Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Explorateur de fonctions rationnelles

déplacez le zéro, le pôle et le gain, et observez comment la géométrie des branches change

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Placez le zéro sur le pôle et la divergence disparaît 🖖

Amenez le zéro exactement sur le pôle et il se produit quelque chose d’étrange : la courbe cesse d’exploser et s’aplatit en une droite horizontale. Avec z = p, le facteur (x − z) simplifie entièrement le dénominateur et il ne reste que la constante k partout — sauf en x = p, où la formule d’origine divise toujours par zéro. Le graphe est donc une droite dont un point a été retiré, et cet outil annonce alors un trou en (p, k) au lieu d’une asymptote. Une racine du dénominateur n’est un pôle que si le numérateur ne la simplifie pas ; sinon c’est un trou effaçable, invisible à tout niveau de zoom.

Ici toute courbe est une hyperbole 🖖

L'outil calcule f(x)=k(x−z)/(x−p) : la distance à un zéro divisée par la distance à un pôle, mise à l'échelle par k. Quelles que soient les valeurs choisies, le graphe garde toujours la même forme — une hyperbole, la courbe même de y=1/x. Déplacer z et p ne fait que la translater ; changer k l'étire et inverse le sens d'ouverture des deux branches. À retenir : maîtriser y=1/x, c'est toutes les maîtriser.

Un pôle n'est infini que par choix 🖖

Écrite (ax+b)/(cx+d), toute fonction à un zéro et un pôle est une transformation de Möbius — les applications qui régissent l'analyse complexe et la géométrie hyperbolique. Ajoutez un unique point à l'infini (la sphère de Riemann) et le pôle cesse d'être une catastrophe : x=p s'envoie simplement sur ce nouveau point, et x=∞ sur l'asymptote horizontale y=k. Sur la sphère, la fonction est une bijection lisse et réversible — l'« explosion » n'est qu'un artefact de la carte plane.

FONCTIONS RATIONNELLES — OÙ LE GRAPHE EXPLOSE-T-IL, ET OÙ SE STABILISE-T-IL ?

Dans quel cas de fonction rationnelle êtes-vous ?

f(x) = k(x − z)/(x − p) ne contient que trois nombres, et chacun possède un trait du graphe. Le zéro z est l’endroit où la courbe croise l’axe. Le pôle p est l’endroit où le dénominateur s’annule et où la courbe part à l’infini. Le gain k est la valeur vers laquelle elle se stabilise loin des deux. Lisez ces trois nombres dans la formule et le graphe est esquissé avant le moindre point tracé.

Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement x = p, y = k
Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞
Gain négatif — le même squelette, les branches permutées k < 0 ⇒ f → −f
Pôle et zéro presque confondus — presque un trou (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

01

Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement

Ce que vous savez: Un pôle et un zéro à distance confortable. L’asymptote verticale se dresse en x = p, l’horizontale en y = k, et la courbe croise l’axe en x = z.

Trait: x = p, y = k

Exemple résolu: f(x) = (x − 1)/(x + 2) : asymptote en x = −2, croisement en x = 1, et f → 1 au loin dans les deux sens. En x = 0 la valeur vaut −0,5.

Ouvrir ce cas: basique
Bien séparés — une asymptote verticale, une horizontale, un point de croisement. Le pôle et le gain tracent les deux asymptotes ; le zéro fixe l’endroit du croisement. Un pôle et un zéro à distance confortable. L’asymptote verticale se dresse en x = p, l’horizontale en y = k, et la courbe croise l’axe en x = z.
Le pôle et le gain tracent les deux asymptotes ; le zéro fixe l’endroit du croisement.

02

Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux

Ce que vous savez: La même allure, mais le pôle se place près du zéro. La courbe doit passer de l’axe à l’infini sur une courte distance : elle monte donc à pic.

Trait: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Exemple résolu: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2) : le pôle en 0,2 n’est qu’à 0,3 du zéro en 0,5, et f(0) vaut déjà 3,5 contre une valeur lointaine de 1,4

Ouvrir ce cas: pôle abrupt
Pôle et zéro rapprochés — une pointe violente entre les deux. Un faible écart entre pôle et zéro force la courbe à une excursion étroite et raide. La même allure, mais le pôle se place près du zéro. La courbe doit passer de l’axe à l’infini sur une courte distance : elle monte donc à pic.
Un faible écart entre pôle et zéro force la courbe à une excursion étroite et raide.

