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Entraîneur de division de polynômes

Saisissez les coefficients en commençant par le degré le plus élevé, séparés par des virgules.

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Diviser par x − r ne demande aucun x 🖖

Lorsque le diviseur est x − r, toute la disposition de la division euclidienne se réduit à une seule ligne de calculs sur les coefficients : on en abaisse un, on multiplie par r, on additionne, on recommence. C’est la division synthétique, et c’est exactement la méthode de Horner pour évaluer un polynôme — d’où le fait que le dernier nombre écrit soit à la fois le reste et la valeur du polynôme en r. L’efficacité est réelle et non cosmétique : un polynôme de degré 10 demande ainsi 10 multiplications contre 19 si l’on calcule chaque puissance séparément. C’est ainsi que les bibliothèques numériques évaluent réellement les polynômes, car moins d’opérations signifie aussi moins d’erreurs d’arrondi accumulées.

Le reste est une valeur cachée 🖖

La division des polynômes fonctionne exactement comme la division posée des entiers que vous connaissez déjà : on retire un terme à la fois et on soustrait. L'intérêt apparaît en divisant par un facteur simple comme (x - c) : le reste obtenu vaut exactement p(c), le polynôme évalué en c. Un reste nul signifie donc que c est une racine, et vous l'apprenez sans remplacer le nombre.

Vos fichiers sont vérifiés par ça 🖖

Chaque somme de contrôle CRC — le contrôle d'erreur d'un fichier enregistré, d'une archive ZIP ou d'un paquet Ethernet — est une division de polynômes déguisée. Les bits de données deviennent les coefficients d'un immense polynôme sur le corps GF(2), où l'on calcule modulo 2 et où l'addition n'est qu'un XOR. Ce polynôme est divisé par un polynôme générateur fixe, et le reste est la somme de contrôle. Le même algorithme que cet entraîneur déroule à la main tourne des milliards de fois par seconde dans le matériel réseau.

Problème entièrement résolu

  1. Division de 2x³ − 3x² + 4x − 5 par x − 2 5 étapes

    La division de 2x³ − 3x² + 4x − 5 par x − 2 donne un reste de 7. Parvenez-y par division synthétique, puis obtenez ce même 7 sans effectuer de division.

    1. La division synthétique est une division posée débarrassée de la tenue de compte. Seuls les coefficients comptent, et diviser par x − r signifie que le multiplicateur est r.

    2. Abaissez le 2, multipliez par 2 et ajoutez à −3 pour obtenir 1, multipliez par 2 et ajoutez à 4 pour obtenir 6, multipliez par 2 et ajoutez à −5 pour obtenir 7. Les trois premiers constituent le quotient ; le dernier est le reste.

    3. Écrite en entier, c'est la division euclidienne des polynômes — et l'identité est vraie pour tout x, pas seulement pour les valeurs commodes.

    4. Substituez donc x = 2. Le facteur (x − 2) annule l'ensemble du quotient, quel qu'il soit, et l'identité se réduit à P(2) = le reste.

    5. Évaluer directement P(2) donne 7, ce qui concorde avec la division sans qu'aucune division n'ait été effectuée.

    Réponse

    L'outil affiche un quotient de 2x² + x + 6 et un reste de 7. Le théorème du reste est ce que prouve l'étape 4, et il vaut plus que le raccourci qu'il procure : parce que le reste est P(r), demander si (x − r) divise un polynôme revient à demander si P(r) = 0. Ici, il vaut 7, donc ce n'est pas le cas. Cette équivalence transforme la recherche de facteurs en une évaluation — essayez des valeurs du diviseur jusqu'à ce que le reste indique 0, et vous aurez trouvé une racine et factorisé le polynôme en une seule étape.

Parcours

Au-delà du second degré

Mène à Fonctions rationnelles le théorème de factorisation, fonctionnant dans les deux sens.

Références (1)

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