Laboratoire de modélisation par morceaux
Utilise deux règles linéaires séparées en x = c, puis évalue les valeurs et le comportement du saut.
Calcul des sous-domaines discontinus 🖖
Les fonctions par morceaux modélisent des changements de phase systémiques. En définissant des règles analytiques sur des intervalles disjoints, nous confrontons les discontinuités. Les limites latérales déterminent si le système préserve la continuité.
Une fonction, deux règles 🖖
Un modèle défini par morceaux utilise une règle linéaire avant le point de rupture c et une autre après — comme un taximètre qui applique d'abord un tarif, puis un tarif moins cher. Les deux morceaux se raccordent sans à-coup seulement s'ils coïncident en c : continu exactement lorsque m1·c + b1 = m2·c + b2. Sinon, l'affichage indique un saut — le graphe bondit vers le haut ou vers le bas à la jointure.
Le coin qui propulse l'apprentissage profond 🖖
La fonction d'activation au cœur de la plupart des réseaux de neurones modernes, ReLU, n'est qu'une fonction linéaire par morceaux : pente 0 tant que x est négatif et pente 1 dès qu'il devient positif, raccordées au point de rupture x = 0. Elle y est continue mais n'a pas de dérivée — un angle vif, non une courbe lisse. Empilez des millions de ces unités et le réseau entier calcule encore une seule et immense fonction linéaire par morceaux continue.
Exemples de problèmes
- modèle de tarif de taxi - Modèle de coût linéaire à deux régimes avec un point de rupture en x=5.
- modèle de remise sur volume - Un changement de taux après un seuil modélise une remise sur volume.
- phases de refroidissement - Modèle de décroissance par morceaux avec une pente plus faible dans le second segment.