Explorateur de sommes de Riemann

approximation d'aire par partitions avec comparaison des méthodes

Exemple résolu — Explorateur de sommes de Riemann

Estimation	2.65625
Intégrale exacte	2.66667
Erreur absolue	0.0104167
Erreur signée	-0.0104167
Somme inférieure	2.1875
Somme supérieure	3.1875
Écart supérieur-inférieur	1
Largeur de partition	0.25

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

pourquoi la pharmacologie change de règle en cours de route 🖖

L’exposition à un médicament est une somme de Riemann. Pour calculer l’aire sous la courbe de concentration d’un patient en fonction du temps, l’autorité de santé ne dispose que d’une douzaine de prélèvements sanguins. La méthode usuelle consiste donc à appliquer la règle des trapèzes entre deux prélèvements consécutifs, avec le biais présenté ici. Une courbe d’élimination est convexe : la corde passe au-dessus de la courbe, si bien que le calcul par trapèzes linéaires surestime l’exposition réelle du patient. D’où la pratique courante : interpolation linéaire pendant la phase d’absorption, puis logarithmique pendant la phase d’élimination.

découper l'aire en formes mesurables 🖖

Calculer exactement l’aire sous une courbe est difficile ; additionner des rectangles est simple. Les méthodes présentées ici estiment chacune la hauteur d’une bande à leur manière : à partir du bord gauche, du bord droit, du milieu ou d’un sommet incliné pour la méthode des trapèzes. Aucune n’est exacte. Leur convergence n’a toutefois pas la même vitesse : si vous doublez le nombre de bandes, l’erreur des sommes à gauche et à droite est divisée par deux, tandis que celle des méthodes du point milieu et des trapèzes est divisée par quatre.

la règle de Simpson est un mélange caché 🖖

La méthode du point milieu est généralement plus précise que celle des trapèzes, et leurs erreurs sont de signes opposés. Lorsque la courbe est concave, la première surestime l’aire et la seconde la sous-estime. Combinez-les selon (2M + T)/3 : le terme d’erreur dominant s’annule et vous obtenez la méthode de Simpson. Cette célèbre formule d’intégration est donc une moyenne pondérée de deux sommes déjà affichées à l’écran.

THÉORIE DE LA SOMME DE RIEMANN — LA DÉFINITION DERRIÈRE L’INTÉGRALE

Où échantillonnez-vous à l’intérieur de chaque bande ?

Une somme de Riemann découpe [a, b] en n bandes et attribue à chacune une hauteur unique, relevée en un point d’échantillonnage situé à l’intérieur. Le point choisi — bord gauche, bord droit ou milieu — change le résultat tant que n reste petit. Le fait remarquable est qu’à mesure que n grandit, tous les choix convergent vers le même nombre, et cette limite commune est précisément l’intégrale définie.

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande Σ f(x_i) Δx

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande Σ f(x_i+1) Δx

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapèze — les deux extrémités, moyennées Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée en xᵢ, le bord gauche de la bande i. La valeur en b n’est jamais utilisée.

Somme: Σ f(x_i) Δx

Pour un petit n: x² sur [0, 2] avec n = 4 donne 1,75 contre une aire réelle de 2,667 — très en dessous.

Ouvrir ce cas: gauche grossier

Extrémité gauche — échantillon au début de chaque bande. Chaque rectangle prend sa hauteur sur son propre bord gauche, laissant un coin de courbe de côté. Hauteur relevée en xᵢ, le bord gauche de la bande i. La valeur en b n’est jamais utilisée. — Chaque rectangle prend sa hauteur sur son propre bord gauche, laissant un coin de courbe de côté.

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée en xᵢ₊₁, le bord droit de la bande i. La valeur en a n’est jamais utilisée.

Somme: Σ f(x_i+1) Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 3,75 contre 2,667 — on dépasse maintenant d’à peu près ce que la somme de gauche avait perdu.

Ouvrir ce cas: biais à droite

Extrémité droite — échantillon à la fin de chaque bande. Les mêmes bandes échantillonnées au bord droit : chaque rectangle dépasse désormais. Hauteur relevée en xᵢ₊₁, le bord droit de la bande i. La valeur en a n’est jamais utilisée. — Les mêmes bandes échantillonnées au bord droit : chaque rectangle dépasse désormais.

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande

Point d’échantillonnage: Hauteur relevée au centre de la bande, sans privilégier l’un ou l’autre bord.

Somme: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 2,625 contre 2,667 — un ordre de grandeur plus proche que gauche et droite.

Ouvrir ce cas: affiner n

Point milieu — échantillon au centre de chaque bande. Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser. Hauteur relevée au centre de la bande, sans privilégier l’un ou l’autre bord. — Échantillonner au centre laisse les deux erreurs de chaque bande se compenser.

