣ R ∣ < \frac{1}{75600}$
Réponse

0,3103. C'est une intégrale de Fresnel : Augustin Fresnel en eut besoin en 1818 pour sa théorie de la diffraction de la lumière.

$\int_{0}^{1} sin x^{2} d x \approx 0.3103$
Par parties, jusqu’à l’intégrale sans formule 3 étapes
Calculez ∫x² e^−x² dx, puis sa valeur de 0 à ∞, sachant que ∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2.
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1. Décomposez x² e^−x² sous la forme x · x e^−x² ; le second facteur a pour primitive celle du premier problème :
  
  $u = x, d v = x e^{- x^{2}} d x, v = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$
2. Une intégration par parties laisse ∫e^−x² dx, qui n’a pas de formule : elle reste donc telle quelle :
  
  $\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{1}{2} \int e^{- x^{2}} d x$
3. Sur [0, ∞), le terme tout intégré vaut 0 aux deux bornes et l’intégrale restante est connue :
  
  $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = [- \frac{1}{2} x e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$
Réponse

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C, et √π/4 ≈ 0,4431 sur [0, ∞). erf est le nom donné à l’intégrale sans formule, normalisée de façon à tendre vers 1.

$\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{π}{4} erf x + C, \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{4} \approx 0.4431$
Deux morceaux sans formule qui n’en font qu’un 1 étapes
Calculez ∫e^x(1/x − 1/x²) dx pour x > 0.
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1. Ni ∫eˣ/x dx ni ∫eˣ/x² dx n’est élémentaire. Mais dérivez eˣ/x avec la règle du quotient :
  
  $\frac{d}{d x} \frac{e ^{x}}{x} = \frac{e ^{x} x - e ^{x}}{x ^{2}} = e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})$
Réponse

eˣ/x + C. Le théorème de Liouville porte sur l’intégrande tout entier : une somme peut avoir une formule alors qu’aucun de ses termes n’en a.

$\int e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{e ^{x}}{x} + C$
Quel c rend (4x⁴ + c)e^(−x²) intégrable ? 4 étapes
Pour quel c l'expression (4x⁴ + c)e^−x² possède-t-elle une primitive élémentaire, et quelle est-elle ? Les champs de la page s'arrêtent à x³. Cliquez sur Équilibrée pour la même question un degré plus bas.

Ouvrez ce problème dans l'outil
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1. En intégrant par parties, chaque x^2m laisse (2m − 1)!!/2^m fois ∫e^−x² dx. Pour x⁴, ce poids vaut 3/4. Additionnez les restes :
  
  $K = c + 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2 ^{2}} = c + 3$
2. Une formule exige que le reste s'annule :
  
  $K = 0 \Rightarrow c = - 3$
3. R est alors de degré 3. En identifiant les puissances de R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 en descendant :
  
  $- 2 r_{3} = 4, - 2 r_{2} = 0, 3 r_{3} - 2 r_{1} = 0, 2 r_{2} - 2 r_{0} = 0 \Rightarrow R = - 2 x^{3} - 3 x; r_{1} = - 3 = g_{0}$
4. Vérifiez par dérivation :
  
  $\frac{d}{d x} (- (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}}) = (- 6 x^{2} - 3 + 4 x^{4} + 6 x^{2}) e^{- x^{2}} = (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}}$
Réponse

c = −3, et ∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C. Tout autre c laisse un reste de (c + 3)∫e^−x² dx, qui n'admet aucune formule, et l'aire sur toute la droite vaut alors (c + 3)√π au lieu de zéro.

