Théorème des nombres pentagonaux

Choisissez un nombre n. La page affiche toutes les façons de l'écrire comme somme d'entiers strictement positifs distincts, sous forme de diagrammes de points. L'opération de Franklin les apparie : un diagramme ayant un nombre pair de parts à côté d'un autre au nombre impair. Il n'en reste au plus qu'un seul sans partenaire, et cela se produit uniquement lorsque n est un nombre pentagonal. Plus bas, le produit (1 − x)(1 − x²)… est développé facteur par facteur, et ses coefficients racontent la même histoire.

Exemple résolu — Théorème des nombres pentagonaux

Nombre pair de parts	7
Nombre impair de parts	8
Pair moins impair	−1
p(12), par récurrence d'Euler	77
p(100)	190 569 292

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Théorème des nombres pentagonaux

Théorème des nombres pentagonaux d'Euler : (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… = 1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − x¹⁵ + …, une somme sur chaque entier k, positif, négatif ou nul, de (−1)ᵏ x^(k(3k − 1)/2). Les exposants sont les nombres pentagonaux généralisés, et chaque coefficient vaut 0, +1 ou −1.

Ce que signifie chaque symbole

p(n): le nombre de partitions de n : les façons de l'écrire comme somme d'entiers strictement positifs, sans tenir compte de l'ordre
D₊(n), D₋(n): les partitions de n en parts distinctes composées d'un nombre pair, et d'un nombre impair, de parts
k(3k ∓ 1)/2: les nombres pentagonaux généralisés 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26…

D’où vient la formule

Pourquoi chaque coefficient est la différence entre pair et impair. Développer (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… revient à choisir, dans chaque facteur, soit 1, soit −xᵏ. Sélectionner −xᵏ dans un ensemble de facteurs donne x élevé à la somme de ces k, avec un signe moins pour chaque choix. Le coefficient de xⁿ gagne donc +1 pour chaque façon d'écrire n comme somme d'entiers strictement positifs distincts ayant un nombre pair de parts, et −1 pour chaque façon ayant un nombre impair. Le théorème affirme que cette différence est nulle, sauf aux nombres pentagonaux, où elle vaut (−1)ᵏ.
Pourquoi l'opération de Franklin les apparie. Dans un diagramme avec des longueurs de ligne différentes, posons s la plus petite part et g la pente : le nombre de lignes, en comptant depuis le haut, qui diminuent chacune d'exactement un. Si s ≤ g, prenez la ligne du bas et ajoutez un point à la fin de chacune des s lignes du haut. Si s > g, retirez un point de la fin de chacune des g lignes du haut pour en faire une nouvelle ligne de longueur g en bas. Dans les deux cas, les lignes restent distinctes, le total reste n, et le nombre de lignes change de un. La parité s'inverse, et répéter l'opération l'annule. Elle est bloquée uniquement lorsque la ligne du bas et la pente partagent un point avec s = g ou s = g + 1. Ces diagrammes sont k + (k + 1) + … + (2k − 1) et (k + 1) + … + 2k, dont les totaux respectifs sont k(3k − 1)/2 et k(3k + 1)/2.
Du théorème à p(n). Chaque partition de n, répétitions permises, est comptée par Σ p(n) xⁿ = 1/((1 − x)(1 − x²)(1 − x³)…). Multipliez les deux côtés par le produit, qui correspond à la série pentagonale : (1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − …) × Σ p(n) xⁿ = 1. Pour n ≥ 1, le coefficient de xⁿ à droite est 0, on a donc p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) − … = 0. C'est la récurrence d'Euler, et le nombre de ses termes ne croît que comme √n.

Deux cents facteurs, et seuls 23 des 201 premiers coefficients survivent 🖖

Développez (1 − x)(1 − x²) et vous obtenez 1 − x − x² + x³. Continuez un facteur à la fois à l'aide du curseur sous le diagramme en bâtons. Les coefficients augmentent, atteignant 31 en cours de route, puis s'annulent. Après 200 facteurs, seuls 23 des 201 premiers coefficients sont non nuls. Ils valent tous +1 ou −1 et se situent en 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26… Ce sont les nombres pentagonaux, k(3k − 1)/2 et k(3k + 1)/2. Euler a découvert ce motif en développant le produit.