Trapèze — les deux extrémités, moyennées

Point d’échantillonnage: Les deux bords de la bande servent, et le sommet est incliné entre eux.

Somme: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Pour un petit n: Même courbe et même n : 2,75 contre 2,667 — mieux que chaque somme de bord, toujours derrière le point milieu.

Ouvrir ce cas: trapèze lisse

Trapèze — les deux extrémités, moyennées. Un sommet incliné reliant les deux bords : la moyenne des rectangles gauche et droit. Les deux bords de la bande servent, et le sommet est incliné entre eux. — Un sommet incliné reliant les deux bords : la moyenne des rectangles gauche et droit.

Problème entièrement résolu

Estimation de ∫₀² x² d x avec huit rectangles au point médian 5 étapes
Estimez ∫₀² x² dx avec huit rectangles du point milieu. Faites ensuite mieux qu'une estimation : combinez deux réponses inexactes pour obtenir la valeur exacte.
1. Huit bandes sur une largeur de 2 donnent Δx = 0,25, et la méthode du point milieu prend la hauteur de chaque rectangle au centre de sa bande — 0,125, 0,375, et ainsi de suite. Échantillonner au centre n'est pas une préférence esthétique ; c'est ce qui permet de réussir l'étape 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Sommez les carrés des huit points milieux et multipliez par la largeur commune. Rien jusqu'ici n'est approximatif, à part la décision d'utiliser des rectangles.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. L'intégrale exacte vaut 8/3, l'estimation est donc inférieure de 0,0104167. Inférieure, et d'une quantité qu'il vaut la peine d'expliquer plutôt que de hausser les épaules.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. L'erreur du point milieu est −(b − a)h²f″(ξ)/24. Pour x², la seconde dérivée vaut 2 partout, peu importe donc la valeur de ξ, et la formule cesse d'être une borne pour devenir une égalité. Elle donne −1/96, ce qui correspond à l'erreur signée de l'outil jusqu'au dernier chiffre affiché.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. La méthode des trapèzes commet une erreur dans le sens opposé et d'un montant exactement double : un rectangle du point milieu retire autant qu'il ajoute, tandis que la corde d'un trapèze se situe entièrement au-dessus d'une courbe convexe. Pondérez-les à deux contre un et les erreurs s'annulent.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Réponse

Le point milieu donne 2,65625 contre une valeur réelle de 2,66667, encadré par les sommes inférieure et supérieure que l'outil affiche à 2,1875 et 3,1875. Mais retenez la dernière ligne : (2M + T)/3 = 8/3, exactement, avec huit bandes et sans aucune évaluation supplémentaire. Cette combinaison porte un nom — c'est la règle de Simpson, et c'est de là qu'elle provient. Ce n'est pas une manière plus astucieuse de tracer des rectangles ; c'est le constat que deux méthodes grossières échouent dans un rapport fixe, de sorte que leurs erreurs s'annulent par construction. Changez la fonction pour x³ et l'outil affiche un point milieu de 3,96875 et un trapèze de 4,0625 — combinez-les et vous obtenez 4, tout pile, car Simpson est exacte pour toute fonction cubique. Passez à x⁴ et elle manque enfin la cible, de 6 parties pour 100 000.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Mène à Séries de Taylor

Références (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

gauche grossier - Quatre rectangles à gauche sous x² donnent 1,75, contre une valeur exacte de 2,666667. La combinaison (2M + T)/3 appliquée à ces quatre mêmes bandes donne le résultat exact.
affiner n - Avec quarante bandes, la méthode du point milieu laisse une erreur de 0,000417, contre 0,010417 avec huit bandes. Cinq fois plus de bandes réduisent l’erreur d’un facteur vingt-cinq.
trapèze lisse - sin(x) s’annule aux deux extrémités de [0, π] : les sommes à gauche, à droite et par trapèzes donnent toutes 1,983524. Seule la méthode du point milieu diffère, avec 2,008248.
biais de concavité - Pour e^x sur [0, 1], la méthode des trapèzes donne 1,720519 et celle du point milieu 1,717164, tandis que la valeur exacte est 1,718282. L’erreur du point milieu est deux fois plus petite et de signe opposé.
intervalle inversé - L’intégrale de sin de π à 0 vaut -2,005723. Inverser les bornes ne change que le signe, car la largeur de chaque bande devient négative.
biais à droite - Six rectangles à droite surestiment l’aire et donnent 3,370370, tandis que six rectangles à gauche donnent 2,037037. Pour une fonction croissante, le résultat se trouve toujours entre ces deux valeurs.