Aire et périmètre

Double every length: what doubles, and what quadruples?

Exemple résolu — Aire et périmètre

Perimeter	26,00 u
Area	40,00 u²
Scaled perimeter	52,00 u
Scaled area	160,00 u²
Compacité Q	0,744
Original	26,00 u · 40,00 u²

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le périmètre est linéaire et l’aire quadratique 🖖

Si chaque longueur est multipliée par k, le périmètre gagne un facteur k. L’aire dépend de deux directions et gagne donc k².

Une grande pizza révèle le carré 🖖

Une pizza de 12 pouces n'est pas le double d'une pizza de 6 pouces. Son rayon est doublé. Par conséquent, son aire se retrouve multipliée par quatre, tandis que sa circonférence n'est que doublée.

L’aire ne détermine pas le périmètre 🖖

Une même aire peut avoir plusieurs périmètres. Étirez un rectangle en gardant ab constant et la longueur de son bord augmente.

Problème entièrement résolu

Ce que 24,94 mètres de bordure auraient pu contenir 6 étapes
Chargez le préréglage trapezium : des côtés parallèles de 10 m et 6 m, 4 m de l'un à l'autre, en lisant le u de l'outil comme votre mètre. Calculez l'aire du massif et la bordure qu'il exige. Décidez ensuite si c'est la forme ou la taille qui vous coûte de la surface plantable, et si construire le massif une fois et demie plus grand y remédierait.
1. Les deux côtés parallèles n'ont pas la même longueur : il faut donc d'abord trouver la largeur unique qui ferait le même travail. Découpez le triangle rectangle à une extrémité et posez-le contre l'autre. L'encoche qu'il laisse est exactement la forme qu'il comble, et il reste un rectangle de 8 m de large sur 4 m de haut. L'oblique n'entre jamais dans l'aire.
  
  $\frac{a + b}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8 m, A = 8 \times 4 = 32.00 m^{2}$
2. La bordure, ce sont les quatre côtés, et deux d'entre eux penchent. Le massif perd 4 m de largeur sur sa hauteur, 2 m à chaque extrémité, donc chaque côté penché est l'hypoténuse d'un triangle de 4 m de haut et 2 m de large : √20, un peu moins de 4,5 m. La fiche du périmètre affiche 24,94 m.
  
  $\frac{a - b}{2} = 2, c = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 4.4721, P = 10 + 6 + 2 c = 24.94 m$
3. La troisième fiche, la compacité, affiche 0,646. Q est défini par 4πA/P², ce qui ressemble à un score sans rien derrière, jusqu'à ce que vous demandiez ce que vaut P²/4π à lui seul.
  
  $Q = \frac{4 π A}{P ^{2}} = \frac{4 π \times 32.00}{24.9 4 ^{2}} = 0.646$
4. C'est l'aire d'un cercle fait de la même bordure. Redressez les 24,94 m, fermez-les en anneau, et le rayon vaut P/2π = 3,9700 m, enfermant 49,51 m². Q est donc l'aire de ce massif divisée par celle du cercle, et 0,646 dit que le trapèze garde moins des deux tiers de ce que sa propre bordure peut contenir.
  
  $r_{\circ} = \frac{P}{2 π} = \frac{24.9443}{2 π} = 3.9700 m, A_{\circ} = π r_{\circ}^{2} = \frac{P ^{2}}{4 π} = 49.51 m^{2}$
5. L'écart représente 17,51 m² de massif payés et non plantables. Retournez la phrase et elle dit la même chose : un massif circulaire contenant vos 32,00 m² demande 20,05 m de bordure, soit 4,89 m de moins, environ un cinquième du rouleau.
  
  $A_{\circ} - A = 49.51 - 32.00 = 17.51 m^{2}, P_{\circ} = 2 π A = 2 32 π = 20.05 m$
6. La taille n'y change rien. Réglez k sur 1,5 : le massif atteint 72,00 m² derrière 37,42 m de bordure, et Q ne bouge pas, car le k² que l'aire gagne est annulé par le k² qui vient du carré du périmètre. Agrandir cette forme jusqu'à égaler les 49,51 m² du cercle demanderait k = 1,2439 et 31,03 m de bordure, soit 6,08 m de plus que ce dont le cercle a besoin pour la même aire.
  
  $k = 1.5 : P^{'} = 37.42, A^{'} = 72.00, Q^{'} = \frac{4 π k ^{2} A}{( k P ) ^{2}} = Q = 0.646; k = \frac{49.51}{32.00} = 1.2439 \Rightarrow P^{'} = 31.03 m$
Réponse

32,00 m² derrière 24,94 m de bordure, et c'est la forme qui vous coûte. La même bordure fermée en cercle contient 49,51 m² : 17,51 m² de massif sont achetés et jamais reçus. Le construire une fois et demie plus grand n'y change rien ; à k = 1,5 l'aire atteint 72,00 m² et Q reste à 0,646, exactement là où il était.

Parce que Q élimine tout facteur k, c'est ici la seule fiche qui rend compte de la forme et non de la taille. Elle a aussi un plafond. Rien sur cet outil n'atteint un Q supérieur à 1 : le cercle enferme plus d'aire que toute autre figure de même périmètre. Jakob Steiner en publia l'argument en 1838, en montrant que toute forme non circulaire peut être améliorée. Cela laisse ouverte la question de savoir si une meilleure forme existe, et Weierstrass fournit plus tard la preuve d'existence manquante. Un polygone régulier gravit l'écart un côté à la fois : 0,605 à trois côtés, 0,785 à quatre, 0,865 à cinq, 0,907 à six, et jamais tout à fait le cercle.

$Q = \frac{A}{P ^{2} /4 π} = \frac{A}{A _{\circ}} \leq 1, Q (k) = Q \forall k > 0$

Parcours

Les règles du triangle, et d'où elles viennent

Mène à Triangles semblables

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-04

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Exemples de problèmes

8 × 5 rectangle - Un périmètre de 26,00 u et une aire de 40,00 u², à côté de la copie doublée à 52,00 u et 160,00 u². Les deux panneaux sont dessinés sur le même quadrillage unitaire. Les 40 carrés de l'un et les 160 de l'autre sont donc là pour que vous puissiez les compter, plutôt que de simplement l'admettre.
6 to 12 inch pizza - Le rayon 3 correspond à la pizza de 6 pouces : 18,85 u de croûte autour de 28,27 u² de garniture. La ligne mise à l'échelle désigne la version de 12 pouces, affichant 37,70 u et 113,10 u². Deux pizzas de 6 pouces emploient exactement ces mêmes 37,70 u de croûte pour vous donner moitié moins de pizza.
trapezium - Des côtés parallèles de 10 et 6 associés à une hauteur de 4 génèrent une aire de 32,00 u², puisque seule la moyenne des deux côtés parallèles entre en jeu. Le périmètre s'élève à 24,94 u. La compacité Q = 0,646 est la plus basse des trois figures préréglées. Cette forme vous procure le moins d'aire par unité de contour.