Pourquoi les angles se mesurent en radians

Choisissez un rayon et un angle, puis changez l’unité de l’angle. Longueur de l’arc, aire du secteur, pente de la courbe du sinus, approximation des petits angles : tout évolue ensemble, car tout repose sur une même définition.

Degrés et radians	$π rad = 18 0^{\circ}$
Longueur de l’arc	$s = r θ$
Aire du secteur	$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Pente de la courbe du sinus, θ en radians	$\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$

Exemple résolu — Pourquoi les angles se mesurent en radians

θ en degrés	57,2958°
Longueur de l'arc s	1
Aire du secteur A	0,5
sin θ	0,841471
Segment de disque entre l’arc et la corde	0,079265
Pente de sin en θ	0,540302
Erreur sur sin θ ≈ θ	18,84 %

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Pourquoi les angles se mesurent en radians

Un angle de un radian intercepte un arc dont la longueur est exactement égale au rayon. La mesure d’un angle en radians est donc le rapport de deux longueurs : celle de l’arc divisée par le rayon. Un tour complet vaut 2π.

Ce que signifie chaque symbole

r: le rayon
θ: l’angle au centre, en radians sauf s’il porte le symbole du degré
s: la longueur de l’arc intercepté par l’angle
A: l’aire du secteur, la portion de disque délimitée par les deux rayons et l’arc

D’où vient la formule

L’arc. Par définition, θ = s/r, donc s = rθ. Pour un tour complet, l’arc est le cercle entier, de longueur 2πr. Un tour vaut donc 2π radians ; un demi-tour, soit 180°, vaut π.
$θ = \frac{s}{r} \Rightarrow s = r θ s = 2 π r \Rightarrow θ = 2 π, π rad = 18 0^{\circ}$
Le secteur. Le secteur occupe la même proportion du disque que son arc du cercle : θ sur 2π. Cette proportion de πr² vaut ½r²θ. Retirez le triangle formé par les deux rayons et la corde, d’aire ½r² sin θ : il reste le segment de disque compris entre l’arc et la corde, représentée en pointillé.
$A = \frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} r^{2} θ \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$
Pourquoi la pente du sinus vaut 1 à l’origine. Sur un cercle de rayon 1, pour un angle compris entre 0 et π/2, trois surfaces sont emboîtées : le triangle intérieur au secteur, le secteur lui-même et le triangle qui s’étend jusqu’à la tangente. Divisez leurs aires par ½ sin θ. Le rapport θ/sin θ est alors compris entre 1 et 1/cos θ. Comme 1/cos θ tend vers 1, sin θ/θ tend vers 1 à droite de zéro. La fonction sin θ/θ est paire : la limite à gauche est donc la même. La pente de la courbe du sinus en 0 vaut exactement 1.
$\frac{1}{2} sin θ < \frac{1}{2} θ < \frac{1}{2} tan θ \Rightarrow 1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} \Rightarrow θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1 \frac{sin ( - θ )}{- θ} = \frac{sin θ}{θ} \Rightarrow θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$
Le facteur qu’introduisent les degrés. Un angle de x degrés vaut πx/180 radians. Mesurer les angles en degrés étire l’axe horizontal d’un facteur 180/π : toutes les pentes sont donc multipliées par π/180. Ce facteur intervient dans chaque dérivée d’une fonction trigonométrique dont l’argument est exprimé en degrés.
$\frac{d}{d x} sin x^{\circ} = \frac{d}{d x} sin \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$

Problèmes entièrement résolus

Des degrés aux radians, et inversement 2 étapes
Exprimez 150° en radians sous la forme d’un multiple de π, puis 2,5 radians en degrés.

