Calculateur de triangle : CCC, CAC, ACA, AAC et CCA

Résolvez un triangle à partir de côtés et d'angles connus. Suivez les étapes, comparez les solutions CCA et choisissez la loi des sinus ou des cosinus.

Exemple résolu — Résolveur de Triangle

Cas	SSS

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Quand un seul jeu de données divise la réalité 🖖

Trois mesures ne déterminent pas toujours un seul triangle. Dans le cas CCA, les mêmes données décrivent deux triangles différents, car le sinus ne permet pas de distinguer un angle de son supplémentaire : sin(θ) = sin(180° − θ). Un même jeu de données conduit donc à deux triangles, sans que le calcul permette de privilégier l’un ou l’autre.

Pourquoi il faut toujours une longueur 🖖

Trois valeurs connues suffisent en général à déterminer un triangle, mais au moins une doit être un côté. Trois angles seuls (AAA) fixent la forme, mais pas la taille : un triangle minuscule et un triangle immense peuvent avoir des angles identiques. L'outil applique deux règles : la loi des cosinus quand on connaît les trois côtés (SSS) ou deux côtés et l'angle qu'ils forment (SAS), et la loi des sinus dans les autres cas.

Un cercle caché fixe le rapport 🖖

Dans la loi des sinus, le rapport a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) possède une valeur remarquable : il est égal à 2R, le diamètre de l’unique cercle passant par les trois sommets du triangle, appelé cercle circonscrit. Tout triangle porte ainsi son propre cercle, dont la loi des sinus mesure en réalité la taille. Si le rayon du cercle circonscrit double, chaque rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé double également.

Théorie du triangle — Cas par cas

Quel cas de triangle avez-vous ?

Commencez par les valeurs marquées comme connues. Leur configuration—et non l'apparence du triangle—détermine la méthode. Au moins un côté doit être connu.

CCC - trois côtés c² = a² + b² − 2ab cos C

CAC - deux côtés et l'angle compris c² = a² + b² − 2ab cos C

ACA/AAC - deux angles et un côté C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

CCA - cas ambigu sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

AAA — trois angles ne suffisent pas A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

CCC - trois côtés

Ce que vous connaissez: Les trois longueurs de côté : a, b et c.

Méthode: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemple résolu: a = 3, b = 4, c = 5 donne un triangle rectangle.

Ouvrir ce cas: CCC

CCC - trois côtés. CCC : trois côtés fixes déterminent un triangle si l'inégalité triangulaire est satisfaite. Les trois longueurs de côté : a, b et c. — CCC : trois côtés fixes déterminent un triangle si l'inégalité triangulaire est satisfaite.

CAC - deux côtés et l'angle compris

Ce que vous connaissez: Deux côtés et l'angle compris entre eux.

Méthode: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemple résolu: a = 7, b = 5, C = 60° fixe le côté opposé c.

Ouvrir ce cas: CAC

CAC - deux côtés et l'angle compris. CAC : les côtés surlignés et leur angle compris déterminent un triangle unique. Deux côtés et l'angle compris entre eux. — CAC : les côtés surlignés et leur angle compris déterminent un triangle unique.

ACA/AAC - deux angles et un côté

Ce que vous connaissez: Deux angles et un côté quelconque (ACA ou AAC).

Méthode: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Exemple résolu: A = 40°, B = 75°, c = 8 donne d'abord C = 65°.

Ouvrir ce cas: ACA

ACA/AAC - deux angles et un côté. ACA/AAC : deux angles fixent la forme et un côté fixe l'échelle. Deux angles et un côté quelconque (ACA ou AAC). — ACA/AAC : deux angles fixent la forme et un côté fixe l'échelle.

CCA - cas ambigu

Ce que vous connaissez: Deux côtés et un angle non compris, opposé à l'un d'eux.

Méthode: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Exemple résolu: a = 7, b = 9, A = 40° crée deux triangles valides.

Ouvrir ce cas: CCA ambigu

CCA - cas ambigu. CCA : les mêmes données peuvent se couper en deux points et former deux triangles. Deux côtés et un angle non compris, opposé à l'un d'eux. — CCA : les mêmes données peuvent se couper en deux points et former deux triangles.

AAA — trois angles ne suffisent pas

Ce que vous connaissez: Les trois angles, mais aucune longueur de côté.

Méthode: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Exemple résolu: 30°, 60°, 90° décrit une infinité de triangles de tailles différentes.

