Explorateur de sommes de Riemann

Découpez [a, b] en n bandes, donnez à chacune une hauteur lue sur la courbe, puis additionnez leurs aires. Quand n augmente, toutes les façons de choisir ces hauteurs conduisent à un même nombre : l’intégrale définie.

L’intégrale comme limite de sommes	$\int_{a}^{b} f (x) d x Δ x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x = \frac{b - a}{n}$
Où chaque méthode prend ses hauteurs	$L_{n} : x_{i - 1}, R_{n} : x_{i}, M_{n} : \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2} T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}), x_{i} = a + i Δ x$
Dans quel sens se trompent-elles ?	$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Exemple résolu — Explorateur de sommes de Riemann

Largeur des bandes	0,25
Points d’évaluation	0,125, 0,375, …, 1,875
Somme du point milieu	2,65625
Intégrale	2,666667
Somme moins intégrale	−0,010417

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de sommes de Riemann

Une somme de Riemann de f sur [a, b] s’obtient en partageant l’intervalle en n bandes, en choisissant dans chacune une hauteur f(x_i*) et en additionnant leurs aires f(x_i*)Δx. L’intégrale définie est le nombre vers lequel ces sommes convergent lorsque n → ∞.

Ce que signifie chaque symbole

Δx: la largeur de chaque bande, (b − a)/n
xᵢ*: le point choisi dans la bande i pour en lire la hauteur

D’où vient la formule

Partagez l’intervalle. Formez n bandes de même largeur Δx = (b − a)/n, délimitées par les points x₀ = a, x₁, …, x_n = b.
$Δ x = \frac{b - a}{n} x_{i} = a + i Δ x, i = 0, 1, \dots, n$
Choisissez une hauteur par bande. Évaluez f en un point x_i* quelconque de la bande i ; cette page propose le bord gauche, le bord droit et le milieu. L’aire de la bande vaut f(x_i*)Δx, et la somme de Riemann additionne les aires des n bandes. La méthode des trapèzes utilise les deux bords et donne la moyenne des sommes à gauche et à droite.
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x, T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n})$
Sous l’axe, la contribution est négative. Lorsque f < 0, le terme f(x_i*)Δx est négatif : la somme mesure donc l’aire au-dessus de l’axe moins l’aire en dessous. Les bandes orange sont celles dont les aires sont soustraites.
$\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Faites croître n. Pour x² sur [0 ; 1], la somme à droite vaut (n + 1)(2n + 1)/(6n²) et converge vers 1/3. Si f est continue, tous les choix de points d’évaluation conduisent au même nombre : l’intégrale.
$R_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{i ^{2}}{n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to \infty \frac{1}{3}$
Déterminez le sens de l’erreur. Si f est croissante sur [a, b], la somme à gauche sous-estime l’intégrale et la somme à droite la surestime. Si f est convexe, la somme du point milieu la sous-estime et la somme des trapèzes la surestime. Pour une fonction décroissante ou concave, les inégalités correspondantes s’inversent.
$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

pourquoi la pharmacologie change de règle en cours de route 🖖

L’exposition à un médicament est une somme de Riemann. Pour calculer l’aire sous la courbe de concentration d’un patient en fonction du temps, l’autorité de santé ne dispose que d’une douzaine de prélèvements sanguins. La méthode usuelle consiste donc à appliquer la règle des trapèzes entre deux prélèvements consécutifs, avec le biais présenté ici. Une courbe d’élimination est convexe : la corde passe au-dessus de la courbe, si bien que le calcul par trapèzes linéaires surestime l’exposition réelle du patient. D’où la pratique courante : interpolation linéaire pendant la phase d’absorption, puis logarithmique pendant la phase d’élimination.

La fonction qui échappe aux sommes de Riemann 🖖

Pour les fonctions de cette page, toutes les sommes convergent vers un même nombre, quels que soient les points d’évaluation choisis. Un théorème le garantit pour les fonctions continues ; sans continuité, ce résultat peut cesser d’être vrai. En 1829, Dirichlet a décrit une fonction qui vaut 1 en tout point x rationnel et 0 en tout point irrationnel. Chaque bande, aussi étroite soit-elle, contient des points des deux sortes. Choisissez un point rationnel dans chacune : la somme sur [0 ; 1] vaut 1. Choisissez des points irrationnels : elle vaut 0, pour tout n. Les sommes n’ont aucune limite commune et la fonction n’est pas intégrable au sens de Riemann. L’intégrale de Lebesgue, introduite en 1902, regroupe les points selon la valeur qu’y prend f plutôt que selon leur position sur l’axe. Elle attribue à cette fonction une intégrale égale à 0.

THÉORIE DE LA SOMME DE RIEMANN — LA DÉFINITION DERRIÈRE L’INTÉGRALE

Où échantillonnez-vous à l’intérieur de chaque bande ?