03

Gain négatif — le même squelette, les branches permutées

Ce que vous savez: Un k négatif retourne toute la courbe autour de l’axe horizontal. La position des asymptotes ne bouge pas ; ce sont les coins occupés par les branches qui changent.

Trait: k < 0 ⇒ f → −f

Exemple résolu: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2) : asymptote en x = 1,2, croisement en x = −1,5, asymptote horizontale en y = −1, et f(0) = 1,25

Ouvrir ce cas: gain négatif
Gain négatif — le même squelette, les branches permutées. Les asymptotes n’ont pas bougé, mais chaque branche est passée du côté opposé. Un k négatif retourne toute la courbe autour de l’axe horizontal. La position des asymptotes ne bouge pas ; ce sont les coins occupés par les branches qui changent.
Les asymptotes n’ont pas bougé, mais chaque branche est passée du côté opposé.

04

Pôle et zéro presque confondus — presque un trou

Ce que vous savez: Quand z et p sont très proches, les facteurs se simplifient presque. Hors de ce voisinage la fonction reste près de la constante k, et le pôle survit sous forme d’une pointe fine comme une aiguille.

Trait: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Exemple résolu: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12) : à peine 0,12 d’écart, donc f(0) = 0,893, proche de la valeur lointaine 1 — et pourtant l’asymptote en x = 1,12 est bien là

Ouvrir ce cas: quasi simplifié
Pôle et zéro presque confondus — presque un trou. Presque une constante partout, sauf dans la fenêtre étroite où le pôle l’emporte encore. Quand z et p sont très proches, les facteurs se simplifient presque. Hors de ce voisinage la fonction reste près de la constante k, et le pôle survit sous forme d’une pointe fine comme une aiguille.
Presque une constante partout, sauf dans la fenêtre étroite où le pôle l’emporte encore.
Erreur d'intuition fréquente

Un zéro proche d'un pôle n'élimine pas automatiquement l'instabilité. Une quasi-simplification peut rester numériquement sensible.

Problème entièrement résolu

  1. La courbe atteignant son asymptote horizontale en y = 1 5 étapes

    f(x) = (x − 1)/(x + 2) possède une asymptote horizontale en y = 1. Déterminez si la courbe l'atteint réellement un jour.

    1. Le zéro et le pôle se lisent directement sur la forme factorisée : le numérateur s'annule en 1, le dénominateur en −2.

    2. Pour les grandes valeurs de |x|, le numérateur et le dénominateur sont tous deux dominés par leur terme en x, de sorte que le rapport tend vers le rapport des coefficients dominants. Il s'agit de l'asymptote horizontale, qui vaut ici 1.

    3. Posez maintenant la question directement au lieu d'estimer visuellement le graphique : égalez la fonction à son asymptote et résolvez l'équation.

    4. La variable x s'élimine et laisse −1 = 2, ce qui est faux pour tout x. Ainsi, la courbe ne touche jamais y = 1 — ni à l'infini, ni nulle part.

    5. L'asymptote verticale se comporte de manière opposée. Juste à gauche de −2, la fonction vaut −299 ; juste à droite, +301. Elle ne tend pas vers une même valeur des deux côtés, mais diverge dans des directions opposées.

    Réponse

    L'outil affiche un point d'intersection avec l'axe des abscisses en 1, une asymptote verticale en −2 et une asymptote horizontale en 1. Le résultat essentiel à retenir est qu'une asymptote horizontale n'est pas une barrière — celle-ci n'est jamais atteinte, mais cela tient à cette fonction particulière et ne constitue pas une règle générale. Modifiez le numérateur en x − 1 + quelque chose qui s'annule, et la courbe peut franchir son asymptote horizontale librement, voire à plusieurs reprises. Les asymptotes verticales sont les seules infranchissables : la fonction y est indéfinie, de sorte qu'elle ne peut jamais les croiser. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre, et une seule ligne d'algèbre permet de trancher à chaque fois.

Parcours

Au-delà du second degré

Références (2)
  • Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
  • The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

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Exemples de problèmes

  • basique - Forme de base à un zéro et un pôle, avec des asymptotes nettes.
  • pôle abrupt - Un pôle proche de l'origine crée une forte divergence locale.
  • gain négatif - Un gain négatif inverse l'orientation des branches de part et d'autre des asymptotes.
  • quasi simplifié - Une quasi-annulation zéro/pôle imite localement un comportement de type discontinuité éliminable.