Résoudre les équations trigonométriques

Saisissez une équation et un intervalle. Vous verrez apparaître la valeur principale donnée par la calculatrice, l’autre valeur sur le même tour pour le sinus et le cosinus, puis toutes les solutions de l’intervalle. Chacune se lit à deux endroits : à l’intersection de la courbe avec la droite horizontale, et au croisement de la spirale de l’argument avec une demi-droite du cercle correspondant à une solution.

sin x = k, \|k\| ≤ 1	$x = α + 2 nπ, x = π - α + 2 nπ α = arcsin k$
cos x = k, \|k\| ≤ 1	$x = \pm α + 2 nπ, α = arccos k$
tan x = k, pour tout k	$x = α + nπ, α = arctan k$

Exemple résolu — Résoudre les équations trigonométriques

Valeur principale donnée par la calculatrice	17,46°
Autre valeur sur le même tour	162,54°
Solution générale, n entier relatif	162,54° + 360°n
Solutions dans l’intervalle	17,46°, 162,54°
Nombre de solutions	2

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Résoudre les équations trigonométriques

Résoudre une équation trigonométrique, c’est trouver tous les angles d’un intervalle donné pour lesquels une expression trigonométrique prend la valeur demandée. La solution générale décrit tous les angles qui vérifient l’équation, sans restriction à un intervalle. Elle s’écrit sous la forme de familles x = x₀ + n × période, où n est un entier relatif : une ou deux familles pour chaque valeur imposée à la fonction.

D’où vient la formule

Déterminez la valeur principale. La calculatrice renvoie une seule valeur α = arcsin k, choisie dans un intervalle fixé. Même si elle est hors de l’intervalle demandé, elle sert de point de départ à la résolution.
$arcsin k arccos k arctan k \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}] \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}] \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$
Trouvez l’autre valeur sur le même tour grâce aux symétries du cercle : la droite y = k le coupe aux angles α et 180° − α ; la droite x = k, aux angles α et −α ; la droite passant par O de coefficient directeur k, aux angles α et α + 180°.
$sin x = k : cos x = k : tan x = k : α, 18 0^{\circ} - α α, - α α, α + 18 0^{\circ}$
Ajoutez des multiples entiers de la période pour couvrir l’intervalle de l’argument, puis revenez à x. Pour f(ax + b), l’argument u = ax + b varie de a·x₁ + b à a·x₂ + b. Chaque valeur de u donne alors x = (u − b)/a.
$u = u_{0} + 36 0^{\circ} n (tan : u_{0} + 18 0^{\circ} n), x = \frac{u - b}{a}$
Si l’équation comporte deux fonctions ou un carré, ramenez-la à une équation du second degré en une seule fonction. Remplacez cos²x par 1 − sin²x, résolvez en posant s = sin x et ne gardez que les racines comprises entre −1 et 1.
$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, s = sin x, - 1 \leq s \leq 1$

Suppose: Les équations sin x = k et cos x = k n’ont de solutions que pour −1 ≤ k ≤ 1. L’équation tan x = k en admet pour tout k.

Problèmes entièrement résolus

sin x = k, en degrés 3 étapes
Résolvez sin x = 0,3 pour 0° ≤ x ≤ 360°, en arrondissant à deux décimales.

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1. La valeur principale est celle donnée par la calculatrice :
  
  $α = arcsin 0.3 = 17.4 6^{\circ}$
2. Le sinus est positif dans les quadrants I et II. L’autre valeur sur le tour est donc 180° − α :
  
  $x = 18 0^{\circ} - 17.4 6^{\circ} = 162.5 4^{\circ}$
3. Ajouter ou retrancher 360° à l’une ou l’autre de ces valeurs fait sortir de l’intervalle. Il n’y a donc pas d’autre solution :
  
  $17.4 6^{\circ} + 36 0^{\circ} = 377.4 6^{\circ} > 36 0^{\circ}, 162.5 4^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 197.4 6^{\circ} < 0^{\circ}$
Réponse

x = 17,46° ou x = 162,54°.

$x = 17.4 6^{\circ}, x = 162.5 4^{\circ}$
cos x = k, sur un intervalle centré en 0 3 étapes
Résolvez cos x = −0,6 pour −180° ≤ x ≤ 180°.

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1. La fonction arccos renvoie une valeur comprise entre 0° et 180°. Ici, elle se situe dans le quadrant II, où le cosinus est négatif :
  
  $α = arccos (- 0.6) = 126.8 7^{\circ}$
2. La symétrie par rapport à l’axe des abscisses donne l’autre valeur, −α :
  
  $x = - α = - 126.8 7^{\circ}$
3. Les deux valeurs appartiennent à l’intervalle. Ajouter ou retrancher une période fait sortir chacune d’elles de cet intervalle :
  
  $126.8 7^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 233.1 3^{\circ} < - 18 0^{\circ}, - 126.8 7^{\circ} + 36 0^{\circ} = 233.1 3^{\circ} > 18 0^{\circ}$
Réponse

x = ±126,87°.