Une somme de Riemann découpe [a, b] en n bandes et attribue à chacune une hauteur unique, relevée en un point d’échantillonnage situé à l’intérieur. Le point choisi — bord gauche, bord droit ou milieu — change le résultat tant que n reste petit. Le fait remarquable est qu’à mesure que n grandit, tous les choix convergent vers le même nombre, et cette limite commune est précisément l’intégrale définie.

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande Σ f(x_i) Δx

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande Σ f(x_i+1) Δx

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapèze — les deux extrémités, moyennées Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée en xᵢ, le bord gauche de la bande i. La valeur en b n’est jamais utilisée.

Somme: Σ f(x_i) Δx

Pour un petit n: x² sur [0, 2] avec n = 4 donne 1,75 contre une aire réelle de 2,667 — très en dessous.

Ouvrir ce cas: Quatre à gauche

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande. Chaque rectangle prend sa hauteur sur son propre bord gauche, laissant un coin de courbe de côté. Hauteur relevée en xᵢ, le bord gauche de la bande i. La valeur en b n’est jamais utilisée. — Chaque rectangle prend sa hauteur sur son propre bord gauche, laissant un coin de courbe de côté.

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée en xᵢ₊₁, le bord droit de la bande i. La valeur en a n’est jamais utilisée.

Somme: Σ f(x_i+1) Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 3,75 contre 2,667 — on dépasse maintenant d’à peu près ce que la somme de gauche avait perdu.

Ouvrir ce cas: Six à droite

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande. Les mêmes bandes échantillonnées au bord droit : chaque rectangle dépasse désormais. Hauteur relevée en xᵢ₊₁, le bord droit de la bande i. La valeur en a n’est jamais utilisée. — Les mêmes bandes échantillonnées au bord droit : chaque rectangle dépasse désormais.

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée au centre de la bande, sans privilégier l’un ou l’autre bord.

Somme: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 2,625 contre 2,667 — un ordre de grandeur plus proche que gauche et droite.

Ouvrir ce cas: Quarante au milieu

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande. Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser. Hauteur relevée au centre de la bande, sans privilégier l’un ou l’autre bord. — Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser.

Trapèze — les deux extrémités, moyennées

Point d’échantillonnage: Les deux bords de la bande servent, et le sommet est incliné entre eux.

Somme: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 2,75 contre 2,667 — mieux que chaque somme de bord, toujours derrière le point milieu.

Ouvrir ce cas: sin x, trapèzes

Trapèze — les deux extrémités, moyennées. Un sommet incliné reliant les deux bords : la moyenne des rectangles gauche et droit. Les deux bords de la bande servent, et le sommet est incliné entre eux. — Un sommet incliné reliant les deux bords : la moyenne des rectangles gauche et droit.

Problèmes entièrement résolus

Estimer ∫₀² x² d x avec huit rectangles au point milieu 5 étapes
Estimez ∫₀² x² dx avec huit rectangles en prenant la hauteur au point milieu. Puis combinez deux résultats inexacts pour obtenir la valeur exacte.
1. Huit bandes sur une largeur de 2 donnent Δx = 0,25. La méthode du point milieu prend la hauteur de chaque rectangle au centre de sa bande : 0,125 ; 0,375 ; et ainsi de suite. Ce choix a une raison mathématique, que vous retrouverez à l’étape 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Additionnez les carrés des huit milieux, puis multipliez par la largeur commune. À ce stade, la seule approximation consiste à représenter la surface par des rectangles.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. L’intégrale vaut exactement 8/3 : l’estimation est donc trop faible de 0,0104167. Cet écart mérite qu’on s’y arrête.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. L’erreur de la méthode du point milieu vaut −(b − a)h²f″(ξ)/24. Pour x², la dérivée seconde vaut 2 partout : la position de ξ n’a donc aucune importance, et la formule donne une égalité au lieu d’un simple encadrement. Elle fournit −1/96, soit l’erreur signée affichée par l’outil, jusqu’au dernier chiffre.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. La méthode des trapèzes commet une erreur de signe opposé et exactement deux fois plus grande. Le rectangle construit au point milieu retranche une partie de l’aire et en ajoute une autre ; la corde du trapèze reste, elle, entièrement au-dessus d’une courbe convexe. En donnant un poids double au résultat du point milieu, les erreurs s’annulent.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Réponse

