Développer et factoriser

Modifiez les parenthèses et observez le rectangle. Ses quatre morceaux correspondent aux quatre termes. Passer à la factorisation revient simplement à aborder le problème dans l'autre sens.

Exemple résolu — Développer et factoriser

Discriminant	1 (un carré parfait)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Les quatre lettres de FOIL correspondent à quatre rectangles 🖖

Placez un rectangle de côtés x + 2 et x + 3 à côté de votre développement. Il se divise en quatre morceaux puisque chaque côté se sépare en deux : un x², deux bandes de 3x et 2x, et un 6 dans le coin. Ces quatre aires représentent vos quatre termes. Leur somme donne l'aire totale, ce qui correspond exactement à l'action de développer. L'ordre dans lequel vous les additionnez n'a aucune importance. C'est pour cela que tous les moyens mnémotechniques fonctionnent, mais surtout qu'ils sont superflus. Rendez un coefficient négatif, et l'une des bandes sort du bloc en se hachurant. Une aire négative devient une soustraction. Le modèle visuel tient toujours la route, ce qui est loin d'être le cas d'une simple formule récitée.

Factoriser repose sur la même image, voilà pourquoi c'est plus difficile 🖖

Passez à Factoriser et le problème s’inverse : l’aire est connue, quelles étaient les dimensions du rectangle ? Les mathématiques restent les mêmes. Le développement est un calcul, tandis que la factorisation demande une recherche : vous connaissez la somme des quatre pièces et devez les disposer en rectangle. Cette asymétrie explique pourquoi l’un s’enseigne comme une méthode et l’autre comme un savoir-faire. C’est elle aussi qui rend facile la multiplication de deux nombres premiers, alors que la décomposition de leur produit est au fondement du chiffrement RSA.

Un test pour savoir si la recherche en vaut la peine 🖖

Avant de chercher des facteurs, calculez b² − 4ac. Si le résultat est un carré parfait, le trinôme se factorise sur les entiers. Sinon, aucune disposition ne forme de rectangle et tous les essais du monde n’y changeront rien. Cliquez sur Non factorisable : le discriminant de x² + x + 1 vaut −3 ; le rectangle n’existe tout simplement pas. Ce même discriminant détermine le nombre de racines d’une équation du second degré, et ce n’est pas un hasard : les dimensions du rectangle sont les racines sous une autre forme, si bien que chercher des dimensions entières revient à chercher des racines rationnelles. En faisant varier a de 1 à 8 et b, c de −12 à 12, on obtient 733 trinômes dont le discriminant est un carré parfait ; tous les 733 se factorisent.

Problèmes entièrement résolus

Factoriser 6x² + 5x − 4 pour dire si cela fonctionne 7 étapes
Factorisez 6x² + 5x − 4 et déterminez à l'avance si l'opération aboutira.
1. Calculez d'abord le discriminant. Cela prend une ligne et détermine s'il y a quelque chose à chercher.
  
  $b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 (6) (- 4) = 25 + 96 = 121$
2. 121 vaut 11², une factorisation sur les entiers est donc possible. La recherche devient pertinente.
  
  $121 = 1 1^{2}$
3. Les racines découlent de ce même nombre. Puisque le discriminant est un carré parfait, elles sont rationnelles.
  
  $x = \frac{- 5 \pm 11}{12} = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$
4. Une racine de 1/2 implique un facteur (2x − 1). Une racine de −4/3 implique un facteur (3x + 4). Éliminer les dénominateurs transforme directement la racine en parenthèse.
  
  $(2 x - 1) (3 x + 4)$
5. Redéveloppez systématiquement pour vérifier. Les deux bandes centrales valent 8x et −3x. Elles s'additionnent bien pour donner le 5x attendu.
  
  $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4 ✓$
6. Remplacez maintenant le terme constant par −5, puis reprenez la première étape. Le discriminant devient 25 + 120 = 145. Ce n’est pas un carré parfait : il n’existe donc aucun rectangle à côtés entiers, et il est inutile d’en chercher un.
  