$x = \pm 126.8 7^{\circ}$
tan x = k, lorsque la valeur donnée par la calculatrice est hors de l’intervalle 2 étapes
Résolvez tan x = −2 pour 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. La calculatrice donne un angle négatif, hors de l’intervalle :
  
  $α = arctan (- 2) = - 63.4 3^{\circ}$
2. La tangente a pour période 180°. Ajoutez donc une fois puis deux fois 180°. Une troisième fois donnerait 476,57°, au-delà de 360° :
  
  $x = - 63.4 3^{\circ} + 18 0^{\circ} = 116.5 7^{\circ}, x = - 63.4 3^{\circ} + 36 0^{\circ} = 296.5 7^{\circ}$
Réponse

x = 116,57° ou x = 296,57°. La valeur −63,43° donnée par la calculatrice n’appartient pas à l’intervalle.

$x = 116.5 7^{\circ}, x = 296.5 7^{\circ}$
Des solutions exactes en radians 3 étapes
Résolvez sin x = −√3/2 pour 0 ≤ x ≤ 2π, en donnant les valeurs exactes.

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1. Puisque sin(π/3) = √3/2, la valeur principale est l’opposé de π/3 :
  
  $α = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
2. L’autre valeur sur le tour est π − α :
  
  $x = π - (- \frac{π}{3}) = \frac{4 π}{3}$
3. Comme α est négatif, ajoutez-lui 2π pour obtenir une valeur dans l’intervalle :
  
  $x = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$
Réponse

x = 4π/3 ou x = 5π/3.

$x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}$
L’argument composé change le nombre de solutions 3 étapes
Résolvez sin(2x − 30°) = √3/2 pour 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Posez u = 2x − 30°. Lorsque x varie de 0° à 360°, u parcourt deux tours complets :
  
  $u = 2 x - 3 0^{\circ} : 2 \cdot 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} \leq u \leq 2 \cdot 36 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 69 0^{\circ}$
2. Sur un tour, sin u = √3/2 pour 60° et 120°. Le tour suivant ajoute 360° à chacune de ces valeurs :
  
  $u = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 42 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$
3. Revenez à x par la relation x = (u + 30°)/2 :
  
  $x = \frac{u + 3 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Réponse

Quatre solutions : x = 45°, 75°, 225° et 255°. En limitant la résolution en u à l’intervalle de 0° à 360°, vous n’en auriez trouvé que deux.

$x = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
Une équation du second degré en cos x, avec une racine à écarter 3 étapes
Résolvez 2cos²x + 3cos x − 2 = 0 pour 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. Posez s = cos x et factorisez :
  
  $2 s^{2} + 3 s - 2 = (2 s - 1) (s + 2) = 0$
2. La valeur s = −2 est une racine de l’équation du second degré, mais le cosinus ne peut pas prendre cette valeur. Il ne reste donc qu’une équation :
  
  $s = \frac{1}{2}, s = - 2 < - 1$
3. L’équation cos x = 1/2 donne α = 60°. L’autre valeur, −60°, devient 300° dans l’intervalle :
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$
Réponse

x = 60° ou x = 300°.

$x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
Utiliser sin²x + cos²x = 1 pour ne garder qu’une fonction 3 étapes
Résolvez 2cos²x + 3sin x − 3 = 0 pour 0° ≤ x ≤ 360°.

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1. L’équation contient un cosinus et un sinus. Remplacez cos²x par 1 − sin²x pour ne conserver que sin x :
  
  $2 (1 - sin^{2} x) + 3 sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$
2. Posez s = sin x et factorisez :
  
  $(2 s - 1) (s - 1) = 0, s = \frac{1}{2}, s = 1$
3. L’équation sin x = 1/2 donne 30° et 150°. Pour sin x = 1, vous obtenez seulement 90°, car α et 180° − α sont alors égaux :
  
  $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}; x = 9 0^{\circ}$
Réponse

Trois solutions : x = 30°, 90° et 150°.

$x = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
Diviser pour faire apparaître tan x 2 étapes
Résolvez √3 sin x = cos x pour −π ≤ x ≤ π.

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1. Lorsque cos x = 0, sin x = ±1 et le membre de gauche vaut ±√3, tandis que le membre de droite vaut 0. Aucune solution ne vérifie donc cos x = 0 : vous pouvez diviser par cos x sans perdre de solution.
  
  $\frac{3 sin x}{cos x} = \frac{cos x}{cos x} \Rightarrow tan x = \frac{1}{3}$
2. La valeur principale est α = arctan(1/√3) = π/6, et la tangente a pour période π :
  
  $x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$
Réponse

x = −5π/6 ou x = π/6.

$x = - \frac{5 π}{6}, x = \frac{π}{6}$
La solution générale 3 étapes
Déterminez la solution générale de cos 2x = −1/2 en radians, puis donnez les solutions entre 0 et 2π.