Un appariement le démontre : pour 12, il ne reste exactement qu'une seule partition 🖖

Cliquez sur n = 9. Les 8 façons d'écrire 9 comme somme d'entiers strictement positifs distincts se divisent en 4 avec un nombre pair de parts et 4 avec un nombre impair. L'opération de Franklin associe chaque partition paire à une partition impaire. Cliquez sur n = 12 : 7 paires contre 8 impaires, et une partition n'a pas de partenaire, 5 + 4 + 3, dont le total, 12, est un nombre pentagonal. Cliquez dessus et la page vous montrera pourquoi l'opération y est bloquée. Le coefficient de x¹² est la différence entre les paires et les impaires, soit −1. Cet appariement constitue la preuve entière. Franklin, étudiant de Sylvester à Johns Hopkins, l'a publiée en 1881.

p(1000) requiert 50 termes 🖖

Retournez le théorème et il compte les partitions p(n), des sommes dans n'importe quel ordre où les répétitions sont permises. La récurrence d'Euler n'utilise que les valeurs précédentes situées à des distances pentagonales : p(12) = p(11) + p(10) − p(7) − p(5) + p(0) = 77. Pour p(1000), un nombre de 32 chiffres, cela représente 50 termes. La table complète de p(1) à p(1000) nécessite 33 475 consultations contre 500 500 additions avec la méthode classique. Cliquez sur p(200) pour obtenir 3 972 999 029 388, la dernière entrée de la table de MacMahon pour Hardy et Ramanujan. Le premier terme de leur célèbre formule présente encore un excès de 1,42 % pour n = 1 000.

Problème entièrement résolu

La « loi extraordinaire » d'Euler : des sommes de diviseurs issues des mêmes signes 4 étapes
Les signes qui construisent p(n) forment également la somme des diviseurs de n. Euler qualifiait cette loi de particulièrement extraordinaire. Utilisez-la pour trouver σ(12), la somme des diviseurs de 12, en apportant une modification à la récurrence : là où elle nécessiterait σ(0), employez n lui-même.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La récurrence de la page pour p(12), le modèle à copier :
  
  $p (12) = p (11) + p (10) - p (7) - p (5) + p (0) = 56 + 42 - 15 - 7 + 1 = 77$
2. Les mêmes décalages et signes pour σ(12). Le dernier décalage est 12 lui-même, donc σ(0) devient 12 :
  
  $σ (12) = σ (11) + σ (10) - σ (7) - σ (5) + σ (0) \to 12$
3. Avec σ(11) = 12, σ(10) = 18, σ(7) = 8 et σ(5) = 6 :
  
  $σ (12) = 12 + 18 - 8 - 6 + 12 = 28$
4. Vérifiez en additionnant directement les diviseurs :
  
  $1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$
Réponse

σ(12) = 28. Euler l'a rédigé en 1747, et cela se vérifie pour tout n. L'arithmétique de la page le confirme jusqu'à n = 500.

$σ (12) = 28; σ (n) = \sum_{k} (- 1)^{k + 1} σ (n - \frac{k ( 3 k \mp 1 )}{2}), σ (0) \to n$

Parcours

Méthodes de démonstration

Références (3)

Franklin's involution as stated on this page (compare the smallest part with the slope; move one onto the other; blocked only at the pentagonal diagrams), with Franklin's 1881 paper and his place as Sylvester's student at Johns Hopkins: I. Pak, "Partition bijections, a survey", The Ramanujan Journal 12, 5–75 (2006); preprint, §5.2.
Euler's paper on the sum of divisors, where the pentagonal signs that give p(n) give σ(n) too, the worked problem: L. Euler, "Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs", Bibliothèque impartiale 3, 10–31 (written 1747, published 1751); Eneström number E175, The Euler Archive.
The partition numbers, Euler's recurrence over the generalised pentagonal numbers, Hardy and Ramanujan's asymptotic formula, and MacMahon's table of p(n) up to 200: OEIS Foundation, "A000041: a(n) = number of partitions of n" and "A001318: Generalized pentagonal numbers", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.