  $5^{2} - 4 (6) (- 5) = 25 + 120 = 145 \neq = k^{2}$
7. C'est ici que l'outil s'arrête et qu'une nuance s'impose. 6x² + 5x − 5 se factorise très bien sur les nombres réels, avec des parenthèses contenant √145. Dire qu'une expression « ne se factorise pas » sous-entend toujours « pas avec les nombres que nous avons convenu d'utiliser ». Et cette convention est rarement explicitée.
  
  $6 x^{2} + 5 x - 5 = 6 (x - \frac{- 5 + 145}{12}) (x - \frac{- 5 - 145}{12})$
Réponse

(2x − 1)(3x + 4), un résultat annoncé par le discriminant de 121 = 11² avant même de commencer. Remplacez le −4 par un −5, le discriminant passe à 145. Ce n'est plus un carré parfait. Le trinôme cesse d'être factorisable sur les entiers, mais le reste tout à fait sur les réels.
La différence de deux carrés, et le nombre 8 051 7 étapes
Développez (x − 5)(x + 5) et dites pourquoi le terme du milieu disparaît. Calculez ensuite 95 × 105 de tête, et décidez si la même image peut démonter un simple nombre.
1. Les quatre morceaux du rectangle, dans l'ordre de lecture : le coin qui porte x², les deux bandes, et le coin constant.
  
  $x \cdot x + x \cdot 5 + (- 5) \cdot x + (- 5) \cdot 5$
2. Les deux bandes valent 5x et −5x. Elles s'annulent, et le trinôme qu'affiche le panneau n'a aucun terme du milieu.
  
  $= x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} + 0 x - 25$
3. La fiche du discriminant affiche 100, un carré parfait, donc des parenthèses à coefficients entiers existent. Ici nous le savons déjà, puisque nous les avons construites.
  
  $b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (- 25) = 100 = 1 0^{2}$
4. Cette annulation n'était pas un coup de chance. Donnez aux deux constantes des signes opposés et les bandes deviennent le même rectangle compté deux fois, une fois ajouté et une fois retranché, quels que soient les nombres choisis.
  
  $(x + q) (x - q) = x^{2} + q x - q x - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Rien dans cet argument n'exige que x soit une lettre. Mettez-y 100 et une multiplication devient une soustraction.
  
  $95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
6. Deux nombres quelconques s'écrivent comme un milieu et un écart de part et d'autre, donc cela marche sur toute paire dont la moyenne est facile à former.
  
  $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2, 500 - 9 = 2, 491$
7. Lu à l'envers, le procédé fait le travail le plus dur. Pour factoriser 8 051, cherchez un carré qui le dépasse d'un autre carré : 90² est le premier qui convient, et les deux parenthèses sont les facteurs. C'est la méthode de Fermat, et elle est rapide exactement quand les deux facteurs sont proches l'un de l'autre, comme le sont 83 et 97.
  
  $9 0^{2} - 8, 051 = 8, 100 - 8, 051 = 49 = 7^{2} ⟹ 8, 051 = 83 \times 97$
Réponse

x² − 25, et 95 × 105 = 9 975. Le terme du milieu s'en va parce que les deux bandes sont égales et opposées, ce qui ne laisse debout que q². Faites tourner l'identité à l'envers et elle factorise des nombres au lieu d'expressions : 8 051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) ⟺ N = m^{2} - d^{2} = (m - d) (m + d)$

Parcours

Au-delà du second degré

Mène à Résolution du second degré la forme produit.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

(x + 2)(x + 3) - Quatre morceaux : x², 3x, 2x et 6. Les deux bandes centrales forment le 5x. En les percevant comme des rectangles distincts, le terme central devient une somme évidente au lieu d'un mystère.
Plus difficile - (2x − 1)(3x + 4) possède un côté négatif. Une bande est donc dessinée à l'extérieur du bloc et hachurée. Son aire vaut −3x. Dans cette représentation, une aire négative correspond précisément à une soustraction.
Différence de carrés - (x − 5)(x + 5) donne 5x et −5x, qui s'annulent. Le rectangle comporte deux bandes de même taille et de signes opposés. C'est là toute l'essence de la différence de deux carrés.
Non factorisable - Le discriminant de x² + x + 1 vaut −3. Aucun rectangle à côtés entiers ne possède cette aire, et aucun essai n’en fera apparaître un : le discriminant l’indiquait avant même le début de la recherche.