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1. Puisque 180° valent π radians, un degré vaut π/180 radian. Multipliez, puis simplifiez la fraction avant de prendre votre calculatrice :
  
  $15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} \approx 2.61799$
2. Pour revenir aux degrés, multipliez par 180/π :
  
  $2.5 \times \frac{180}{π} = \frac{450}{π} \approx 143.2 4^{\circ}$
Réponse

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad, et 2,5 rad ≈ 143,24°. Dans une copie d’examen, la première réponse s’écrit 5π/6 ; l’écriture décimale donne une valeur arrondie du même angle.
Longueur d’arc, aire et périmètre d’un secteur 3 étapes
Un secteur de cercle de rayon 8 cm a un angle au centre de 1,2 radian. Calculez la longueur de son arc, son aire et son périmètre.

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1. Lorsque θ est en radians, la longueur de l’arc est le produit du rayon par l’angle :
  
  $s = r θ = 8 \times 1.2 = 9.6 cm$
2. Pour l’aire, prenez la même proportion du disque :
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times 1.2 = 38.4 c m^{2}$
3. Le périmètre comprend l’arc et les deux rayons. Oublier les rayons est une erreur fréquente :
  
  $P = 2 r + s = 16 + 9.6 = 25.6 cm$
Réponse

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm², et le périmètre vaut 25,6 cm.
Retrouver le rayon et l’angle à partir de l’arc et de l’aire 3 étapes
Un secteur a un arc de longueur 12 cm et une aire de 48 cm². Déterminez le rayon et l’angle.

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1. Exprimez les deux données à l’aide de r et de θ :
  
  $r θ = 12, \frac{1}{2} r^{2} θ = 48$
2. L’aire est égale à la moitié du produit du rayon par la longueur de l’arc : ½r·(rθ) = ½rs. Vous pouvez donc trouver le rayon sans connaître θ :
  
  $\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot r θ : 48 = \frac{1}{2} \times r \times 12 \Rightarrow r = 8 cm$
3. Déduisez ensuite l’angle de la longueur de l’arc :
  
  $θ = \frac{s}{r} = \frac{12}{8} = 1.5 rad \approx 85.9 4^{\circ}$
Réponse

r = 8 cm et θ = 1,5 rad, soit environ 85,94°. Sur la page, un rayon de 8 et un angle de 1,5 redonnent bien un arc de 12 et une aire de 48.
Le segment de disque délimité par une corde 3 étapes
Dans un cercle de rayon 6 cm, une corde intercepte un angle au centre de 120°. Calculez l’aire du petit segment de disque, en valeur exacte puis à trois chiffres significatifs.

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1. Commencez par convertir l’angle en radians pour utiliser les deux formules d’aire :
  
  $12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{3}$
2. L’aire du segment s’obtient en retirant de celle du secteur l’aire du triangle formé par les deux rayons et la corde, soit ½r² sin θ :
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{3}{2}$
3. Simplifiez chaque terme, puis calculez une valeur approchée :
  
  $A = 12 π - 93 \approx 37.6991 - 15.5885 = 22.1107$
Réponse

12π − 9√3 cm², soit environ 22,1 cm². La page utilise ½r²(θ − sin θ) : c’est la même soustraction, après mise en facteur de ½r².

$A = 12 π - 93 \approx 22.1 c m^{2}$
sin 3° sans calculatrice 3 étapes
Estimez sin 3° sans calculatrice et évaluez l’erreur commise.

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1. Convertissez l’angle. L’approximation sin θ ≈ θ exige une mesure en radians :
  
  $3^{\circ} = 3 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{60} \approx 0.0523599$
2. Pour un petit angle, le sinus est approximativement égal à l’angle lui-même :
  
  $sin 3^{\circ} \approx \frac{π}{60} \approx 0.05236$
3. Le premier terme négligé est −θ³/6. L’estimation dépasse donc la valeur exacte d’environ θ³/6, ce qui représente une erreur relative d’environ θ²/6 :
  
  $\frac{θ ^{3}}{6} \approx 2.39 \times 1 0^{- 5}, \frac{θ ^{2}}{6} \approx 0.000457 \approx 0.046%$
Réponse

sin 3° ≈ 0,05236, avec une surestimation d’environ 0,046 %. La page affiche la valeur du sinus, 0,052336, et retrouve la même erreur de 0,046 %.
Diamètre de la Lune vue sous un angle de 0,5181° à 384 400 km 6 étapes
La Lune occupe 0,5181° dans le ciel et se trouve à 384 400 km. Calculez son diamètre, puis évaluez l’erreur que provoquerait l’oubli de la conversion d’unité.