La méthode du point milieu donne 2,65625 pour une valeur exacte de 2,666667. Comme x² est croissante sur [0 ; 2], les sommes à gauche et à droite, 2,1875 et 3,1875, encadrent l’intégrale. Retenez surtout la dernière ligne : (2M + T)/3 = 8/3 exactement, avec huit bandes et sans évaluation supplémentaire. Cette moyenne pondérée est la méthode de Simpson, publiée par Thomas Simpson en 1743 et utilisée dès 1615 par Kepler sur une seule bande pour calculer le volume de tonneaux de vin. Le rapport constant entre les erreurs des deux méthodes permet de les annuler par construction. Passez à la fonction x³ : les sommes du point milieu et des trapèzes valent 3,96875 et 4,0625 ; leur combinaison donne exactement 4, car la méthode de Simpson est exacte pour tout polynôme de degré trois. Avec x⁴, un écart apparaît enfin : 0,000065 pour une intégrale de 6,4.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$
Sommes à gauche et à droite pour une fonction décroissante 4 étapes
Estimez ∫₁² (1/x) dx avec quatre bandes, par la somme à gauche puis par la somme à droite. Laquelle surestime l’intégrale, et comment le savoir sans connaître sa valeur ?

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1. Les quatre bandes qui partagent [1 ; 2] ont chacune une largeur de 0,25. La somme à gauche prend les hauteurs en 1 ; 1,25 ; 1,5 et 1,75 ; la somme à droite, en 1,25 ; 1,5 ; 1,75 et 2.
  
  $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$
2. Additionnez les hauteurs prises à gauche, puis multipliez par la largeur :
  
  $L_{4} = 0.25 (1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = 0.25 \times \frac{319}{105} = 0.759524$
3. Pour passer à la somme à droite, on retire f(1) = 1 et on ajoute f(2) = 0,5. La somme diminue donc de 0,25 × 0,5 :
  
  $R_{4} = L_{4} - 0.25 (f (1) - f (2)) = 0.759524 - 0.125 = 0.634524$
4. La fonction 1/x est décroissante sur l’intervalle : dans chaque bande, la hauteur est maximale au bord gauche et minimale au bord droit. La somme à gauche surestime donc l’intégrale, et la somme à droite la sous-estime :
  
  $R_{4} = 0.634524 < \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = ln 2 = 0.693147 < 0.759524 = L_{4}$
Réponse

L₄ = 0,759524 surestime l’intégrale et R₄ = 0,634524 la sous-estime ; sa valeur, ln 2 = 0,693147, est comprise entre les deux. Pour une fonction monotone sur l’intervalle, les sommes à gauche et à droite encadrent toujours l’intégrale. Leur écart vaut Δx·|f(b) − f(a)|, soit ici 0,125.
Méthode des trapèzes : dans quel sens se trompe-t-elle ? 4 étapes
Estimez ∫₀⁴ √x dx par la méthode des trapèzes avec quatre bandes. L’estimation est-elle trop grande ou trop petite ?

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1. Δx = 1. La méthode des trapèzes utilise les hauteurs aux cinq points de la subdivision, en comptant deux fois celles des trois points intérieurs :
  
  $T_{4} = \frac{Δ x}{2} [f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4)]$
2. Remplacez par les valeurs numériques :
  
  $= \frac{1}{2} [0 + 2 + 22 + 23 + 2] = 2 + 2 + 3 = 5.146264$
3. Ce résultat est aussi la moyenne des sommes à gauche et à droite :
  
  $T_{4} = \frac{1}{2} (L_{4} + R_{4}) = \frac{1}{2} (4.146264 + 6.146264) = 5.146264$
4. La fonction √x est concave, puisque f″(x) = −¼x^−3/2 < 0. Chaque corde passe sous la courbe : il manque donc à chaque trapèze une petite portion d’aire.
  
  $\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{16}{3} = 5.333333 > T_{4}$
Réponse

T₄ = 5,146264, soit une sous-estimation de 0,187069, car √x est concave. Pour une fonction convexe, les cordes passent au-dessus de la courbe et la méthode des trapèzes surestime l’intégrale. Dans les deux cas, la méthode du point milieu se trompe dans l’autre sens : les deux sommes encadrent donc l’intégrale.
L’intégrale comme limite des sommes à droite 4 étapes
Écrivez la somme à droite pour ∫₀³ x² dx avec n bandes, puis calculez sa limite pour obtenir l’intégrale.

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1. Δx = 3/n et les extrémités droites sont x_i = 3i/n. La contribution de la bande i vaut donc (3i/n)²·(3/n) :
  
  $R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{3 i}{n})^{2} \frac{3}{n} = \frac{27}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2}$
2. La somme des carrés des n premiers entiers vaut n(n + 1)(2n + 1)/6 :
  
  $R_{n} = \frac{27}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{9 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}$
3. Vérifiez la formule sur un cas. Pour n = 6, elle donne 11,375, ce qui correspond bien à la somme à droite avec six bandes :
  
  $R_{6} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 36} = \frac{819}{72} = 11.375$
4. Faites maintenant tendre n vers l’infini. Divisez le numérateur et le dénominateur par n² :
  
  $R_{n} = \frac{9}{2} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) n \to \infty \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$
Réponse

∫₀³ x² dx = 9. Avec six bandes, la somme dépasse l’intégrale de 2,375. D’après la formule, cet excès vaut en général 27/(2n) + 9/(2n²) : il décroît donc comme 1/n, l’ordre de convergence d’une somme prise aux extrémités.
Reconnaître une intégrale dans une limite de sommes 3 étapes
Calculez la limite, lorsque n → ∞, de Σ (2/n)·√(1 + 2i/n), où la somme porte sur i de 1 à n.

