Labo des triangles semblables

Fixez les trois côtés, puis faites glisser le rapport. Les angles restent immobiles, les côtés suivent k, et l’aire suit k × k.

Exemple résolu — Labo des triangles semblables

Côtés	3, 4, 5 → 6, 8, 10
Périmètre	12 → 24 (×2)
Aire	6 → 24 (×4)
Angles	36,87°, 53,13°, 90,00° — inchangés
Copies du petit triangle qui tiennent dedans	4

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Deux fois plus haut, c’est quatre fois plus de peinture 🖖

C’est l’erreur d’arithmétique qui coûte le plus cher, et pourtant le calcul n’est pas en cause. Doubler les dimensions d’une figure revient à en obtenir quatre exemplaires, et non deux. Une pizza dont le diamètre est doublé équivaut à quatre pizzas. Une photographie deux fois plus large exige quatre fois plus de pixels. Une maquette à l’échelle 1:2 demande un quart de la matière, pas la moitié. Donnez à k une valeur entière : l’outil ne se contente plus de l’affirmer. Le grand triangle est découpé selon le nombre d’exemplaires qu’il contient réellement, et vous pouvez les compter.

Pourquoi il y en a exactement k² 🖖

Partagez chaque côté du triangle agrandi en k parts égales et reliez les marques par des parallèles aux trois côtés. Le résultat pave sans trou, et toutes les pièces sont superposables au triangle de départ — il y en a k², dont k sur la rangée du bas. Rien dans cet argument ne dit quelle forme avait le triangle, et c’est pourquoi l’éclat très fin donne 16 tout comme le 3-4-5. Euclide énonce le résultat général dans les Éléments VI.19 : « les triangles semblables sont entre eux en raison doublée de leurs côtés homologues » — et « raison doublée » est sa façon de dire le carré du rapport.

C’est la mesure que l’on attribue à Thalès 🖖

Un bâton et son ombre forment un triangle ; un arbre et son ombre en forment un autre. Le soleil est assez loin pour que ses rayons arrivent parallèles : les deux triangles ont donc des angles égaux, donc des côtés proportionnels — et une hauteur inaccessible devient trois longueurs que n’importe qui peut arpenter. C’est toute la méthode pour mesurer une pyramide par son ombre, et c’est le même carré que l’on remplit dans la grille de multiplication en croix : 3 est à 4 ce que l’arbre est à 20. Ce sont les triangles semblables qui rendent cette grille légitime au lieu d’en faire une astuce.

Problème entièrement résolu

Combien de copies du triangle 3-4-5 d'origine tiennent dans l'agrandissement 5 étapes
Doublez chaque côté d'un triangle 3-4-5 et l'aire ne double pas. Déterminez comment varie chaque quantité, et combien de copies du triangle d'origine s'insèrent dans l'agrandissement.
1. Multiplier les trois côtés par un même facteur conserve la similitude du triangle, et le triangle 6-8-10 satisfait toujours le théorème de Pythagore — comme il se doit, puisque la relation est homogène par rapport aux côtés.
  
  $(3, 4, 5) \times 2 (6, 8, 10), 6^{2} + 8^{2} = 100 = 1 0^{2}$
2. Le périmètre étant une somme de longueurs, il varie selon ce même facteur. Douze devient vingt-quatre.
  
  $P : 12 \to 24 = k P, A : 6 \to 24 = k^{2} A$
3. L'aire étant le produit de deux longueurs, elle varie selon le carré de ce facteur. Six devient vingt-quatre — le même nombre que pour le périmètre ici, ce qui est une coïncidence propre à ces côtés particuliers et une bonne raison de ne pas généraliser à partir d'un seul exemple.
4. Les angles ne changent pas du tout. Ils ne dépendent que des rapports de longueurs des côtés, et le changement d'échelle laisse chaque rapport inchangé — ce qui est la définition même de semblable.
  
  $tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36.8 7^{\circ}, tan^{- 1} \frac{4}{3} = 53.1 3^{\circ}, 9 0^{\circ} — unchanged$
5. Ainsi, quatre copies du triangle d'origine s'insèrent dans l'agrandissement, et cela se voit : le triangle dont les côtés ont été doublés se découpe en quatre triangles isométriques au triangle d'origine.
  
  $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2} = 4 ⟹ 4 copies tile the enlargement$
Réponse

L’outil affiche des côtés de 6, 8 et 10, un périmètre de 12 → 24, une aire de 6 → 24, des angles inchangés et 4 exemplaires contenus dans la grande figure. La règle tient en une ligne : une longueur varie comme k, une aire comme k², un volume comme k³ et un angle comme k⁰ — l’exposant correspond à la dimension de la grandeur mesurée. Voilà pourquoi doubler les dimensions du moule d’une recette multiplie l’aire de sa base par quatre et fait rater le gâteau. De même, un animal deux fois plus grand fait peser huit fois plus de poids sur une section osseuse seulement quatre fois supérieure : la contrainte exercée sur ses pattes double, si bien qu’il ne peut pas être une simple copie agrandie de lui-même. Réglez le facteur sur 3 : l’aire est multipliée par neuf.

$P \propto k, A \propto k^{2}, V \propto k^{3}, angles \propto k^{0}$

Parcours

Les règles du triangle, et d'où elles viennent

Mène à Pythagore le facteur d'échelle — agrandir une figure multiplie chaque longueur par k et ne déplace aucun angle.

Références (3)

Equal angles give proportional sides: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
The area result, and the phrase "duplicate ratio": Euclid, Elements, Book VI, Proposition 19 — "Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides." David E. Joyce's edition, Clark University.
Thales and the shadow measurement: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Thales of Miletus", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews — which sets out the ancient reports of the pyramid measurement and their disagreements.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-11

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Mathématiques →

Exemples de problèmes

Doubler - Les côtés 3, 4, 5 deviennent 6, 8, 10. Le périmètre double, de 12 à 24 — mais l’aire passe de 6 à 24, quatre fois plus, et le grand triangle est dessiné avec exactement 4 copies du petit.
Bâton et arbre - Un bâton de 3 m avec une ombre de 4 m, et un arbre dont l’ombre fait 20 m. Même soleil, même triangle, donc l’arbre mesure 15 m. Son aire, elle, vaut 25 fois celle du bâton, pas 5.
Équilatéral - Les trois angles restent à 60°, quoi que fasse k. Les côtés 6 deviennent 9, le périmètre 18 devient 27, et l’aire est multipliée par 2,25.
Réduire de moitié - Réduire, c’est la même règle à l’envers. Diviser chaque côté par deux divise le périmètre par deux, de 48 à 24, et l’aire par quatre, de 96 à 24.
Un éclat très fin - La forme, ce sont les angles, pas l’allure. Cet éclat se met à l’échelle exactement comme un triangle confortable : ×4 sur les côtés, ×16 sur l’aire, et 16 copies tiennent dedans.