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1. Pour un petit objet lointain, la formule est taille = distance × angle. C’est la relation s = rθ, où le rayon est la distance à la Lune. L’angle θ doit être en radians.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Convertissez : 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radian.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Multipliez. 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, pour un diamètre moyen mesuré de 3 474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Oubliez maintenant la conversion et multipliez directement par 0,5181. Vous obtenez 199 158 km : une Lune dont le diamètre couvrirait une bonne partie de la distance Terre-Lune.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. Le rapport des deux résultats vaut 57,30, soit 180/π. Oublier cette conversion introduit toujours exactement ce facteur d’erreur, quelles que soient les valeurs utilisées.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Avant de retenir le résultat, vérifiez l’approximation géométrique. La formule assimile le diamètre de la Lune à un arc, alors qu’il s’agit d’un segment de droite. Pour cet angle, l’écart est de 12 mètres sur 3 476 km, soit 3 millionièmes. Cette approximation ne limite donc pas la précision du résultat.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Réponse

3 476 km ; l’oubli de la conversion en radians introduit un facteur d’erreur de 57,3. La précision du quatrième chiffre dépend ici des données associées, bien plus que de la géométrie. Au cours d’un mois, la distance à la Lune varie d’environ 363 300 km à 405 500 km, soit une variation de 11 %, et son diamètre apparent varie avec elle. Même en associant un angle moyen à une distance moyenne, vous obtenez un écart de 1,2 km : c’est la différence entre les 3 476 calculés ci-dessus et les 3 474,8 mesurés. Le diamètre apparent varie en effet comme 1/d, et la moyenne des inverses n’est pas l’inverse de la moyenne. Associez plutôt cet angle moyen à la distance de ce soir : au périgée, vous aurez une erreur de 190 km malgré un calcul irréprochable. L’équation ne peut pas vous signaler que les deux valeurs fournies correspondent à des instants différents.
La pente de la courbe du sinus en degrés 4 étapes
Une calculatrice en mode degrés calcule f(x) = sin x, où x est en degrés. Déterminez f′(60) et comparez cette valeur à la pente de la courbe du sinus en π/3 radians.

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1. Un angle de x degrés vaut πx/180 radians. La fonction f est donc le sinus d’une variable dont on a changé l’échelle :
  
  $f (x) = sin x^{\circ} = sin \frac{π x}{180}$
2. Ce changement d’échelle multiplie toutes les pentes par le même facteur, π/180 :
  
  $f^{'} (x) = \frac{π}{180} cos \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$
3. Pour x = 60, cos 60° = ½ :
  
  $f^{'} (60) = \frac{π}{180} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
4. Le même angle vaut π/3 radians ; la pente est alors cos(π/3) = ½. Les deux résultats diffèrent uniquement par le facteur π/180 :
  
  $\frac{d}{d θ} sin θ_{θ = π /3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Réponse

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 par degré, contre ½ par radian.

$f^{'} (60) = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
θ entre sinus et tangente : un encadrement asymétrique 6 étapes
À 10°, le panneau affiche un arc de 0,174533, un sinus de 0,173648 et une erreur de 0,51 %. Calculez la tangente du même angle, puis déterminez si ces deux valeurs permettent de faire mieux que 0,51 %.