$c = - 3 : \int (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}} d x = - (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}} + C$

« Pas de formule » pour e⁻ˣ² est un théorème 🖖

Cliquez sur La courbe en cloche. L'exercice demande ∫3e^−x² dx, et la bonne réponse est Aucune n'existe. Personne n'attend une substitution plus astucieuse. Joseph Liouville a prouvé dans les années 1830 qu'aucune combinaison de puissances, de racines, d'exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques, aussi longue soit-elle, n'admet e^−x² pour dérivée. Le théorème de Liouville étant admis, la dernière étape tient en un paragraphe. Les notes de Brian Conrad la détaillent : si une primitive élémentaire existait, elle prendrait la forme R(x)e^−x² avec R une fonction rationnelle, d'où R′ − 2xR = 1. Un polynôme R donne un degré trop élevé au membre de gauche. Un pôle de R confère à R′ un pôle d'un ordre supplémentaire, que rien n'annule d'aucun côté. La primitive existe pourtant. Le panneau inférieur la trace à partir de la méthode de Simpson sous les traits d'une courbe ascendante et lisse. Les résultats affichent ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2,2405. Il manque une formule, non une fonction. Les mathématiciens ont nommé une version mise à l'échelle de celle-ci : la fonction d'erreur erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt. La primitive de l'exercice est donc (3√π/2)·erf(x) + C. Cliquez sur 1/ln x : le même théorème, via x = e^u, exclut toute formule pour le logarithme intégral ∫dx/ln x. La page trace tout de même cette primitive.

Multiplié par un polynôme, e⁻ˣ² possède une formule si et seulement si son aire sur toute la droite est nulle 🖖

Le test de Liouville s'applique en pratique, il ne se cite pas seulement. Saisissez un polynôme de degré 3 g dans les champs et parcourez les étapes. Toute formule pour ∫g(x)e^−x² dx prendrait obligatoirement la forme R(x)e^−x² avec R un polynôme, de sorte que R′ − 2xR doive égaler g. L'identification des puissances en descendant aboutit à trouver R ou à une contradiction sur le terme constant. Cliquez sur x²·e⁻ˣ². Les étapes imposent R = −½x et demandent ensuite que −½ vaille 0. Il n'y a donc aucune formule, et l'aire sur toute la droite vaut √π/2 = 0,8862. Cliquez sur Équilibrée, (2x² − 1)e^−x² : les étapes trouvent R = −x, l'intégrale est donc −xe^−x² + C, et l'aire vaut 0,0000. Ces deux faits n'en font qu'un. Une formule R(x)e^−x² s'éteint aux deux extrémités. L'aire comprise entre celles-ci, F(∞) − F(−∞), est donc nulle. De plus, une intégration par parties réduit chaque x^2me^−x² à une formule plus un multiple fixe de ∫e^−x² dx, multiple dont la somme vaut l'aire divisée par √π. En chiffres : une formule existe précisément lorsque g₀ + g₂/2 = 0, et les puissances impaires n'interviennent jamais. Les zones ombrées verte et rouge le rendent visible : elles doivent s'annuler.

Comptez les intégrandes d'une famille, ceux possédant une formule disparaissent presque totalement 🖖

Le théorème de Liouville concerne l'intégrande sous vos yeux. Il n'indique pas quelle fraction des intégrales n'admet aucune formule, et ne le peut pas. « La plupart » nécessite une famille et une méthode de comptage. Comptons donc une famille. Prenez tous les polynômes de degré 3 g à coefficients entiers de −3 à 3. Il y en a 2 401. Multipliés par e^−x², 147 possèdent une primitive élémentaire, soit 6,12 %. Ce sont exactement ceux vérifiant g₂ = −2g₀ : trois cases allumées sur les 49 de la grille, avec g₁ et g₃ libres. Élargissez les coefficients de −10 … 10 et cette part tombe à 2,49 % ; à −100 … 100, elle passe à 0,25 %. Chaque élargissement d'un facteur dix la divise par environ dix, comme le montre le tableau. Une formule nécessite une coïncidence parfaite parmi les coefficients. Une telle coïncidence correspond à une ligne tracée à travers un carré en constante expansion. L'exercice vous fournit une formule environ une fois sur deux uniquement car il a été conçu ainsi. Tiré au hasard dans cette famille, presque aucun intégrande n'en possèderait.

Parcours

Techniques d'intégration

Références (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.