Calculatrice de nombres complexes

Effectuez des opérations sur les nombres complexes et observez les résultats dans le plan d'Argand.

Exemple résolu — Calculatrice de nombres complexes

z2	1+2i
Résultat	4+4i

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Multiplier par le conjugué jette la partie imaginaire, et c’est voulu 🖖

Le préréglage conjugate multiplie 3 + 2i par 3 − 2i et la réponse est 13 — sans aucune partie imaginaire. Ce n’est pas une paire particulière : (a + bi)(a − bi) se réduit toujours à a² + b², car les termes croisés sont +abi et −abi. Et 13 vaut exactement 3² + 2², c’est-à-dire |z|², le carré de la distance à l’origine que l’outil trace dans le plan. C’est tout le mécanisme de la division complexe : on multiplie haut et bas par le conjugué et le dénominateur devient réel.

Un point, deux adresses 🖖

Un nombre complexe n'est qu'un point du plan. La forme algébrique a + bi le désigne par ses coordonnées — tant vers la droite, tant vers le haut —, tandis que la forme polaire r∠θ le désigne par sa distance et sa direction depuis l'origine. Le même point, deux étiquettes ; activez l'affichage polaire pour voir les deux à la fois. Règle pratique : forme algébrique pour additionner, forme polaire pour multiplier ou élever à une puissance.

Les imaginaires nés pour des réponses réelles 🖖

Les nombres complexes n'ont pas été inventés pour résoudre x² + 1 = 0 — personne ne s'en souciait. Ce sont les équations cubiques qui les ont imposés. La formule de Cardan de 1545 pour x³ = px + q passe parfois par des racines carrées de nombres négatifs, même lorsque les trois solutions sont des réels ordinaires. En 1572, Bombelli montra que ces quantités « impossibles » s'annulent pour donner les bonnes réponses réelles. L'imaginaire était un détour vers le réel.

Multiplier par i, c'est un quart de tour 🖖

La multiplication additionne les arguments et multiplie les modules. Multiplier par i — qui se trouve en |z| = 1, arg = 90° — n'est donc rien d'autre qu'un quart de tour. Mettez 3 + 2i dans z₁ et i dans z₂ : la réponse est −2 + 3i ; retapez −2 et 3 dans z₁ et l'affichage indique arg(z₁) = 123.7° contre 33.7° auparavant, avec |z₁| = 3.606 dans les deux cas. Tourné, pas étiré. Le préréglage De Moivre n=4 applique la même règle quatre fois : 45° à la puissance quatre tombe sur −1 + 0i, soit 180°. L'affichage ne donne |z₁| et arg(z₁) que pour z₁, si bien que voir les angles s'additionner demande de replacer la réponse dans la première case.

Problème entièrement résolu

Multiplier 3 + 2i par son conjugué pour prouver un produit 5 étapes
Multipliez 3 + 2i par son conjugué, puis transformez le résultat en une preuve que le produit de deux sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés. Il s'agit de Multiplier avec z₁ = 3 + 2i et z₂ = 3 − 2i.
1. Les deux termes croisés sont égaux et opposés, ils s'annulent donc. Ce qui reste est le −b²i², qui change de signe et s'ajoute au lieu de se soustraire — ainsi, le produit d'une paire de conjugués donne toujours un nombre réel, et ce nombre s'obtient en élevant au carré.
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. Ce nombre réel a déjà un nom. Le module est la distance à l'origine, donc |z|² vaut a² + b² d'après Pythagore, et la valeur 3,606 du panneau est √13 arrondie par excès à la troisième décimale.
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. Passons maintenant au produit général de deux nombres complexes, où i² = −1 envoie un terme rejoindre la partie réelle. Aucun module n'apparaît encore ici.
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. Appliquez l'étape 1 à ce produit. Une seconde paire de termes croisés, −2abcd et +2abcd, s'annule dans le développement, et les quatre termes subsistants se factorisent en deux parenthèses. Chaque lettre est un entier si on le souhaite, et plus rien dans la dernière ligne ne mentionne i.
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. Ainsi, un couple de paires d'entiers en fabrique un troisième. 3 + 2i porte 13 et 1 + 2i porte 5 ; leur produit porte 65. Prendre le conjugué du second facteur le réfléchit par rapport à l'axe réel et fournit un couple différent ayant la même somme.
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
Réponse

Le panneau affiche le produit par le conjugué égal à 13 et le module égal à 3,606, et 3,606² = 13,003 relève de l'arrondi plutôt que d'un désaccord. Ce qu'il convient de retenir, c'est que l'identité subsiste même après l'effacement des nombres complexes : (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² est une relation concernant quatre entiers où il ne reste aucun i. Diophante a consigné ce même nombre au troisième siècle — 65 se décompose en 1 + 64 comme en 16 + 49, notait-il, parce qu'il vaut 13 × 5 et que chaque facteur est lui-même une somme de deux carrés — quelque treize siècles avant que Cardano n'écrive pour la première fois une racine carrée d'un nombre négatif. Deux facteurs premiers, deux représentations : 13 seul n'a que 9 + 4, et 5 seul n'a que 1 + 4. La multiplication complexe est la machine qui fabrique la seconde représentation, et le conjugué est le levier qui permet de passer de l'une à l'autre.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Parcours

Au-delà du second degré

Mène à Division de polynômes

Références (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Multiplier par i - Le nombre z₁ = 1 a pour module 1 et pour argument 0°, et la multiplication par i affiche 0+1i. Rien n'a été étiré. Le module vaut toujours 1, tandis que l'argument a pivoté d'un quart de tour. C'est tout ce que i fait à un nombre. C'est pour cette raison que i² = −1 : deux quarts de tour.
De Moivre n=4 - L'argument arg(z₁) affiche 45° et |z₁| vaut 1. La puissance quatrième atterrit donc sur −1+0i. Élever à une puissance multiplie l'argument et laisse un module unitaire là où il se trouvait. Prenez garde aux arrondis. La valeur 0,707 tient lieu de 1/√2 à deux décimales près. Le module est en réalité à peine inférieur à 1, un écart que l'affichage a gommé.
Racines 4es - Les quatre racines quatrièmes de 1 s'affichent ainsi : 1+0i, 0+1i, −1+0i et 0−1i. Ce sont les coins d'un carré sur le cercle unité. Additionnez-les et vous obtenez 0. Ce constat s'applique aux racines n-ièmes de l'unité pour tout n supérieur à 1, car elles correspondent aux sommets d'un polygone régulier centré sur l'origine.
Paire conjuguée - |z₁| affiche 3,606 et (3+2i)(3−2i) donne 13+0i. C'est le module au carré, 3² + 2², dont la partie imaginaire a disparu. Le produit d'une paire de conjugués donne toujours un nombre réel. C'est toute l'astuce de la division par un complexe : multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué, et votre dénominateur devient réel.