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1. Repérez la forme Σ f(x_i)Δx. Le facteur 2/n joue le rôle de Δx, donc b − a = 2. Les points x_i = 1 + 2i/n vont de a = 1 pour i = 0 à b = 3 pour i = n :
  
  $Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 1 + i Δ x, f (x) = x$
2. Il s’agit donc de la somme à droite de √x sur [1 ; 3], dont la limite est l’intégrale :
  
  $n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{2}{n} 1 + \frac{2 i}{n} = \int_{1}^{3} x d x$
3. Calculez l’intégrale :
  
  $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{1}^{3} = \frac{2}{3} (33 - 1) = 2.797435$
Réponse

La limite vaut ⅔(3√3 − 1) = 2,797435. Vous pouvez aussi choisir x_i = 2i/n et reconnaître la fonction √(1 + x) sur [0 ; 2]. Cette intégrale vaut elle aussi 2,797435, ce qui permet de vérifier rapidement l’interprétation de la somme.
Sous l’axe, l’aire intervient avec un signe négatif 3 étapes
Calculez ∫₋₁² x dx, comparez le résultat à l’aire comprise entre la droite y = x et l’axe des abscisses, puis à la somme à gauche avec six bandes.

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1. La droite passe sous l’axe sur [−1 ; 0] et au-dessus sur [0 ; 2]. Les deux triangles ont pour aires ½ et 2 :
  
  $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
2. Dans l’intégrale, l’aire du triangle situé sous l’axe est soustraite ; pour l’aire géométrique, elle est ajoutée :
  
  $\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$
3. Avec six bandes de largeur 0,5, la somme à gauche prend les hauteurs −1 ; −0,5 ; 0 ; 0,5 ; 1 et 1,5. Les deux premières sont négatives et leurs contributions sont soustraites :
  
  $L_{6} = 0.5 (- 1 - 0.5 + 0 + 0.5 + 1 + 1.5) = 0.5 \times 1.5 = 0.75$
Réponse

∫₋₁² x dx = 3/2, tandis que l’aire comprise entre la droite et l’axe vaut 5/2. Une somme de Riemann additionne les termes f(x_i*)Δx en conservant leur signe : elle converge donc vers la première valeur. Pour obtenir l’aire géométrique, intégrez |x|. La somme à gauche, égale à 0,75, sous-estime l’intégrale car la fonction est croissante. La somme du point milieu vaut exactement 1,5 pour tout n : sous une droite, un rectangle construit au point milieu a la même aire que le trapèze correspondant.
Calculer une somme à partir d’un tableau de mesures 3 étapes
On relève la vitesse d’une voiture aux instants t = 0, 2, 5, 7 et 10 s : elle vaut respectivement 0, 8, 14, 17 et 20 m/s. Estimez la distance parcourue pendant ces 10 secondes par une somme à gauche, une somme à droite et la méthode des trapèzes.
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1. Les bandes n’ont pas toutes la même largeur : elles correspondent à des durées de 2, 3, 2 et 3 s. L’aire de chaque bande est le produit de sa propre largeur par une hauteur ; on ne peut donc pas mettre un Δx commun en facteur. La somme à gauche utilise la vitesse au début de chaque intervalle :
  
  $L = 2 (0) + 3 (8) + 2 (14) + 3 (17) = 0 + 24 + 28 + 51 = 103 m$
2. La somme à droite utilise la vitesse à la fin de chaque intervalle :
  
  $R = 2 (8) + 3 (14) + 2 (17) + 3 (20) = 16 + 42 + 34 + 60 = 152 m$
3. La méthode des trapèzes prend la moyenne des vitesses aux deux extrémités de chaque bande. Même avec des largeurs inégales, son résultat reste la moyenne des sommes à gauche et à droite :
  
  $T = \frac{1}{2} (L + R) = \frac{1}{2} (103 + 152) = 127.5 m$
Réponse

L = 103 m, R = 152 m, T = 127,5 m. Les vitesses du tableau sont croissantes. Si la vitesse a également augmenté sans jamais diminuer entre les relevés, la distance est comprise entre 103 m et 152 m. Le tableau ne permet pas de l’affirmer : la voiture a pu freiner entre deux mesures, sans qu’aucune somme calculée à partir de ces cinq valeurs puisse le révéler.

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Références (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.