Explorateur de géométrie analytique

L'outil affiche la droite passant par A et B sous la forme 4x − 3y = 1, et indique que le segment mesure exactement 5. Demandez-lui à quelle distance cette droite passe d'un point qui n'y figure pas, comme l'origine, et il restera muet. Déduisez cette distance à partir de ces deux seuls points.

1. Tout ce qui suit découle d'une seule soustraction. B − A représente le trajet de A vers B : trois unités horizontalement et quatre verticalement. C'est exactement ce qu'indiquent les deux lignes des côtés.

   $$\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,5-1)=(3,4)$$

2. Ces côtés forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment. Sa longueur se calcule donc par le simple théorème de Pythagore. Il s'agit du cas où la racine tombe juste : 25 est un carré parfait, la ligne du résultat exact affiche donc 5 plutôt qu'une racine irrationnelle.

   $$|AB|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

3. L'équation ne nécessite aucune division. Chaque point de la droite présente la même pente par rapport à A. L'élimination du dénominateur transforme cette relation en Δy·x − Δx·y, expression égale à la valeur qu'elle prend en A. C'est la forme présentée sur la page. C'est aussi la seule qui reste valide pour un segment vertical, cas où l'équation y = mx + c ne peut s'écrire.

   $$\Delta yx-\Delta xy=\Delta y{a}_x-\Delta x{a}_y:4x-3y=4(1)-3(1)=1$$

4. Examinez maintenant les coefficients que vous venez de calculer. (4, −3) correspond à (Δy, −Δx), c'est-à-dire le segment ayant subi une rotation d'un angle droit. Faire tourner un vecteur ne modifie pas sa longueur. Le vecteur normal mesure donc 5, le même 5 que AB. Il ne s'agit pas d'un hasard lié à cet exemple. Cette propriété se vérifie pour toute paire de points, et c'est elle qui rend l'étape suivante immédiate.

   $$\mathbf{n}=(\Delta y,-\Delta x)=(4,-3),|\mathbf{n}|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5=|AB|$$

5. Déplacez-vous d'une unité le long du vecteur normal et le membre de gauche variera de 5, ce qui correspond à la longueur du vecteur normal lui-même. La valeur qu'il prend en n'importe quel point équivaut ainsi à la distance à la droite multipliée par 5. Introduisez les coordonnées de l'origine. Le numérateur se réduit à 1, le dénominateur est ce même 5, et la droite passe à exactement un cinquième de l'origine.

   $$d(P)=\frac{|4p_x-3p_y-1|}{|\mathbf{n}|},d(O)=\frac{|0-0-1|}{5}=\frac{1}{5}=0.2$$

6. Parcourez ce cinquième et vous devriez atterrir sur la droite elle-même. Le pied de la perpendiculaire se situe en (0,16 ; −0,12). En le réinjectant dans 4x − 3y, on obtient 0,64 + 0,36 = 1. Vous vous trouvez bien sur la droite, à 0,2 de votre point de départ.

   $$F=O-\frac{\mathbf{n}\cdot O-1}{|\mathbf{n}{|}^2}\mathbf{n}=\frac{1}{25}(4,-3)=(0.16,-0.12),4(0.16)-3(-0.12)=0.64+0.36=1$$

7. Une conséquence s'en déduit gratuitement. Si le dénominateur de la formule de la distance est |AB|, alors |AB| multiplié par cette distance correspond au double de l'aire du triangle ayant O, A et B pour sommets.

   $$[OAB]=\frac{1}{2}|AB|d(O)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 0.2=0.5,\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|1\cdot 5-4\cdot 1|=0.5$$

Le panneau indique Δx = 10,0 et Δy = −10,0. Déterminez par combien de points du quadrillage ce segment passe, et demandez-vous si ces deux seules composantes suffisaient pour le savoir.

1. La longueur d'abord, puisqu'elle sera divisée par la suite. √(10² + 10²) = √200 = 10√2, un résultat que le panneau affiche sous deux formes : 14,14 pour la valeur arrondie et 10√2 en valeur exacte.

   $$\overrightarrow{AB}=(10,-10),|AB|=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}=14.14$$

2. Considérez le segment comme un parcours. X(t) = A + t(Δx; Δy) = (−5 + 10t; 6 − 10t), où t varie de 0 à 1.

   $$X(t)=A+t(\Delta x,\Delta y)=(-5+10t,6-10t),0\le t\le 1$$

3. X(t) possède des coordonnées entières lorsque tΔx et tΔy le sont également. Cela se produit exactement quand t est un multiple de 1/g, g étant le plus grand commun diviseur de |Δx| et |Δy|. Ici g = pgcd(10; 10) = 10, ce qui signifie que t progresse par dixièmes.

   $$X(t)\in {\mathbb{Z}}^2⟺t\Delta x,t\Delta y\in \mathbb{Z}⟺t=\frac{m}{g},g=\gcd (|\Delta x|,|\Delta y|)=\gcd (10,10)=10$$

4. Chaque dixième fait avancer de (Δx/g; Δy/g) = (1; −1). Vous obtenez ainsi neuf points situés strictement entre les extrémités : (−4; 5), (−3; 4), et ainsi de suite jusqu'à (4; −3). Ces points sont régulièrement espacés de √2, car la longueur se divise elle aussi par g.

   $$\left(\frac{\Delta x}{g},\frac{\Delta y}{g}\right)=(1,-1):(-4,5),(-3,4),\dots ,(4,-3)\text{— }g-1=9\text{points, spaced }\frac{|AB|}{g}=\sqrt{2}$$

5. Cette même décomposition permet de déterminer quand la longueur est entière. Puisque |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), le radical dépend entièrement de la paire réduite. Ici, cette paire vaut (1; 1) et rien ne peut faire disparaître le √2. En revanche, le préréglage 3-4-5 fixe g = 1 avec une paire réduite de (3; 4). Il s'agit des cathètes d'un triplet pythagoricien, voilà pourquoi cette distance affiche une valeur exacte de 5.

   $$|AB|=g\sqrt{{\left(\frac{\Delta x}{g}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta y}{g}\right)}^2}=10\sqrt{1^2+1^2};(3,4):g=1,\sqrt{3^2+4^2}=5$$

6. Le milieu ne réclame aucun calcul supplémentaire. Il correspond au point où t = ½. Il tombe donc sur le quadrillage précisément lorsque ½ est un multiple de 1/g, c'est-à-dire quand g est pair. Ici g = 10, et le milieu (0; 1) se trouve être le cinquième des neuf points. Sur le préréglage 3-4-5, g = 1 et le point (2,5; 3) se situe entre les lignes du quadrillage.

   $$M=\left(\frac{a_x+b_x}{2},\frac{a_y+b_y}{2}\right)\in {\mathbb{Z}}^2⟺\Delta x,\Delta y\text{both even}:(0,1)✓,(3,4)\Rightarrow (2.5,3)\times$$