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1. Dix degrés valent 10 × π/180 = 0,174533 radian. Sur un cercle de rayon 1, la longueur de l’arc est égale à la mesure de l’angle : c’est exactement ce qu’exprime s = rθ.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. Le sinus est légèrement inférieur : il vaut 0,173648. Le panneau divise l’écart par le sinus et affiche 0,51 %.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51%$
3. Vous pouvez prévoir cet écart. Puisque sin θ = θ − θ³/6 + …, la différence θ − sin θ doit être proche de θ³/6 = 0,000886. La valeur mesurée est de 0,000885.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. La tangente dépasse l’angle avec un terme de même nature, mais un coefficient deux fois plus grand : tan θ = θ + θ³/3 + …, ce qui donne tan θ − θ = 0,001794. Ainsi, sin θ < θ < tan θ. Cet encadrement permet de démontrer, par le théorème des gendarmes, que la pente de la courbe du sinus à l’origine vaut exactement 1 lorsque l’angle est en radians. La page n’en montre que la borne inférieure.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. L’encadrement est asymétrique. La tangente dépasse θ de 2,03 fois l’écart entre θ et le sinus. L’angle se situe donc au tiers de l’intervalle allant du sinus à la tangente, plutôt qu’au milieu.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Pondérez les deux valeurs dans cette proportion : les termes cubiques s’annulent exactement, car 2(−⅙) + ⅓ = 0. Vous obtenez (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, avec un écart de 8,2 × 10⁻⁶, soit 0,0047 %. C’est plus de cent fois plus précis que le sinus seul, à partir des deux mêmes valeurs.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Réponse

La tangente vaut 0,176327, au-delà de la longueur de l’arc. Vous pouvez donc faire bien mieux que 0,51 %. Cette pondération a une longue histoire, sous une autre forme. Un polygone régulier inscrit dans un cercle a pour périmètre 2n sin(π/n), et le polygone circonscrit correspondant, 2n tan(π/n). Vous retrouvez le même sinus et la même tangente, pour θ = π/n. Divisez ces périmètres par le diamètre : vous obtenez l’encadrement classique de π. Avec 96 côtés, les bornes sont 3,14103195 et 3,14271460 ; elles suffisent à donner π arrondi à 3,14. Leur combinaison (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3 donne 3,14159283, pour une valeur réelle de 3,14159265. La tangente était donc déjà présente dans le modèle de l’outil. Seul le sinus a sa fiche, car c’est l’approximation des petits angles qu’utilise un cours de physique.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

La dérivée du sinus est le cosinus uniquement en radians 🖖

Cliquez sur Le calcul de la pente dépend de. Pour θ = 0, la pente du sinus vaut exactement 1. Changez maintenant d’unité : au même point de la même courbe, elle vaut 0,017453. Un degré représente un pas plus petit qu’un radian, et le sinus augmente donc proportionnellement moins à chaque pas. La règle si simple d/dx sin x = cos x ne vaut ainsi qu’en radians. Il en va de même pour la série du sinus, pour chaque terme d’une série de Fourier et pour l’approximation des petits angles présentée ci-dessous. On pourrait parfaitement construire un calcul différentiel fondé sur les degrés, mais le facteur serait omniprésent : une dérivée première ferait intervenir π/180, une dérivée seconde son carré, et une intégrale son inverse. Voilà pourquoi personne ne le fait.

L'approximation résiste bien plus longtemps qu'il n'y paraît 🖖

Pour un petit angle, sin θ ≈ θ. Le terme suivant du développement en série est −θ³/6 : l’erreur relative se comporte donc comme θ²/6. Cette dépendance au carré de l’angle lui permet de rester faible assez longtemps. À 1°, elle vaut 0,005 % ; à 5°, 0,127 % ; même à 10°, elle n’atteint que 0,51 %. À 30°, en revanche, elle atteint 4,72 % et l’approximation perd sa précision. C’est cette même approximation qui simplifie l’étude du pendule. Son équation ne devient celle d’un oscillateur harmonique qu’après avoir remplacé sin θ par θ. Une véritable horloge à pendule retarde donc d’autant plus que ses oscillations sont amples, avec un retard relatif qui croît lui aussi comme le carré de l’angle.

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.