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1. Vous avez arccos(−1/2) = 2π/3. Pour le cosinus, les solutions s’obtiennent à partir de ±α en ajoutant des multiples entiers de 2π :
  
  $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$
2. Divisez par 2, ce qui divise également la période par deux :
  
  $x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$
3. Entre 0 et 2π, les valeurs n = 0, 1 et 2 donnent
  
  $x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$
Réponse

x = ±π/3 + nπ pour tout entier relatif n ; entre 0 et 2π, les solutions sont π/3, 2π/3, 4π/3 et 5π/3.

$x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Résolvez cos x = 0,25 pour 0° ≤ x ≤ 360°, en arrondissant à deux décimales.

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x = 75,52° ou x = 284,48°. La calculatrice donne 75,52°. L’autre valeur est −75,52°, qui devient 284,48° dans l’intervalle.

$x = 75.5 2^{\circ}, x = 284.4 8^{\circ}$
Résolvez tan(x/2) = 3 pour 0° ≤ x ≤ 360°. Combien y a-t-il de solutions ?

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Une seule : x = 143,13°. L’argument x/2 varie seulement de 0° à 180°, soit un demi-tour. Sur ce demi-tour, la tangente vaut 3 uniquement pour x/2 = 71,57°.

$x = 143.1 3^{\circ}$
Résolvez 3sin²x − sin x − 2 = 0 pour 0° ≤ x ≤ 360°, en arrondissant à deux décimales.

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(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0. L’équation sin x = 1 donne 90°, et sin x = −2/3 donne 221,81° et 318,19°. Il y a trois solutions.

$x = 9 0^{\circ}, 221.8 1^{\circ}, 318.1 9^{\circ}$
Résolvez 2sin²x = cos x + 1 pour 0 ≤ x ≤ 2π, en donnant les valeurs exactes.

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En remplaçant sin²x par 1 − cos²x, vous obtenez 2cos²x + cos x − 1 = 0, donc cos x = 1/2 ou cos x = −1. Les solutions sont x = π/3, π et 5π/3.

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$
Déterminez la solution générale de sin 3x = 1/2, en degrés.

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3x = 30° + 360°n ou 3x = 150° + 360°n, donc x = 10° + 120°n ou x = 50° + 120°n.

$x = 1 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n$

Trois règles issues des symétries du cercle 🖖

Le sinus est l’ordonnée du point sur le cercle. Les deux points d’ordonnée k sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : les angles α et 180° − α vérifient donc sin x = k. Le cosinus est l’abscisse du point ; cette fois, la symétrie se fait par rapport à l’axe des abscisses et donne α et −α. La tangente est le coefficient directeur de la droite passant par O et par le point. Cette droite coupe le cercle en deux points diamétralement opposés, associés aux angles α et α + 180°. La tangente retrouve ainsi ses valeurs à chaque demi-tour ; pour le sinus et le cosinus, il faut un tour complet. Cliquez sur cos x = −0,6 : la droite verticale x = −0,6 coupe le cercle aux angles ±126,87°. Avec tan x = −2, la droite de coefficient directeur −2 le coupe aux angles 116,57° et 296,57°, séparés d’un demi-tour.

Compter les solutions avant de les calculer 🖖

Cliquez sur sin(2x − 30°) = √3/2. Lorsque x varie de 0° à 360°, l’argument 2x − 30° varie de −30° à 690°, soit exactement deux tours. À chaque tour, la spirale croise chacune des deux demi-droites correspondant aux solutions. Vous pouvez donc compter quatre solutions avant d’en avoir calculé une seule. Si vous résolvez sin u = √3/2 uniquement entre 0° et 360°, vous trouvez u = 60° et 120°, puis x = 45° et 75° : deux solutions vous échappent. Sur un nombre entier de tours, en incluant une seule des deux bornes, il y a exactement deux solutions par tour pour le sinus et le cosinus lorsque −1 < k < 1. C’est aussi le cas pour la tangente, quel que soit k, puisque sa période est d’un demi-tour. Pour k = ±1, les deux points se confondent. Enfin, une solution située exactement à une borne de l’intervalle n’est retenue que si l’inégalité à cette borne est large (≤), et non stricte (<).

Diviser par sin x fait perdre des solutions 🖖

L’équation 2 sin x cos x = sin x semble se simplifier en 2 cos x = 1, qui donne 60° et 300° entre 0° et 360°. Pourtant, diviser par sin x suppose sin x ≠ 0. Or, pour 0°, 180° et 360°, les deux membres valent 0 : ces trois angles sont aussi des solutions, perdues lors de la division. La factorisation les conserve : sin x (2 cos x − 1) = 0, donc sin x = 0 ou cos x = 1/2. Vous obtenez cinq solutions au lieu de deux. Vous ne pouvez diviser sans perdre de solution que si les zéros du diviseur ne vérifient pas l’équation. C’est le cas dans √3 sin x = cos x : lorsque cos x = 0, sin x = ±1 et le membre de gauche vaut ±√3. La division par cos x, qui conduit à tan x = 1/√3, ne fait donc perdre aucune solution.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.