AAA exige un côté — ouvrir ACA/AAC

AAA — trois angles ne suffisent pas. AAA : les mêmes angles décrivent de petits et de grands triangles semblables. Les trois angles, mais aucune longueur de côté. — AAA : les mêmes angles décrivent de petits et de grands triangles semblables.

Problèmes entièrement résolus

Résolution du triangle 3-4-5 à partir de ses trois seuls côtés 5 étapes
Le triangle 3-4-5 possède un angle droit, et personne n'a besoin qu'on lui indique dans quel sommet il se trouve. Résolvez-le à partir de ses seuls trois côtés, puis trouvez les deux cercles qui s'y cachent. Il s'agit du cas CCC.
1. Avec trois côtés et aucun angle, la seule voie d'accès est la loi des cosinus, réarrangée pour donner le cosinus de l'angle opposé au côté laissé à gauche.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = 0.8 ⟹ A = 36.869 9^{\circ}$
2. Répétez l'opération pour le deuxième angle. Rien n'est encore une approximation ici — 0,8 et 0,6 sont exacts, et les décimales n'apparaissent que lorsqu'on prend l'arccosinus.
  
  $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = 0.6 ⟹ B = 53.130 1^{\circ}$
3. Le troisième angle s'obtient gratuitement par la somme des angles. Appliquez-y malgré tout la loi des cosinus : le numérateur vaut 9 + 16 − 25 = 0, le cosinus est donc exactement nul. Ce triangle est rectangle parce que 3² + 4² se trouve être égal à 5², et pour aucune autre raison.
  
  $C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}, cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$
4. La formule de Héron ne nécessite que le périmètre et les trois côtés. Elle donne 6, ce qui vaut aussi ½ × 3 × 4 — les deux formules doivent concorder, et vous pouvez constater ici qu'elles le font.
  
  $s = \frac{12}{2} = 6, K = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 = \frac{1}{2} ab$
5. Deux rayons que le panneau ne mentionne jamais. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit, donc R = 2,5. Le cercle inscrit a pour rayon r = (a + b − c)/2 = 1, et l'aire est égale à r × s, ce qui donne à nouveau 6.
  
  $R = \frac{c}{2} = 2.5, r = \frac{a + b - c}{2} = 1, K = r s = 1 \times 6 = 6$
Réponse

L'outil affiche A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° et un périmètre de 12. L'étape 3 est celle qu'il faut retenir : le théorème de Pythagore n'est pas un théorème distinct à côté de la loi des cosinus, c'est la loi des cosinus évaluée à 90°, là où le terme −2ab·cos C s'annule. Tout ce qui fait la renommée de l'angle droit provient de ce seul terme qui devient nul, c'est pourquoi la loi des cosinus s'applique à tous les triangles et le théorème de Pythagore s'applique à un seul type.

$cos C = 0 ⟺ a^{2} + b^{2} = c^{2} : Pythagoras is the cosine law at 9 0^{\circ}$
Deux côtés de 7 et 5 avec un angle de 60° entre eux 5 étapes
Deux côtés de 7 et 5 avec un angle de 60° entre eux. Trouvez le troisième côté et les deux angles restants — et déterminez le deuxième angle par la loi des cosinus plutôt que par la loi des sinus, à dessein. Il s'agit du cas CAC.
1. L'angle connu se situe entre les deux côtés connus, ce qui est exactement la disposition pour laquelle la loi des cosinus est conçue : elle donne le côté opposé à cet angle.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 49 + 25 - 2 (35) (\frac{1}{2}) = 39 ⟹ c = 6.245$
2. À 60°, le cosinus vaut exactement ½, de sorte que l'ensemble du terme −2ab·cos C se réduit à −ab et l'expression devient a² + b² − ab. C'est une forme utile à reconnaître ; 60° est le seul angle pour lequel elle apparaît.
  
  $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} ⟹ c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$
3. Passons à l'angle A. La loi des sinus fonctionnerait et est plus simple à saisir, mais l'arcsinus renvoie un angle dans le premier quadrant et son supplément est tout aussi valide — elle fournirait donc deux candidats sans aucun moyen de choisir. La loi des cosinus renvoie un cosinus muni de son signe, et le cosinus prend chaque valeur une seule fois sur toute la plage de valeurs que peut prendre un angle de triangle.
  
  $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 39 - 49}{62.45} = 0.2402 ⟹ A = 76.102 1^{\circ}$
4. Le dernier angle s'obtient par la somme des angles, qui ne peut pas être ambiguë.
  
  $B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 76.102 1^{\circ} = 43.897 9^{\circ}$
5. L'aire ne nécessite ni les angles que vous venez de trouver, ni le troisième côté : deux côtés et l'angle compris entre eux suffisent déjà.
  
