Théorèmes des angles dans le cercle

A et B se trouvent aux points du cercle repérés par 330° et 110°, tandis que P est au point repéré par 220°. Le panneau indique que l’angle en P mesure 70° et l’angle au centre 140°. Démontrez le facteur 2 au lieu de simplement le relever, puis déterminez quelle hypothèse sur la position de P se cache dans cette démonstration.

1. Mesurez d'abord l'arc. En allant dans le sens antihoraire de A à 330° jusqu'à B à 110°, on parcourt 140°, et cet arc est celui sur lequel P ne se trouve pas. L'angle au centre qui l'intercepte vaut 140° par définition, car un angle au centre est tout simplement égal à son arc.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=110^{\circ }-330^{\circ }(\text{mod }360)=140^{\circ }$$

2. Passons maintenant à la construction, qui constitue toute la démonstration : tracez la droite allant de P au centre O et prolongez-la jusqu'à ce qu'elle sorte du cercle en D. Rien d'autre n'est ajouté.

3. OA et OP sont tous deux des rayons, donc le triangle OAP est isocèle et les angles en A et en P sont égaux. Appelons α cet angle, de sorte que ∠OPA = ∠OAP = α.

   $$OA=OP=r\Rightarrow \angle OPA=\angle OAP=\alpha$$

4. L'angle ∠AOD est extérieur au triangle OAP au sommet O, et un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs qu'il ne touche pas : ∠AOD = α + α = 2α.

   $$\angle AOD=\alpha +\alpha =2\alpha$$

5. Le même raisonnement de l’autre côté donne ∠DOB = 2β, où β = ∠OPB. Additionnons ces deux angles, ce qui est valable tant que le prolongement de OP rencontre le cercle sur l’arc AB : ∠AOB = 2α + 2β = 2(α + β), et α + β est précisément ∠APB.

   $$\angle AOB=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\angle APB$$

6. L’angle au centre est donc le double de l’angle inscrit ; ici, 2 × 70° = 140°. Voyez maintenant ce que la démonstration a employé : deux rayons, un triangle isocèle de chaque côté et un angle extérieur. Ni longueur, ni coordonnées, ni mesure de l’arc.

   $$2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$$

Les deux points marqués voient la corde AB sous un angle de 60°. Déterminez la valeur de cet angle depuis un point situé hors du cercle, puis déduisez-en où un buteur devrait se placer pour maximiser son angle de vue sur les poteaux.

1. Les points A et B sont situés à 320° et 80°. L'arc qui les relie et sur lequel P ne se trouve pas mesure donc 120°. Sa moitié correspond bien à 60°. L'angle en Q donne la même valeur car ce point appartient au même arc de cercle que P.

   $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=80^{\circ }-320^{\circ }(\mathrm{mod}360)=120^{\circ }⟹\angle APB=\angle AQB=60^{\circ }$$

2. Observons maintenant la corde elle-même. L'angle au centre interceptant cet arc vaut le double de l'angle inscrit. La longueur d'une corde est égale à 2R multiplié par le sinus de la moitié de l'angle au centre. Sur ce cercle de rayon 1, on trouve ainsi AB = 2 sin 60° = √3.

   $$AB=2R\sin (\angle APB)=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}=1.7321(R=1)$$

3. Lisez cette ligne à l'envers. Fixez la corde et laissez le cercle varier. Le sinus de l'angle inscrit vaut AB ÷ 2R. Un cercle plus petit passant par A et B produit ainsi un angle plus grand. Le plus petit cercle possible possède le diamètre AB et donne un angle de 90°. Le cercle sur lequel vous vous placez détermine tout.

   $$\sin (\angle APB)=\frac{AB}{2R}⟹R\text{smaller}\Rightarrow \angle APB\text{larger},R=\frac{AB}{2}\Rightarrow \angle APB=90^{\circ }$$

4. Hors du cercle, l'angle ne mesure plus 60°. À l'intérieur, les deux droites coupent un second arc et l'angle vaut la moitié de la somme des deux. Légèrement à l'intérieur de l'arc, il affiche environ 71,6°. À l'extérieur, il correspond à la moitié de la différence, soit environ 51,4°. Le cercle marque la limite exacte entre voir plus et voir moins.

   $$\text{inside: }\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=71.6^{\circ }>60^{\circ }>51.4^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}-\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)\text{: outside}$$

5. Le problème du tir est maintenant résolu. Les poteaux de rugby sont écartés de 5,6 m. Imaginons un essai marqué à 10 m du poteau le plus proche. Depuis la base de la ligne de recul, les distances aux poteaux s'élèvent donc à 10 m et 15,6 m. Chaque point offrant le même angle de vue sur ces poteaux se situe sur un unique cercle passant par eux.

   $$a=10\mathrm{m},b=15.6\mathrm{m},\tan \angle =\frac{(b-a)x}{x^2+ab}$$

6. Chaque point de la ligne de recul appartient à un unique cercle de ce type. L'angle s'avère le plus grand sur le plus petit cercle atteignant la ligne, celui-ci lui étant tangent. Ce point de contact définit une tangente issue de la base. La longueur de cette tangente équivaut à la moyenne géométrique des deux segments de la sécante, d'où x² = 10 × 15,6 = 156.

   $$x^2=FA\cdot FB=ab=156⟹x^{\ast }=\sqrt{156}=12.49\mathrm{m}$$

7. On trouve ainsi x = √156 = 12,49 m, position où l'angle atteint 12,64°. À la marque des 10 m, il vaut 12,34°. Il tombe à 11,39° à 20 m, puis descend à 9,04° à 30 m.

   $$\tan {\angle }_{\max }=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}=\frac{5.6}{24.98}=0.2242\Rightarrow 12.64^{\circ };\angle (10)=12.34^{\circ },\angle (20)=11.39^{\circ },\angle (30)=9.04^{\circ }$$