  $K = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (7) (5) sin 6 0^{\circ} = 15.155$
Réponse

L'outil affiche c = 6,245, A = 76,1021° et B = 43,8979°. L'étape 3 explique pourquoi le cas SAS est sûr et le cas SSA ne l'est pas. La loi des cosinus ne peut jamais être ambiguë, car cos θ prend chaque valeur une seule fois entre 0° et 180° ; la loi des sinus peut toujours l'être, car sin θ prend chaque valeur deux fois. Lorsque deux côtés et un angle compris sont donnés, le triangle est déjà déterminé et l'arithmétique se contente de le lire. Le problème suivant porte sur ce qui se passe lorsqu'il ne l'est pas.

$SAS is never ambiguous: cos θ is one-to-one on (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
Le cas SSA de a = 7, b = 9, A = 40° 5 étapes
a = 7, b = 9, A = 40° — et le panneau indique deux solutions tout en n'affichant qu'un seul triangle. Trouvez l'autre. Il s'agit du cas SSA.
1. Abaissez une perpendiculaire depuis le sommet éloigné sur la droite sur laquelle repose l'angle connu. Sa longueur est h = b·sin A = 5,7851, et le côté a doit atteindre cette droite : trop court et il n'y a pas de triangle, valant exactement h et il y en a un, plus long que h et il y en a deux — jusqu'à ce que a dépasse b, moment où le second se referme. Ici h < a < b, donc deux.
  
  $h = b sin A = 9 sin 4 0^{\circ} = 5.7851, h < a < b$
2. La loi des sinus donne le sinus de B, et l'arcsinus renvoie la branche aiguë.
  
  $sin B = \frac{b sin A}{a} = \frac{9 sin 4 0 ^{\circ}}{7} = 0.826441 ⟹ B_{1} = 55.734 9^{\circ}$
3. La branche obtuse a le même sinus. Elle ne subsiste que si elle laisse encore de la place pour un troisième angle, et 40° + 124,2651° est inférieur à 180°, ce qui est le cas.
  
  $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55.734 9^{\circ} = 124.265 1^{\circ}, A + B_{2} = 164.2 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$
4. Complétez le premier triangle : troisième angle, puis le troisième côté par la loi des sinus, puis l'aire.
  
  $C_{1} = 84.265 1^{\circ}, c_{1} = \frac{a sin C _{1}}{sin A} = 10.8356, K_{1} = 31.3423$
5. Complétez le second de la même manière. Mêmes a, b et A — et un triangle de moins d'un tiers de la taille.
  
  $C_{2} = 15.734 9^{\circ}, c_{2} = \frac{a sin C _{2}}{sin A} = 2.9532, K_{2} = 8.5424$
Réponse

Le panneau indique SSA (2 solutions) et affiche h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 et une aire de 31,3423 — la première branche. La seconde, avec c = 2,9532 et une aire de 8,5424, vous est laissée, et c'est le constat honnête de la situation : les données ne déterminent pas le triangle, donc aucun calculateur ne peut vous donner la réponse. Tout ce qui est mesuré de cette façon — un relèvement et deux distances, une portée radar avec un angle hors axe — comporte le même dilemme, et la sortie ne réside jamais dans plus d'arithmétique. C'est une mesure supplémentaire, ou une raison physique pour laquelle l'une des deux est impossible.

$sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ) : two triangles, and the panel prints one$

Parcours

Les règles du triangle, et d'où elles viennent

Mène à Angles dans le cercle

Références (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

CCC - Trois côtés, aucun angle : seule la loi des cosinus permet de commencer. Le triangle 3-4-5 se révèle rectangle, et le calcul en donne la raison : 9 + 16 − 25 vaut zéro, donc le cosinus de cet angle est exactement nul.
CAC - Deux côtés et l’angle qu’ils forment. Il faut commencer par la loi des cosinus, car la loi des sinus exige de connaître un côté et l’angle opposé, ce qui n’est pas encore le cas.
ACA - Deux angles suffisent pour trouver le troisième : avec 40° et 75°, il reste 65°. La suite repose sur un seul rapport de la loi des sinus, et l’unique côté donné fixe l’échelle de tout le triangle.
CCA ambigu - Le cas où trois mesures ne déterminent pas un seul triangle. À partir des mêmes données, le côté inconnu peut mesurer 10,836 ou 2,953, car le sinus ne permet pas de distinguer 55,7° de 124,3° et chacun de ces angles permet de construire un triangle.